У меня в тексте доказательстве опечатки, исправляю:
Итак, Ферма утверждал, что уравнение
.
не имеет рациональных решений . Попробуем доказать обратное.
Предположим, что такое решение существует,
при
,
,
, где
,
,
- целые положительные взаимно простые числа и
, то есть
.
1.1.
, где
- целое положительное число
, где
- целое положительное число.
1.2.
,
Перемножаем левые и правые части, получаем:
,
,
(п.1.1). Перемножаем левые и правые части, получаем:
, следовательно,
.
2.1.1 функция
в точках
и
принимает одинаковые значения разных знаков и она является целой рациональной функцией, непрерывна и определена при всех значениях
, следовательно, между
и
существует точка ( назовем ее
, значение функции в которой равно
.
2.1.3 Найдем все точки, значение функции в которых равно нулю.
.
или
, отсюда
или
.
Поскольку
,
,
.
3.1.1 поскольку
функция
является целой рациональной функцией, непрерывна и определена при всех значениях
и ее значение равно нулю в точках 0, h и с,
существует три точки, в которых она принимает одинаковые отрицательные значения (a, a' и a'') и три , в которых она принимает одинаковые положительные значения (b, b' и b'').
И, следовательно, (a, b), (a', b') и (a'', b'') попарно являются решениями системы уравнений
1.
.
2.
3.
, то есть,
, и
.
4.1
.
отсюда
. И
- целое число.
Но это невозможно, поскольку
не может быть целым числом.
А значит, наше первоначальное предположение о существовании решения
было неверным, уравнение
не имеет решений в рациональных числах.
Теорема доказана.
По этому же принципу она доказывается для всех степеней, больше 2