2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5 ... 12  След.
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма 2
Сообщение31.05.2023, 14:08 
Аватара пользователя


26/02/14
496
so dna
natalya_1 в сообщении #1595915 писал(а):
...если функция...
Проблема в том, что пока что у нас нет никакой функции. Вы её ещё не определили.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма 2
Сообщение31.05.2023, 20:45 


29/08/09
659
Rak so dna в сообщении #1595323 писал(а):
natalya_1 у вас есть функция $y(x)=(cd-p)x^3-c^{2}dx^2+c^{2}px$, а также три решения ВТФ: $(a,b,c)$, $(a',b',c)$, $(a'',b'',c)$. Почему вы считаете, что $y(a)=y(a')=y(a'')$ ?

Речь идет о функции $y(x)=(cd-p)x^3-c^{2}dx^2+c^{2}px$.
И решениях системы уравнений , которую я написала выше, x и x' таких, что $f(x)=f(a)=(cd-p)a^3-c^{2}da^2+c^{2}pa$ и $f(x')=f(b)=(cd-p)b^3-c^{2}db^2+c^{2}pb$.
Если
1. $x^3+x'^3=c^3$
2. $\frac{x^2+x'^2-c^2}{x+x'-c}=\frac{a^2+b^2-c^2}{a+b-c}=\frac{p}{d}$,
3. $2x^3>c^3$ и $2x'^3<c^3$, то из уравнения 2 следует
$(x^2+x'^2)d-(x+x')p=c(cd-p)$,
У нас
$(cd-p)(x^3+x'^3)c^{2}d(x^2+x'^2)+c^{2}p(x+x')=(cd-p)(a^3+b^3)-c^{2}d(a^2+b^2)+c^{2}p(a+b)$, отсюда
$x^3+x'^3=a^3+b^3=c^3$

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма 2
Сообщение31.05.2023, 22:06 
Аватара пользователя


26/02/14
496
so dna
natalya_1 в сообщении #1595977 писал(а):
Речь идет о функции $y(x)=(cd-p)x^3-c^{2}dx^2+c^{2}px$
Вот это уже определение. Согласно этому определению $x$ — переменная, а $c,d,p$ — параметры. Т.о. $y(x')=(cd-p)x'^3-c^2dx'^2+c^2px'$, $y(a)=(cd-p)a^3-c^2da^2+c^2pa$, $y(\text{ъ})=(cd-p)\text{ъ}^3-c^2d\text{ъ}^2+c^2p\text{ъ}$. В первом случае параметры $c,d,p$ те же самые, что и во втором и в третьем. Вы согласны с этим? Если нет, то придётся уточнять формулировку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма 2
Сообщение31.05.2023, 22:49 


29/08/09
659
Rak so dna в сообщении #1595983 писал(а):
natalya_1 в сообщении #1595977 писал(а):
Речь идет о функции $y(x)=(cd-p)x^3-c^{2}dx^2+c^{2}px$
Вот это уже определение. Согласно этому определению $x$ — переменная, а $c,d,p$ — параметры. Т.о. $y(x')=(cd-p)x'^3-c^2dx'^2+c^2px'$, $y(a)=(cd-p)a^3-c^2da^2+c^2pa$, $y(\text{ъ})=(cd-p)\text{ъ}^3-c^2d\text{ъ}^2+c^2p\text{ъ}$. В первом случае параметры $c,d,p$ те же самые, что и во втором и в третьем. Вы согласны с этим? Если нет, то придётся уточнять формулировку.
да, все именно так.
Наверное, надо написать, что решениями системы уравнений будет пара a' и b' ( чтобы было понятно, что это численные решения, а не переменные.
Если это верно, то дальше все должно получиться. В этом у меня была загвоздка. Дальше все проще, и варианты концовки доказательства у меня были еще 10 лет назад.
Идея моего доказательства была в том, что
$\frac{a^2+b^2}{a+b}$ не может быть целым числом, если a и b - положительные взаимно простые числа, являющиеся решением уравнения $a^3+b^3=c^3$

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма 2
Сообщение01.06.2023, 08:18 
Аватара пользователя


