Так правильно считаем работу?

[drzewo]

EUgeneUS в сообщении #1668030 писал(а):

Так как смена параметризации кривой это всего лишь замена переменных $t \to s$ в $\mathbf{r}(t) \to \mathbf{r}^*(s)$.

Я там выше писал, чем инвариантность отличается от замены переменной в интеграле.
Еще раз. У Вас есть функция двух переменных $\boldsymbol F(t,\boldsymbol r)$ и кривая $L$.
Вы можете параметризовать эту кривую так: $\boldsymbol r=\boldsymbol r(t)$, или так: $\boldsymbol r=\boldsymbol r_*(t)$. И, заметьте, эти два способа параметризации кривой совершенно равноправны.
Соответственно, в интеграл Вы должны подставить либо выражение $ (\boldsymbol F(t,\boldsymbol r(t)),\boldsymbol {\dot r}(t))$ либо выражение $(\boldsymbol F(t,\boldsymbol r_*(t)),\boldsymbol {\dot r}_*(t))$. Эти два выражения тоже совершенно равноправны, а результат интегрирования, вообще говоря, будет разный. Это и называется зависимостью от параметризации.

[realeugene]

drzewo в сообщении #1668042 писал(а):

И, заметьте, эти два способа параметризации кривой совершенно равноправны.

В физике это разные движения с разной работой. В случае явной зависимости силы от времени, работа силы начинает зависеть от точного закона движения. Выражение для работы при бесконечно малом перемещении сохраняется, по траектории нужно интегрировать с учётом времени.

[EUgeneUS]

realeugene
Насколько понял уважаемого drzewo

realeugene в сообщении #1668043 писал(а):

Выражение для работы при бесконечно малом перемещении сохраняется, по траектории нужно интегрировать с учётом времени.

Спор\дискуссия терминологический(ая). Как правильно считать работу разногласий нет.

realeugene в сообщении #1668043 писал(а):

В физике это разные движения с разной работой.

1. Выполним действия по замене параметризации кривой формально.
2. Получим разные движения и разную работу.
3. Поэтому такой агрегат не инвариантен относительно параметризации кривой.
4. А поэтому такой агрегат нельзя называть "интегралом по кривой" и обозначать как $\int\limits_{L}^{}$

[Null]

drzewo в сообщении #1668042 писал(а):

а результат интегрирования, вообще говоря, будет разный

Вы лучше численный(функциональный получается) пример приведите, понятнее будет.

[drzewo]

Null в сообщении #1668047 писал(а):

Вы лучше численный(функциональный получается) пример приведите, понятнее будет.

Я думаю, тут проблемы с идеологией как таковой, а не с примерами.

Пример. Пусть $\boldsymbol r=x\boldsymbol e_x$ -- одномерная ситуация в пространстве $\mathbb{R}$ дело происходит; кривая: $L=[0,1]$ и интеграл (по кривой якобы):

$$I=\int_L F dx,\quad F=t+x.$$

1) Параметризуем кривую $L$ так $x=t,\quad t\in [0,1]$. Тогда

$$I=\int_0^1(t+t)\dot xdt=1$$

2)Параметризуем кривую $L$ так $x=2t,\quad t\in [0,1/2]$. Тогда

$$I=\int_0^{1/2}(t+2t)\dot xdt=3/4$$

[Null]

Вы параметр поменяли, а замену не сделали. И лучше бы разные переменные обозначать разными буквами.

$$I=\int_0^{1/2}(2t+2t)\dot xdt=1$$

Очень плохой пример. Вы так ни кого не переубедите.

[realeugene]

EUgeneUS в сообщении #1668045 писал(а):

А поэтому такой агрегат нельзя называть "интегралом по кривой" и обозначать как $\int\limits_{L}^{}$

Обозначать можно что угодно как угодно, если обозначения понимаются однозначно и непротиворечиво. В физике, если сила зависит от времени, такой интеграл обозначает интеграл вдоль определённого пути. С учётом времени. Строго математически, путь $L$ как кривая задан в 3+1 мерном пространстве-времени, а не в обычном трёхмерном пространстве. Но никто в это буквоедство не залазит, равно как и элементы $L_2$ называют обычно функциями, не утруждая себя каждый раз делать оговорки про пополненное пространство классов эквивалентности.

[drzewo]

Null в сообщении #1668052 писал(а):

Вы параметр поменяли, а замену не сделали.

$$I=\int_0^{1/2}(2t+2t)\dot xdt=1$$

Очень плохой пример. Вы так ни кого не переубедите.

Вы ветку-то читали?

[Null]

(Оффтоп)

drzewo в сообщении #1668054 писал(а):

Вы ветку-то читали?

Читал, и говорю же что Вас невозможно понять. Что и происходит.
У вас 2 разных времени? В первом случае тело двигалось 1 секунду,а во втором полсекунды?

[Combat Zone]

Ну не знаю. Я понимаю. В последнем примере сила равна текущему моменту времени + текущая координата.
Подставлять вместо текущего момента времени какой-то там параметр совсем незачем.

[Cos(x-pi/2)]

Да, по-видимому, все, кто хотел понять, поняли; может быть, просто каждый своими словами об одном и том же пишет. Численный пример был нормальный: в нём делали не замену переменной интегрирования, а с одной и той же функцией $F(t,x)$ взяли две разные функции $x(t)$ на одном и том же отрезке значений $x.$

[Combat Zone]

Может, так будет понятнее, если их в кучу не мешать? В условиях того же примера возьмем $F=t+f(x)$.
Тогда с одной стороны,
1) если параметризовать отрезок с концами в точках 0 и 1 сл. образом: $x=t$, то

$$ I=\int_0^1(t+f(t))\,dt$$

2)Если тот же отрезок параметризовать так $x=2t,\quad t\in [0,1/2]$, то

$$$$ I=\int_0^{1/2}(t+f(2t))\,2dt$$

А теперь можно брать пред. пример для случая $f(x)=x$ и сверять.

-- 01.01.2025, 14:26 --

Null в сообщении #1668055 писал(а):

У вас 2 разных времени? В первом случае тело двигалось 1 секунду,а во втором полсекунды?

Во втором случае скорость в два раза выше. Ну и время в два раза меньше. Там можно любую другую зависимость координаты от времени задать, сколь угодно "нефизичную". $x=t^3, \ t\in[0,1]$, например. Ничего не поменяется, подставлять параметризацию нужно только вместо параметризации, время бережем.

[drzewo]

(Оффтоп)

Null в сообщении #1668055 писал(а):

Читал, и говорю же что Вас невозможно понять.

Ну значит Вам меня невозможно понять. Все написано, больше ни чем не могу помочь.

[Null]

(Оффтоп)

Combat Zone в сообщении #1668060 писал(а):

Ну и время в два раза меньше.

У нас сила зависит от времени, при таких изменениях мы получаем другую силу и другой ответ.
Понял там претензии к термину "интергал по кривой".

[Combat Zone]

Изначальный объект диспута был о том, что не надо записывать работу как интеграл по кривой от $(F,dr)$ -- в случае, когда сила, к примеру, нестационарна, это может привести к некоторым неприятностям. Больше ничего.
И да, будет другой ответ, т.к. другая сила, - и даже если не обратить на это внимание, - то другая работа, поскольку интеграл неинвариантен относительно параметризации. Может, есть и какие-то еще соображения, но кажется, уже достаточно имеющихся.