Прошу разрешения у администрации форума для удобства продублировать мое новое доказательство в новой теме, чтобы не пробирираться через многостраничный текст темы предыдущей.
Я до сих пор уверена, что Ферма шел именно таким путем.
Буду благодарна, если найдете время прочитать
и укажете на ошибку.
Предлагаю частный вариант доказательства для
![$n=3$ $n=3$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/a/6/aa6905d780872f0007f642420d7a2d9c82.png)
, как того требуют правила форума, но принцип моего доказательства распространяется на все степени n>2. ( при необходимости ( если вдруг окажется, что моё доказательство представляет интерес) я могу его выложить).
Итак, Ферма утверждал, что уравнение
![$x^3+x'^3=z^3$ $x^3+x'^3=z^3$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/e/6/ee691c904adfdfcb711e46f9c111249d82.png)
не имеет рациональных решений . Попробуем доказать обратное.
1.1.
![$x+x'-z=d$ $x+x'-z=d$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/8/3/a837b1022c290a902125151d00df4aea82.png)
, где
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
,
![$x'$ $x'$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/c/a/aca94dc4280088e4b15ee4be41751fd082.png)
,
![$d$ $d$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/0/2103f85b8b1477f430fc407cad46222482.png)
- положительные числа.***
![$x^2+x'^2=z^2+p$ $x^2+x'^2=z^2+p$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/7/4/b740875b77a3ea3b35ddc8ae3c40fe6882.png)
, где
![$p$ $p$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/e/c/2ec6e630f199f589a2402fdf3e0289d582.png)
- положительное число.***
1.2.
![$x+x'-z=d$ $x+x'-z=d$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/8/3/a837b1022c290a902125151d00df4aea82.png)
,
![$x^2+x'^2-z^2=p$ $x^2+x'^2-z^2=p$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/9/3/b9371ddd3ae75afa099e3e9519c0f35382.png)
Перемножаем левые и правые части, получаем:
![$px+px'-pz=x^2d+x'^2d-z^2d$ $px+px'-pz=x^2d+x'^2d-z^2d$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/9/b/c9b3087bc30ca466adb16eee21e7eb6782.png)
,
![$x(xd-p)+x'(x'd-p)=z(zd-p)$ $x(xd-p)+x'(x'd-p)=z(zd-p)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/e/d/6ed2af3a8b69860ccae1b0a23235854782.png)
,
![$xd-p>0$ $xd-p>0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/4/5d42593873bd1088603ba96a557a060c82.png)
,
![$x'd-p>0$ $x'd-p>0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/d/c/adc6fdb04782ad346cf4f7ccf97db62482.png)
,
![$zd-p>0$ $zd-p>0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/9/9/1994ab54a3e86a83935a958b842b3b3382.png)
.***
1.3.
![$x(xd-p)+x'(x'd-p)=z(zd-p)$ $x(xd-p)+x'(x'd-p)=z(zd-p)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/e/d/6ed2af3a8b69860ccae1b0a23235854782.png)
,
![$x^3+x'^3=z^3$ $x^3+x'^3=z^3$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/e/6/ee691c904adfdfcb711e46f9c111249d82.png)
(п.1.1). Перемножаем левые и правые части, получаем:
![$z^3x(xd-p)+z^3x'(x'd-p)=x^3z(zd-p)+x'^3z(zd-p)$ $z^3x(xd-p)+z^3x'(x'd-p)=x^3z(zd-p)+x'^3z(zd-p)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/c/4/ac49286ad90c78dd75c887e91200459d82.png)
, следовательно,
![$(zd-p)x^3-z^{2}dx^2+z^{2}px=-((zd-p)x'^3-z^{2}dx'^2+z^{2}px')$ $(zd-p)x^3-z^{2}dx^2+z^{2}px=-((zd-p)x'^3-z^{2}dx'^2+z^{2}px')$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/7/3/a73963ce8e6bac20c964a9ba1000adc382.png)
.
2.1 Равенство будет выполняться в двух случаях:
2.1.1. Функция
![$y=(cd-p)x^3-c^{2}dx^2+c^{2}px $ $y=(cd-p)x^3-c^{2}dx^2+c^{2}px $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/4/1/14169f74326eb6ed69334e2f49fd079a82.png)
в точках
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
и
![$x'$ $x'$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/c/a/aca94dc4280088e4b15ee4be41751fd082.png)
принимает одинаковые значения разных знаков. Она является целой рациональной функцией, непрерывна и определена при всех значениях
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
,
следовательно , уравнение имеет бесчисленное множество решений.
2.1.2. если
![$x =x'$ $x =x'$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/d/b/3dbaa5a66f4f3ace4fd3c4174948cca982.png)
. Тогда
![$x((zd-p)x^2-z^2dx+z^2p)=0$ $x((zd-p)x^2-z^2dx+z^2p)=0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/a/1/9a1fcfe82281f1d25375369ccb944dff82.png)
![$x=0$ $x=0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/4/3/8436d02a042a1eec745015a5801fc1a082.png)
( но у нас
![$x>0$ $x>0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/b/9/eb9b46f46cfcebc82f6f2be2576597cb82.png)
).
или
![$x=\frac{z^2d+z(zd-2p)}{2(zd-p)}$ $x=\frac{z^2d+z(zd-2p)}{2(zd-p)}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/f/7/4f720659c8069f7d24ff478ab762cef482.png)
или
![$z=\frac{z^2d-z(zd-2p)}{2(zd-p)}$ $z=\frac{z^2d-z(zd-2p)}{2(zd-p)}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/4/6/c46c7b3f54fc3d4c3f7f31baaaa96d3a82.png)
, отсюда
![$x=c$ $x=c$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/0/f/40f02ccdd7be219d357acda6ac1cf10c82.png)
( но у нас
![$x<c$ $x<c$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/b/4/db41ef56fc91f0165c0ee7ace9e6270b82.png)
) или
![$x=\frac{zp}{zd-p}$ $x=\frac{zp}{zd-p}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/a/1/0a1215746229283d478baa017a6a6ef082.png)
.