26/02/14
496
so dna
natalya_1 в сообщении #1595984 писал(а):
да, все именно так.
Отлично! Теперь разберёмся с параметрами:
natalya_1 в сообщении #1595312 писал(а):
Теперь предположим, что уравнение $x^3+x'^3=z^3$
имеет решение в рациональных числах при $x=a$, $x'=b$, $z=c$, где $a$, $b$, $c$ - рациональные положительные числа.
$a^3+b^3=c^3$.
$a+b=c+d$ ,$a^2+b^2=c^2+ p$ , и
$p$ ,$d$ -рациональные числа.
Итак $a,b,c$ — некоторое решение ВТФ, т.е. для этих чисел верно равенство $a^3+b^3=c^3$. Тогда параметр $p$ определяется как $p=a^2+b^2-c^2$ а параметр $d$ определяется как $d=a+b-c$. Всё, эти параметры заданы, и больше не меняются не зависимо ни от чего, т.е. если мы рассматриваем ещё какое-нибудь решение ВТФ $a_1,b_1,c$ и подставляем, например, $a_1$ в нашу функцию, то параметры не меняются. Т.о. например, $d$ по прежнему определяется через $a,b,c$ а не через $a_1,b_1,c$ (даже несмотря на то, что в обоих решениях осталось $c$). Вы согласны?

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма 2
Сообщение01.06.2023, 19:38 


29/08/09
659
Да, все так

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма 2
Сообщение01.06.2023, 22:15 
Аватара пользователя


26/02/14
496
so dna
natalya_1 в сообщении #1596062 писал(а):
Да, все так
Значит определились.

Итак, смотрим на вашу функцию $y(t)=(cd-p)t^3-c^2dt^2+c^2pt$ (буду использовать переменную $t$, поскольку в вашем контексте $x$ — параметр). Вы пишите
natalya_1 в сообщении #1595915 писал(а):
если функция $y(t)$ (моя правка) в точках $x$ и $x'$ принимает одинаковые значения разных знаков, то...
Но функция $y(t)$ не принимает в точках $x$ и $x'$ одинаковые значения разных знаков. Она их принимает в точках $a$ и $b$. А делает она так, поскольку параметры $p$ и $d$ определены через $a,b,c$ а не через $x,x',c$. Можно, при необходимости, переопределить параметры $p,d$ через $x,x',c$, и функция начнёт принимать в точках $x$ и $x'$ одинаковые значения разных знаков, но тогда это уже будет другая функция и она перестанет принимать одинаковые значения разных знаков в точках $a$ и $b$...

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма 2
Сообщение02.06.2023, 00:09 


29/08/09
659
Rak so dna в сообщении #1596081 писал(а):
natalya_1 в сообщении #1596062 писал(а):
Да, все так
Значит определились.

Итак, смотрим на вашу функцию $y(t)=(cd-p)t^3-c^2dt^2+c^2pt$ (буду использовать переменную $t$, поскольку в вашем контексте $x$ — параметр). Вы пишите
natalya_1 в сообщении #1595915 писал(а):
если функция $y(t)$ (моя правка) в точках $x$ и $x'$ принимает одинаковые значения разных знаков, то...
Но функция $y(t)$ не принимает в точках $x$ и $x'$ одинаковые значения разных знаков. Она их принимает в точках $a$ и $b$. А делает она так, поскольку параметры $p$ и $d$ определены через $a,b,c$ а не через $x,x',c$. Можно, при необходимости, переопределить параметры $p,d$ через $x,x',c$, и функция начнёт принимать в точках $x$ и $x'$ одинаковые значения разных знаков, но тогда это уже будет другая функция и она перестанет принимать одинаковые значения разных знаков в точках $a$ и $b$...

