Попытка доказательства Теоремы Ферма 2

[Antoshka]

natalya_1 в сообщении #1599031 писал(а):

где $(c^2d-b(cd-p))^2-4(cd-p)(c^2p+b^2(cd-p))=D_1$.
$a_1+b_2$ рациональнo, если $a_1$ и $b_2$ рациональны, либо $D=D_1$.

Сумма двух чисел может быть рациональна даже когда оба числа иррациональные! Это как-то влияет на дальнейшие выводы?

[natalya_1]

Antoshka в сообщении #1599069 писал(а):

natalya_1 в сообщении #1599031 писал(а):

где $(c^2d-b(cd-p))^2-4(cd-p)(c^2p+b^2(cd-p))=D_1$.
$a_1+b_2$ рациональнo, если $a_1$ и $b_2$ рациональны, либо $D=D_1$.

Сумма двух чисел может быть рациональна даже когда оба числа иррациональные! Это как-то влияет на дальнейшие выводы?

мы говорим о конкретных $a_1$и $b_2$. И в этом случае будет так, как я сказала.
но я вообще не уверена, что мне нужно доказывать их рациональность. Все это делается для многократной проверки и поиска ошибки

[natalya_1]

Повторюсь, я пробовала разные варианты движения, это другой (я сделала ошибку в оформлении в прошлый раз ) .


$a_1<a_2<a$, $b_1<b<b_2$ , $h<k$,где $k$ точка перегиба функции
$y=(cd-p)x^3-c^{2}dx^2+c^{2}px$.
$a+a_1+a_2=b+b_1+b_2=0+h+c$

$f_4(x)=f(x)-f(k)$, $f_5(x)=f_4(x-(c-k_2))$, где $f_4(k)=f_4(k_2)=f_4(k_3)=0$, $f_5(a_1)=-f_5(b_2)=f(a_1)=-f(b_2)$,
отсюда

$a_1+b_2=c$





$(a_1^3+b_2^3)(cd-p)-c^2d(a^_1^2+b_2^2)+c^2p(a_1+b_2)=0$
и $a_1+b_2=c$, то

$(a_1^2-a_1b_2+b_2^2)(cd-p)-cd(a^_1^2+b_2^2)+c^2p=0$,

$(a_1+b_2)^2(cd-p)-cd(a^_1+b_2)^2-3a_1b_2(cd-p)+2cda_1b_2+c^2p=0$,

$c^2(cd-p)-c^3d-3a_1b_2(cd-p)+2cda_1b_2+c^2p=0$,


$3(cd-p)=2cd$, $cd=3p$, что невозможно.

Я сама очень удивлена результатом, к которому пришла. Потому что, если это правда, то $h=k=\frac{c}{2}$,


но я пока не могу найти ошибку

[natalya_1]

Я рассматривала и другой вариант, но не пишу, потому что не знаю, может ли быть так, что графики $f(x)$ и $f_5(x)$ пересекаются только по касательной в точках $0$ и $c$,
тогда тоже получается. И не так странно. Sorry, в силу своей математической безграмотности я могу говорить смешные вещи

[natalya_1]

Но мой интерес именно в том чтобы пройти путь Ферма самой. Я сознательно не пользуюсь справочными материалами.

[Dedekind]

natalya_1 в сообщении #1599087 писал(а):

Но мой интерес именно в том чтобы пройти путь Ферма самой

Скажите, а "Арифметику" Диофанта Вы прочитали?

[natalya_1]

Dedekind в сообщении #1599093 писал(а):

natalya_1 в сообщении #1599087 писал(а):

Но мой интерес именно в том чтобы пройти путь Ферма самой

Скажите, а "Арифметику" Диофанта Вы прочитали?

Да

[пианист]

Можно пару вопросов с галерки?

natalya_1 в сообщении #1597152 писал(а):

Рассмотрим ближайшие точки к h a_1 и b_1 , в которых функция
$f(x)=x^3(cd-p)-c^2x^2d+c^2xp$ принимает одинаковые значения разных знаков.

$h$, если оно со второй страницы обсуждения не переопределилось, это $\frac{cp}{cd-p}$ (кстати, почему бы и не писать явно, проще же разбираться), а что за зверь "ближайшие точки"? Вроде же, что бы мы ни взяли, всегда можно выбрать еще ближе, разве не так?
И еще, если я правильно понял, Вы используете в доказательстве теоремы анализа, которые справедливы, только когда речь идет о вещественных числах. С другой стороны, ВТФ это свойство рациональных чисел. Стало быть, у Вас где-то должен быть логический переход типа:
(утверждение о числах из $\mathbb{R}$) $\to$ (утверждение о числах из $\mathbb{Q}$)
Вот где этот переход?

