Так правильно считаем работу?

[Утундрий]

EUgeneUS в сообщении #1668129 писал(а):

как это всё назвать?

А какая разница? Назовите дришитопль, например. Скорее всего, никто так его ранее не называл.

[EUgeneUS]

Утундрий
А ЛаТеХом ентот "дришитопль" как нарисовать?

[Утундрий]

Не знаю, я только по креативу (с)

[amon]

EUgeneUS в сообщении #1668129 писал(а):

Под интегралом будет, очевидно, $\mathbf{F} (t(\mathbf{r}), \mathbf{r}) \cdot d \mathbf{r}$.

$r(t)=\sin t,$ чему равно $t(r)?$ Про хитрозапутанные трехмерные траектории уже не спрашиваю.

[Red_Herring]

EUgeneUS в сообщении #1668121 писал(а):

а как же всё таки обозначать и называть интеграл, которым считается работа

С. Маршак. Отчего кошку назвали Кошкой писал(а):

Не назвать ли нам кошку Кошкой?

Ну так и называйте интегралом, которым считается работа.

[EUgeneUS]

amon в сообщении #1668138 писал(а):

$r(t)=\sin t,$ чему равно $t(r)?$ Про хитрозапутанные трехмерные траектории уже не спрашиваю.

Так как кривую можем считать кусочно гладкой, всякие "проблемы" в виде точек возвращения и самопересечений будут в счетом количестве точек. Поэтому проблем с записью интегральных сумм не возникает, как и с самим интегралом.

-- 02.01.2025, 10:05 --

Red_Herring в сообщении #1668141 писал(а):

Ну так и называйте интегралом, которым считается работа.

Хорошо, нельзя этот интеграл называть интегралом по кривой.
Но непонятно
а) почему нельзя назвать интегралом вдоль кривой, которым считается работа?
Он не инвариантен относительно параметризации кривой. Но процедурно интегральная сумма записывается именно вдоль кривой.
б) Как обозначать в ЛаТеХ? Если $\int\limits_{L}^{}$ нельзя.

[Combat Zone]

EUgeneUS в сообщении #1668152 писал(а):

Но процедурно интегральная сумма записывается именно вдоль кривой.

Нет. Это обычный определенный интеграл по времени. Собственный или несобственный, смотря по ситуации. Интегральная сумма там - по временному отрезку (если, конечно, интеграл Римана).
Так и обозначать, как интеграл $\int\limit_{t_1}^{t_2}\text{нужное скалярное произведение}(t)\,dt$
К сожалению, это повтор в который раз, в теме столько раз оно фигурировало, это выражение. Видимо, от повторения яснее все же не становится.
Попробуйте отвлечься от интеграла по кривой. В нестационарном случае к нему свести можно только в каких-то очень хороших ситуациях.

[Red_Herring]

EUgeneUS в сообщении #1668152 писал(а):

почему нельзя назвать интегралом вдоль кривой, которым считается работа?

Можно, если хотите запутать десятки (или сотни?) миллионов студентов и икать каждый раз, когда они или преподаватели будут поминать вас незлым тихим словом.

[Combat Zone]

EUgeneUS в сообщении #1668152 писал(а):

всякие "проблемы" в виде точек возвращения и самопересечений будут в счетом количестве точек.

Попробуйте посмотреть такой пример. Одномерный. Пусть точка по отрезку с законом движения $x(t)=t/2+\sin t$. Сила $F(t)=t^2$. Какую работу она совершит за время $[0,2\pi]$?

Вы хотели свести это к интегралу по кривой - попробуйте. Но я не настаиваю. Просто для себя посмотрите, что будет.

[drzewo]

По взрослому.

(Оффтоп)

Пусть $x=x(t)$ -- решение уравнений Лагранжа:

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot x^i}-\frac{\partial L}{\partial x^i}=Q_i(t,x,\dot x),\quad L=L(x,\dot x).$$

$x=(x^1,\ldots,x^m)^T$ -- локальные координаты на конфигурационном многообразии.

Теорема об изменении энергии пишется так:

$$H\mid_{t=t_2}-H\mid_{t=t_1}=A,\quad H=\frac{\partial L}{\partial \dot x^i}\dot x^i-L,$$

где

$$A=\int_{t_1}^{t_2}Q_i(t,x(t),\dot x(t))\dot x^i(t)dt$$

-- работа за промежуток времени.
Если обобщенные силы $Q_i$ не зависят от скоростей и времени, то работа превращается в интеграл от формы работы по траектории:

$$A=\int_\gamma Q_idx^i.$$

[EUgeneUS]

Combat Zone в сообщении #1668154 писал(а):

К сожалению, это повтор в который раз, в теме столько раз оно фигурировало, это выражение. Видимо, от повторения яснее все же не становится.

Вы повторяете, потому что отвечаете не на тот вопрос, который я задавал (в это раз), а на какой-то другой, возможно, заданный ранее.