Нет, поскольку, как я писала выше, эта функция определена и непрерывна и поскольку между точками a и b есть точка, которую мы назвали h, в которой значение функции равно нулю, а также функция принимает значение, равное нулю, в точках 0 и c, то существует три пары , в которых функция принимает одинаковые значения разных знаков при заданных численных параметрах p и d, и эти три пары a и b, a' и b', a"и b" являются решениями уравнения Ферма ( то, что я доказывала в предыдущих сообщениях).
Кроме того, $a+a''+a'=0+h+c$,
$b+b''+b'=0+h+c$
$a+a''+a'=b+b''+b$ ( это я дальше использую. Я уже раньше писала, что принцип доказательства у меня был сразу, больше десяти лет назад. Мне не хватало вот этой маленькой детали, почему-то я ее все время упускала. Но я все время чувствовала, что иду правильным путем, что решение где-то рядом. И что Ферма шёл этим же путем ( его Теорема о критичнских точках - часть доказательства. Когда я начинала свои попытки, я об этом не знала). Я художник, это на уровне интуиции. Поэтому я так упорно долблю это доказательство. У меня нет цели доказать Теорему в принципе. У меня цель - завершить мое доказательство до логического конца, потому что я уверена в нем.
Мое уравнение 2.не говорит о том, что $a+b-c=a'+b'-c$. Они не равны и не могут быть равны, 2. $\frac{a'^2+b'^2-c^2}{a'+b'-c}=\frac{a^2+b^2-c^2}{a+b-c}=\frac{p}{d}$, не значит, что $a+b-c=a'+b'-c$, и $a^2+b^2-c^2=a'^2+b'^2-c^2  $.
В моей функции a, b и с -уже не переменные, а конкретные численные значения, так же, как c, p и d.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма 2
Сообщение02.06.2023, 01:17 


29/08/09
659
Наверное, стоило отложить попытки на десять лет, чтобы посмотреть свежим взглядом.

Дальше все уже гораздо проще.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма 2
Сообщение02.06.2023, 13:14 
Аватара пользователя


26/02/14
496
so dna
natalya_1 а вы упрямая... Но всё же я ещё раз повторю, раз наверное уже в четвёртый: я верю, что $y(a)+y(b)=0$ — я это проверил, но я не верю в то, что $y(a')+y(b')=0$ (если, конечно, это не та же самая пара) — уж не сочтите за труд, распишите как вы это проверили, может я чего не досмотрел. Более того, вы утверждаете, что для некоторых различных рациональных чисел $a,b,a',b',a'',b''$ верно $y(a)=-y(b)=y(a')=-y(b')=y(a'')=-y(b'')$, да ещё и при условии, что $a^3+b^3=a'^3+b'^3=a''^3+b''^3=c^3$. Почему вы так решили? Если что, то вот это:
natalya_1 в сообщении #1596089 писал(а):
поскольку, как я писала выше, эта функция определена и непрерывна и поскольку между точками a и b есть точка, которую мы назвали h, в которой значение функции равно нулю, а также функция принимает значение, равное нулю, в точках 0 и c, то существует три пары , в которых функция принимает одинаковые значения разных знаков при заданных численных параметрах p и d
поясняет только существование таких различных действительных ( не рациональных !!! ) чисел $u,w,u',w',u'',w''$, что

$y(u)=-y(w)=y(u')=-y(w')=y(u'')=-y(w'')$


Вся ваша дальнейшая лирика, конечно, интересна, но я (пока-что) всё-таки продолжу считать, что вы искренне хотите что-то понять.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма 2
Сообщение02.06.2023, 15:16 
Аватара пользователя


26/02/14
496
so dna
natalya_1 вообще, что бы вы лучше понимали, куда пытаетесь залезть, расскажу кое-что о таких парах различных рациональных точек, в которых функция $y(t)$ принимает одинаковые по модулю, но разные по знаку значения. Четыре пары видно сразу: $(c,0),(0,c),(a,b),(b,a)$. А как насчёт пятой и шестой (без учёта перестановок)? Знаете как они выглядят? Вот так:

$\left(\frac{ac(b^2c+a^2c-b^3-a^3)}{(b^2-ab+a^2)(bc+ac-b^2-a^2)},\frac{bc(b^2c+a^2c-b^3-a^3)}{(b^2-ab+a^2)(bc+ac-b^2-a^2)}\right)$