[Antoshka]

пианист в сообщении #1599164 писал(а):

а что за зверь "ближайшие точки"? Вроде же, что бы мы ни взяли, всегда можно выбрать еще ближе, разве не так?

Может это те, разность которых равна единице?

[Dedekind]

natalya_1 в сообщении #1599138 писал(а):

Да

Отлично! Но, насколько мне известно, во времена Ферма, и, тем более, Диофанта, иррациональные числа были не в ходу. А Вы их используете в своем доказательстве. Выходит, свернули с пути Ферма куда-то не туда?

[пианист]

Antoshka в сообщении #1599170 писал(а):

Может это те, разность которых равна единице?

Может.

(Оффтоп)

Dedekind в сообщении #1599172 писал(а):

Выходит, свернули с пути Ферма куда-то не туда?

Особенно если учесть, что, скорее всего, Ферма не только что не доказывал теорему своего имени, но и вряд ли даже ее формулировал.
Во всяком случае, у меня такое впечатление сложилось по прочтении материалов, которые собрала уважаемая shwedka.

[natalya_1]

Dedekind в сообщении #1599172 писал(а):

natalya_1 в сообщении #1599138 писал(а):

Да

Отлично! Но, насколько мне известно, во времена Ферма, и, тем более, Диофанта, иррациональные числа были не в ходу. А Вы их используете в своем доказательстве. Выходит, свернули с пути Ферма куда-то не туда?

Нет, я хорошо изучила биографию Ферма и все его записи. Я не использую иррациональные числа в доказательстве. Я доказываю, что уравнение Ферма не может иметь решений в рациональных числах. Поскольку сегодня понятно, что в иррациональных числах оно решение имеет.

-- Вт июн 27, 2023 19:14:38 --

Доказательство ферма могло выглядеть вот так:
Предположим, что такое решение существует,
при $x=a$, $x'=b$, $z=c$, где $a$, $b$, $c$ - целые положительные взаимно простые числа и $a>b$, то есть $a^3+b^3=c^3$.

1.1. $a+b-c=d$, где
$d$ - целое положительное число
$a^2+b^2=c^2+p$, где $p$- целое положительное число.


1.2. $a+b-c=d$,

$a^2+b^2-c^2=p$ Перемножаем левые и правые части, получаем: $pa+pb-pc=a^2d+b^2d-c^2d$,
$a(ad-p)+b(bd-p)=c(cd-p)

1.3. $a(ad-p)+b(bd-p)=c(cd-p)$,

$a^3+b^3=c^3$ (п.1.1).
Перемножаем левые и правые части, получаем:$c^{3}a(ad-p)+c^{3}b(bd-p)=a^{3}c(cd-p)+b^{3}c(cd-p)$ , следовательно, $(cd-p)a^{3}-c^{2}da^2+c^{2}pa=-((cd-p)b^3-c^{2}db^2+c^{2}pb)$ .

2.1.1 функция $y=(cd-p)x^3-c^{2}dx^2+c^{2}px$ в точках $a$ и $b$ принимает одинаковые значения разных знаков и она является целой рациональной функцией, непрерывна и определена при всех значениях $x$, следовательно, между $a$ и $b$ существует точка ( назовем ее
$h$, значение функции в которой равно $0$.

2.1.3 Найдем все точки, значение функции в которых равно нулю.

$(cd-p)x^3-c^{2}dx^2+c^{2}px=0$.
$x=0$ или

$(cd-p)x^2-c^{2}dx+c^{2}p=0$
$D={c^{2}d}^2-4(cd-p)c^2p$, отсюда
$x=с$ или $x=\frac{сp}{cd-p}$.
Поскольку $a<c$, $b>0$, $h=\frac{сp}{cd-p}$.

3.1.1 поскольку
функция $y=(cd-p)x^3-c^{2}dx^2+c^{2}px$ является целой рациональной функцией, непрерывна и определена при всех значениях $x$ и ее значение равно нулю в точках 0, h и с,
существует три точки, в которых она принимает одинаковые отрицательные значения (,$a$, $a_1$ и $a_2$ и три , в которых она принимает одинаковые положительные значения ( $b$, $b_1$ и $b_2$
При этом,
$b+b_1+b_2=a+a_1+a_2=0+h+c$







6.1 $(a_1^3-a_2^3)(cd-p)-c^2d(a_1^2-a_2^2)+c^2p(a_1-a_2)=0$ , из равенства следует, что
$\frac {(a_1^3-a_2^3)^3(cd-p)^2}{c^2}$-целое число).



