Пусть есть кривая

- (например) траектория частица, и есть векторное поле

, определенное (как минимум) на кривой. Тогда определен криволинейный интеграл второго рода. В том смысле, что есть его определение, и его можно посчитать согласно определению.
Теперь пусть векторное поле зависит от времени:

. Что делать с этой зависимостью, определение криволинейного интеграла второго рода нам ничего не говорит.
И есть (как минимум) два
разных способа расширения на этот случай:
1. Зафиксируем момент времени

и посчитаем криволинейный интеграл второго рода по определению, считая

независимым параметром. На выходе получим функцию от времени:

2. Вспомним, что

- траектория движения материальной точки, и будем в качестве в качестве значений

брать значения, именно на траектории точки, с учетом времени. На выходе получим число:

И то и другое имеет физический смысл, например:
(1) - именно так считается циркуляция полей во второй паре уравнений Максвелла в интегральном виде.
(2) - так считается работа.
А далее обсуждение терминологии.
-- 01.01.2025, 10:29 --С одной стороны, сложно не согласиться, что называть одинаковыми словами и обозначать одинаковыми обозначениями разное - это не комильфо.
С другой стороны,
а) не вижу никаких проблем (возможно зря), чтобы не называть и (1), и (2) "интегралом по кривой" или "интегралом вдоль кривой". Понимая, что "интегралы по кривой" могут быть разными.
б) Тем более и фраза "интеграл по кривой", и обозначение

многозначны даже в стационарном случае: они используются как для криволинейных интегралов первого рода, так и для криволинейных интегралов второго рода. Различие в обозначениях имеется только в подынтегральном выражении. Так и тут: (1) и (2) различаются подынтегральным выражением