$\left(\frac{bc(bc^2-ac^2+b^2c-abc+2a^2c-b^3-a^3)}{(bc+ac-b^2-a^2)(c^2+bc-2ac+b^2-ab+a^2)},\frac{bc(bc^2+ac^2-b^2c+abc-2a^2c-b^3+2ab^2-2a^2b+a^3)}{(bc+ac-b^2-a^2)(c^2+bc-2ac+b^2-ab+a^2)}\right)$

Как вы думаете, что будет происходить, если мы попытаемся выписать ещё пару тройку пар таких точек ? А ведь вы хотите что-то про них утверждать и как-то их анализировать. Вы думаете это проще, чем анализировать уравнение $x^3+y^3=z^3$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма 2
Сообщение02.06.2023, 15:44 


29/08/09
659
Rak so dna в сообщении #1596147 писал(а):
я верю, что $y(a)+y(b)=0$ — я это проверил, но я не верю в то, что $y(a')+y(b')=0$ (если, конечно, это не та же самая пара) — уж не сочтите за труд, распишите как вы это проверили, может я чего не досмотрел. Более того, вы утверждаете, что для некоторых различных рациональных чисел $a,b,a',b',a'',b''$ верно $y(a)=-y(b)=y(a')=-y(b')=y(a'')=-y(b'')$, да ещё и при условии, что $a^3+b^3=a'^3+b'^3=a''^3+b''^3=c^3$. Почему вы так решили? Если что, то вот это:
natalya_1 в сообщении #1596089 писал(а):
поскольку, как я писала выше, эта функция определена и непрерывна и поскольку между точками a и b есть точка, которую мы назвали h, в которой значение функции равно нулю, а также функция принимает значение, равное нулю, в точках 0 и c, то существует три пары , в которых функция принимает одинаковые значения разных знаков при заданных численных параметрах p и d
поясняет только существование таких различных действительных ( не рациональных !!! ) чисел $u,w,u',w',u'',w''$, что

$y(u)=-y(w)=y(u')=-y(w')=y(u'')=-y(w'')$



a' , b', a'' и b'' не рациональны.
Это была одна из моих ошибок , пытаться доказать их рациональность, меня это уводило в сторону. И совершенно не нужно доказывать их рациональность, это вообще не важно.
Благодаря вам, до меня наконец дошло, в чем была моя ошибка. Что я все время упускала.
А теперь все встало на свои места.
Я решала систему уравнений, и решениями этой системы стали пары чисел (a, b), (a' b') и (a'', b''). Из которых только a и b рациональны ( более того, -целые положительные числа). a'' - вообще не только иррациональное, но и отрицательно.

До меня, наконец, дошло, что ( опять же, спасибо вам), что действительно, если такие решения существуют , то ( опять же, исходя из моей системы уравнений , $a+b-c=a'+b'-c=a''+b''-c$ ( я никак не могла раньше понять, как это возможно, поскольку мыслила рациональными категориями, но при не рациональности это возможно) и , следовательно , $a+b-=a'+b'=a''+b''$.
А поскольку, как я писала выше,
$a+a'+a''=b+b'+b''=0+h+c$,
$h=\frac{cp}{cd-p}$,
получается, что $(a+b)+(a+b)+(a+b)=\frac{2c^2d }{cd-p}$, $3(a+b)=\frac{2c^2d }{cd-p}$, чего быть не может, если a и b -целые взаимно простые числа, поскольку $\frac{2c^2d }{cd-p}$ - не может быть целым числом ( $\frac{ a^2.+b^2}{a+b}$ не может быть целым числом. ( то, что я с самого начала писала о моем принципе доказательства)
А значит, наше предположение о существовании a и b было ошибочным.

Теорема доказана.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма 2
Сообщение02.06.2023, 16:04 
Аватара пользователя


26/02/14
496
so dna
natalya_1 не, ну рассмотреть такие иррациональные числа $a',b',a'',b''$, что $a'^3+b'^3=a''^3+b''^3=c^3$, да ещё
natalya_1 в сообщении #1596172 писал(а):
$a''$ - вообще не только иррациональное, но и отрицательно.
— это сильно. Прошу прощения за свою тупость, столько пытал вас совсем зазря...