1. В курсах теормеха работа определяется, как

drzewo в сообщении #1667642 писал(а):

По определению, работа этой силы за время $[t_1,t_2]$ равна

$$A=\int_{t_1}^{t_2}\Big(\boldsymbol F\big(t,\boldsymbol r(t),\boldsymbol{\dot r}(t)\big),\boldsymbol{\dot r}(t)\Big)dt.\qquad(*)$$

А вот это является следствием и частным случаем:

drzewo в сообщении #1667642 писал(а):

В частном случае, когда $\boldsymbol F=\boldsymbol F(\boldsymbol r)$ этот интеграл превращается в интеграл от дифференциальной формы по траектории (то, что Вы написали)

$$A=\int_L(\boldsymbol F,d\boldsymbol r),\quad L=\{\boldsymbol r=\boldsymbol r(t)\mid t\in[t_1,t_2]\}.\qquad(**)$$

О чем и сообщил уважаемый drzewo ещё в прошлом году.

Не собираюсь ни оспаривать, ни переписывать курсы теормеха.

2. С другой стороны, не собираюсь ни оспаривать, ни переписывать курсы общей физики.
В которых сказано следующее, на примере курса Сивухина (том 1, параграф 22):


Как видно из подчеркнутого красным, Сивухин рассматривает в общем случае, и считает силу постоянной только на элементарном перемещении $d \mathbf{s}$.

3. Уважаемый drzewo сообщил, опять же ещё в прошлом году, что обведенное красным - некорректно в общем случае, например, при явной зависимости силы от времени.
Хорошо, не оспаривая это утверждение, задаю вопрос (уже задал ранее) - что именно должно быть написано и нарисовано вместо обведенного красным?

[amon]

EUgeneUS в сообщении #1668177 писал(а):

Хорошо, не оспаривая это утверждение, задаю вопрос (уже задал ранее) - что именно должно быть написано и нарисовано вместо обведенного красным?

Вопрос в том, что такое перемещение. Если $d\mathbf{s}=\mathbf{r}(t+dt)-\mathbf{r}(t)=\mathbf{v}(t)dt,$ то получится ровно то, что пишет уважаемый drzewo, а если $d\mathbf{s}=(dx,dy,dz),$ то получится нечто другое, тоже иногда правильное (если сила зависит только от координат).

[chislo_avogadro]

amon в сообщении #1668181 писал(а):

Если $d\mathbf{s}=\mathbf{r}(t+dt)-\mathbf{r}(t)=\mathbf{v}(t)dt,$ то получится ровно то, что пишет уважаемый drzewo, а если $d\mathbf{s}=(dx,dy,dz),$ то получится нечто другое, тоже иногда правильное (если сила зависит только от координат).

Непонятно, как может получиться что-то другое. Разве $\mathbf{v}(t)dt$ не равно просто $d\mathbf{r}$?

-- 02.01.2025, 15:53 --

drzewo в сообщении #1668161 писал(а):

По взрослому.
Если обобщенные силы $Q_i$ не зависят от скоростей и времени, то работа превращается в интеграл от формы работы по траектории:

$$A=\int_\gamma Q_idx^i.$$

Если зависят, то не превращается?

[amon]

chislo_avogadro в сообщении #1668193 писал(а):

Непонятно, как может получиться что-то другое. Разве $\mathbf{v}(t)dt$ не равно просто $d\mathbf{r}$?

Траектория - некая кривая в пространстве. Эту кривую можно задать миллионом способов. Один из них - честно решить уравнения движения и найти $\mathbf{r}(t).$ Можно задать ту же самую кривую и по-другому. Ввести от балды некий параметр $\lambda$ и написать три (или сколько там надо, в зависимости от размерности пространства) уравнения $x=x(\lambda),y=y(\lambda),z=z(\lambda).$ Если сила $\mathbf{F}$ зависит только от координат, то $\int (\mathbf{F},\mathbf{v}(t))dt=\int( F_xdx+F_ydy+F_zdz)$ независимо от того, как я параметризовал кривую. Если сила зависит явно от времени и (или) скоростей, то "параметризация временем" становится выделенной.

[chislo_avogadro]

amon в сообщении #1668200 писал(а):

Если сила $\mathbf{F}$ зависит только от координат, то $\int (\mathbf{F},\mathbf{v}(t))dt=\int( F_xdx+F_ydy+F_zdz)$ независимо от того, как я параметризовал кривую.

Но это ведь не отменяет факта, что $\int (\mathbf{F},\mathbf{v}(t))dt=\int \mathbf{F},d\mathbf{r}$? Причём, как видно из ветки, именно первая запись вызывает вопросы по параметризации. Я понял только (по приведенным, в том числе и Вами, примерам) что при неких сложных зависимостях $r(t)$ считать при этой записи проще.