3.1 Теперь предположим, что уравнение
имеет решение в рациональных числах при
![$x=a$ $x=a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/d/7/4d74936f278565f42f4bb42d6534712a82.png)
,
![$x'=b$ $x'=b$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/7/c/e7c4a5087547dc02d5d0b0f5d0c7180782.png)
,
![$z=c$ $z=c$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/a/9/2a9dccb6147cd523560190374eb552cc82.png)
, где
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
,
![$b$ $b$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/d/4bdc8d9bcfb35e1c9bfb51fc69687dfc82.png)
,
![$c$ $c$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/1/3e18a4a28fdee1744e5e3f79d13b9ff682.png)
- рациональные положительные числа.
Тогда
![$a^3+b^3=c^3$ $a^3+b^3=c^3$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/d/6/fd6fba75527b1203b6cc0aabd04dc1be82.png)
.
![$a+b=c+d$ $a+b=c+d$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/9/5d9a26ea8661ee745c8e215c7bc6f53d82.png)
,
![$a^2+b^2=c^2+ p$ $a^2+b^2=c^2+ p$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/5/5/655426b34b3972522be3a8f22a2d441f82.png)
, и
![$p$ $p$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/e/c/2ec6e630f199f589a2402fdf3e0289d582.png)
,
![$d$ $d$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/0/2103f85b8b1477f430fc407cad46222482.png)
-рациональные числа.
Поскольку функция
![$y=(cd-p)x^3-c^{2}dx^2+c^{2}px$ $y=(cd-p)x^3-c^{2}dx^2+c^{2}px$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/b/d/5bda219e640840beab454ad81354bc1082.png)
в точках
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
и
![$b$ $b$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/d/4bdc8d9bcfb35e1c9bfb51fc69687dfc82.png)
принимает одинаковые значения разных знаков и она является целой рациональной функцией, непрерывна и определена при всех значениях
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
, между
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
и
![$b$ $b$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/d/4bdc8d9bcfb35e1c9bfb51fc69687dfc82.png)
существует точка ( назовем ее
![$h$ $h$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/a/d/2ad9d098b937e46f9f58968551adac5782.png)
значение функции в которой при этих значениях параметров
![$d$ $d$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/0/2103f85b8b1477f430fc407cad46222482.png)
и
![$p$ $p$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/e/c/2ec6e630f199f589a2402fdf3e0289d582.png)
равно
![$0$ $0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/9/6/29632a9bf827ce0200454dd32fc3be8282.png)
, то есть существуют решение уравнения
![$x^3+x'^3=z^3$ $x^3+x'^3=z^3$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/e/6/ee691c904adfdfcb711e46f9c111249d82.png)
.
при 1.
![$x'=b$ $x'=b$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/7/c/e7c4a5087547dc02d5d0b0f5d0c7180782.png)
и 2.
![$x=x'=h$ $x=x'=h$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/5/a/45a9d533a4a779153063853129dfdc3882.png)
.
где
![$h=\frac{cp}{cd-p}$ $h=\frac{cp}{cd-p}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/5/f/25f9ab349a3219332fad3bc510bddf8e82.png)
- рациональное число. Но это противоречит
![$2h^3=c^3$ $2h^3=c^3$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/9/e/79ecf0096f9179ba1bb40898377ba97d82.png)
(
![$h$ $h$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/a/d/2ad9d098b937e46f9f58968551adac5782.png)
должно быть иррациональным числом),
следовательно,
![$p$ $p$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/e/c/2ec6e630f199f589a2402fdf3e0289d582.png)
и
![$d$ $d$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/0/2103f85b8b1477f430fc407cad46222482.png)
не могут быть рациональными, а значит, и все три числа
![$а$ $а$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/6/7/a673b8d519c07752a290ca9b8004571d82.png)
,
![$b$ $b$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/d/4bdc8d9bcfb35e1c9bfb51fc69687dfc82.png)
и
![$c$ $c$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/1/3e18a4a28fdee1744e5e3f79d13b9ff682.png)
не могут быть положительными рациональными.
***
![$xd-p=x(x+x'-z) -(x^2+x'^2-z^2)=xx'+x^2-zx-x^2-x'^2+z^2=(z-x)(z+x')-x'(z-x)=(z-x)(z+x-x')$ $xd-p=x(x+x'-z) -(x^2+x'^2-z^2)=xx'+x^2-zx-x^2-x'^2+z^2=(z-x)(z+x')-x'(z-x)=(z-x)(z+x-x')$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/4/f/d4fe8ad9647ccc8d470693af7eefe51e82.png)
![$z-x>0$ $z-x>0$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/6/2/362220c5df0bdc8474afa2802829712c82.png)
,
![$z+x-x'>0$ $z+x-x'>0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/8/2/282a9be6423f24344c2b07ca5b9add7282.png)
, следовательно,
![$xd-p>0$ $xd-p>0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/4/5d42593873bd1088603ba96a557a060c82.png)
.
,
![$z>x$ $z>x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/b/e/3beafc6959285174041328f4bb5ccdc482.png)
, следовательно,
![$zd-p>0$ $zd-p>0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/9/9/1994ab54a3e86a83935a958b842b3b3382.png)