6.3.. $(b^3+a_2^3)(cd-p)-c^2d(b^2+a_2^2)+c^2p(b+a_2)=0$, отсюда
$\frac{(b^3+a_2^3)}{с^2} - целое число, $\frac{(b^3+a_1^3)}{с^2}, следовательно,
$\frac{(a_1^3+a_2^3)}{c^2}$ - целое число.
Но у нас
$\frac {_1^3-a_2^3}{c^2}$- целое число ( п.6.1), следовательно, $\frac{2a_1^3}{c^2}$, $\frac{2a_2^3}{c^2}$ - целые числа, что невозможно, поскольку

$a^3(cd-p)-c^2da^2+c^2pa=a_1^3(cd-p)-c^2da_1^2+c^2pa_1=a_2^3(cd-p)-c^2da_2^2+c^2pa_2$ и
$a$ и $c$ - взаимно простые числа.

-- Вт июн 27, 2023 19:27:14 --

пианист в сообщении #1599178 писал(а):

Antoshka в сообщении #1599170 писал(а):

Может это те, разность которых равна единице?

Может.

(Оффтоп)

Dedekind в сообщении #1599172 писал(а):

Выходит, свернули с пути Ферма куда-то не туда?

Особенно если учесть, что, скорее всего, Ферма не только что не доказывал теорему своего имени, но и вряд ли даже ее формулировал.
Во всяком случае, у меня такое впечатление сложилось по прочтении материалов, которые собрала уважаемая shwedka.

Я абсолютно уверена, что доказал Ферма доказал теорему и абсолютно уверена что он шёл тем путём которым шла я. Другие записи на полях арифметики диофанта -ступени доказательства этой теоремы. Имелось в виду ближайшая пара из a_1, a_2, a, b, b_1, b_2.

мне трудно описывать без картинки. Я всё время делаю ошибки.

-- Вт июн 27, 2023 19:29:22 --

natalya_1 в сообщении #1599080 писал(а):

Я рассматривала и другой вариант, но не пишу, потому что не знаю, может ли быть так, что графики $f(x)$ и $f_5(x)$ пересекаются только по касательной в точках $0$ и $c$,
тогда тоже получается.

Разобралась с пересечением графиков Буду проверять получившееся

[natalya_1]

пианист в сообщении #1599164 писал(а):

Можно пару вопросов с галерки?

$h$, если оно со второй страницы обсуждения не переопределилось, это $\frac{cp}{cd-p}$ (кстати, почему бы и не писать явно, проще же разбираться)

Эти обозначения ввела для картинки, на которой изображала расположение точек и все перемещения. Если бы я могла прикрепить картинку, было бы гораздо проще разбираться

[пианист]

natalya_1 в сообщении #1599215 писал(а):

Имелось в виду ближайшая пара из a_1, a_2, a, b, b_1, b_2.

Честно сказать, еще меньше понял ;(
Что есть "пара из a_1, a_2, a, b, b_1, b_2", и как определять ее близость (и к чему, собс-но?).
Ну, ладно.
Третий корень Вашего уравнения Вы неправильно нашли, я же написал, чему он равен.
Как, все-таки, насчет второго моего вопроса?

[Onoochin]

Natalya,

не могли бы Вы пояснить один момент Вашего доказательства.

Вы утверждаете, что при выполнении
$b+b_1+b_2=a+a_1+a_2=0+h+c$
что следует из "сумма корней функции + некая постоянная = $\frac{c^2}{cd-p}$",
получается, что
$\frac {(a_1^3-a_2^3)^3(cd-p)^2}{c^2}$-целое число.

Как Вы можете это показать?

Вообще, если у кубического ур-ния один корень целый, остальные далеко не целые и не рациональные. В общем виде - чтобы получить три действительных корня - приходится вычислять комплексные величины. Это еще Кардано обнаружил. Например для значений Вашей функции $c = 50,\, d = 5,\, p = 100$, и значения функции $F=300000$ имеются три действительных корня, один из $a=30$. Другие два тоже действительные, но иррациональные.
$a_1=10(8-\sqrt{58})/3$, $a_2=10(8+\sqrt{58})/3$

Разность кубов - величина иррациональная.