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма 2
Сообщение02.06.2023, 16:07 


29/08/09
659
Rak so dna в сообщении #1596175 писал(а):
natalya_1 не, ну рассмотреть такие иррациональные числа $a',b',a'',b''$, что $a'^3+b'^3=a''^3+b''^3=c^3$, да ещё
natalya_1 в сообщении #1596172 писал(а):
$a''$ - вообще не только иррациональное, но и отрицательно.
— это сильно. Прошу прощения за свою тупость, столько пытал вас совсем зазря...

Я очень вам благодарна. Если бы не вы, я бы не доказала Теорему.
Сейчас напишу полный текст доказательства.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма 2
Сообщение02.06.2023, 17:55 


29/08/09
659
Итак, Ферма утверждал, что уравнение $x^3+x'^3=z^3$.
не имеет рациональных решений . Попробуем доказать обратное.
Предположим, что такое решение существует,
при $x=a$, $x'=b$, $z=c$, где $a$, $b$, $c$ - целые положительные взаимно простые числа и $a>b$, то есть $a^3+b^3=c^3$.

1.1. $a+b-c=d$, где
$d$ - целое положительное число
$a^2+b^2=c^2+p$, где $p$- целое положительное число.


1.2. $a+b-c=d$,
$a^2+b^2-c^2=p$ Перемножаем левые и правые части, получаем: $pa+pb-pc=a^2d+b^2d-c^2d$, $a(ad-p)+b(bd-p)=c(cd-p)

1.3. [math]$a(ad-p)+b(bd-p)=c(cd-p)$, $a^3+b^3=c^3$ (п.1.1). Перемножаем левые и правые части, получаем:$c^{3}a(ad-p)+c^{3}b(bd-p)=a^{3}c(cd-p)+b^{3}c(cd-p)$ , следовательно, $(cd-p)a^{3}-c^{2}da^2+c^{2}pa=-((cd-p)b^3-c^{2}db^2+c^{2}pb)$ .

2.1.1 функция $y=(cd-p)x^3-c^{2}dx^2+c^{2}px$ в точках $a$ и $b$ принимает одинаковые значения разных знаков и она является целой рациональной функцией, непрерывна и определена при всех значениях $x$, следовательно, между $a$ и $b$ существует точка ( назовем ее
$h$, значение функции в которой равно $0$.

2.1.3 Найдем все точки, значение функции в которых равно нулю.

$(cd-p)x^3-c^{2}dx^2+c^{2}px=0$.
$х=0$ или

$(cd-p)x^2-c^{2}dx+c^{2}p=0$
$D={c^{2}d}^2-4(cd-p)c^2p$, отсюда
$x=с$ или $x=\frac{сp}{cd-p}$.
Поскольку $a<c$, $b>0$, $h=\frac{сp}{cd-p}$.

3.1.1 поскольку
функция $y=(cd-p)x^3-c^{2}dx^2+c^{2}px$ является целой рациональной функцией, непрерывна и определена при всех значениях $x$ и ее значение равно нулю в точках 0, h и с,
существует три точки, в которых она принимает одинаковые отрицательные значения (a, a' и a'') и три , в которых она принимает одинаковые положительные значения (b, b' и b'').
И, следовательно, (a, b), (a', b') и (a'', b'') попарно являются решениями системы уравнений
1.$x^3+x'^3=c^3$.
2. $x+x'-c=d$
3. $x^2+x'^2-c^2=p$ , то есть,

$a+b-c=a'+b'-c=a''+b''-c$, и
$a+b=a'+b'=a''+b''-c$.

4.1 $a+a'+a''=b+b'+b'=0+h+c= \frac{c^2d}{cd-p}$.
отсюда $3(a+b)=\frac{c^2d}{cd-p}$. И
$ \frac{c^2d}{cd-p}$ - целое число.
Но это невозможно, поскольку $\frac{a^2+b^2}{a+b}$ не может быть целым числом.
А значит, наше первоначальное предположение о существовании решения
$a^3+b^3=c^3$ было неверным, уравнение $x^3+x'^3=z^3$ не имеет решений в рациональных числах.

Теорема доказана.

По этому же принципу она доказывается для всех степеней, больше 2

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 171 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5 ... 12  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group