Но раз уж Вы видите проблемы с (**)
Нет проблем с (**) и с (*) нет проблем.
Проблема вот с этим:
А есть работа (силы)

.
С моей точки зрения (*) и (**) эквивалентны.
Они эквивалентны только если

!
Объясню почему. Начнем со случая

.
Предположим, у наc есть кривая

заданная параметрически:

. Это кривая -- геометрическое место точек, ее можно параметризовать иначе:

-- будет та же самая кривая, разумеется параметры связаны:

.
А можно эту кривую задать как пересечение поверхностей. Важно понимать, что кривой наплевать на то как Вы ее зададите.
Криволинейный интеграл определяется следующим образом:

Но это определение нуждается в проверке корректности: раз мы говорим, что это интеграл по кривой, а кривая не зависит от того, как мы ее параметризуем, то и интеграл не должен зависеть от того, как мы параметризуем кривую. Т.е. должно быть:

Но так и есть. По теореме о замене переменной в определенном интеграле:

действительно

Теперь для простоты будем считать, что

.
Вы по-прежнему пишите

, подразумевая, что

Но это не интеграл по кривой, этот интеграл зависит от параметризации:

В данном случае запись

некорректна!
-- 31.12.2024, 11:42 --)

и (на данном

) можно ввести обратную функцию

нельзя, перечитайте теорему об обратной функции