Попытка доказательства Теоремы Ферма 2

[Rak so dna]

natalya_1 в сообщении #1595915 писал(а):

...если функция...

Проблема в том, что пока что у нас нет никакой функции. Вы её ещё не определили.

[natalya_1]

Rak so dna в сообщении #1595323 писал(а):

natalya_1 у вас есть функция $y(x)=(cd-p)x^3-c^{2}dx^2+c^{2}px$, а также три решения ВТФ: $(a,b,c)$, $(a',b',c)$, $(a'',b'',c)$. Почему вы считаете, что $y(a)=y(a')=y(a'')$ ?

Речь идет о функции $y(x)=(cd-p)x^3-c^{2}dx^2+c^{2}px$.
И решениях системы уравнений , которую я написала выше, x и x' таких, что $f(x)=f(a)=(cd-p)a^3-c^{2}da^2+c^{2}pa$ и $f(x')=f(b)=(cd-p)b^3-c^{2}db^2+c^{2}pb$.
Если
1. $x^3+x'^3=c^3$
2. $\frac{x^2+x'^2-c^2}{x+x'-c}=\frac{a^2+b^2-c^2}{a+b-c}=\frac{p}{d}$,
3. $2x^3>c^3$ и $2x'^3<c^3$, то из уравнения 2 следует
$(x^2+x'^2)d-(x+x')p=c(cd-p)$,
У нас
$(cd-p)(x^3+x'^3)c^{2}d(x^2+x'^2)+c^{2}p(x+x')=(cd-p)(a^3+b^3)-c^{2}d(a^2+b^2)+c^{2}p(a+b)$, отсюда
$x^3+x'^3=a^3+b^3=c^3$

[Rak so dna]

natalya_1 в сообщении #1595977 писал(а):

Речь идет о функции $y(x)=(cd-p)x^3-c^{2}dx^2+c^{2}px$

Вот это уже определение. Согласно этому определению $x$ — переменная, а $c,d,p$ — параметры. Т.о. $y(x')=(cd-p)x'^3-c^2dx'^2+c^2px'$, $y(a)=(cd-p)a^3-c^2da^2+c^2pa$, $y(\text{ъ})=(cd-p)\text{ъ}^3-c^2d\text{ъ}^2+c^2p\text{ъ}$. В первом случае параметры $c,d,p$ те же самые, что и во втором и в третьем. Вы согласны с этим? Если нет, то придётся уточнять формулировку.

[natalya_1]

Rak so dna в сообщении #1595983 писал(а):

natalya_1 в сообщении #1595977 писал(а):

Речь идет о функции $y(x)=(cd-p)x^3-c^{2}dx^2+c^{2}px$

Вот это уже определение. Согласно этому определению $x$ — переменная, а $c,d,p$ — параметры. Т.о. $y(x')=(cd-p)x'^3-c^2dx'^2+c^2px'$, $y(a)=(cd-p)a^3-c^2da^2+c^2pa$, $y(\text{ъ})=(cd-p)\text{ъ}^3-c^2d\text{ъ}^2+c^2p\text{ъ}$. В первом случае параметры $c,d,p$ те же самые, что и во втором и в третьем. Вы согласны с этим? Если нет, то придётся уточнять формулировку.

да, все именно так.
Наверное, надо написать, что решениями системы уравнений будет пара a' и b' ( чтобы было понятно, что это численные решения, а не переменные.
Если это верно, то дальше все должно получиться. В этом у меня была загвоздка. Дальше все проще, и варианты концовки доказательства у меня были еще 10 лет назад.
Идея моего доказательства была в том, что
$\frac{a^2+b^2}{a+b}$ не может быть целым числом, если a и b - положительные взаимно простые числа, являющиеся решением уравнения $a^3+b^3=c^3$

[Rak so dna]

natalya_1 в сообщении #1595984 писал(а):

да, все именно так.

Отлично! Теперь разберёмся с параметрами:

natalya_1 в сообщении #1595312 писал(а):

Теперь предположим, что уравнение $x^3+x'^3=z^3$
имеет решение в рациональных числах при $x=a$, $x'=b$, $z=c$, где $a$, $b$, $c$ - рациональные положительные числа.
$a^3+b^3=c^3$.
$a+b=c+d$ ,$a^2+b^2=c^2+ p$ , и
$p$ ,$d$ -рациональные числа.

Итак $a,b,c$ — некоторое решение ВТФ, т.е. для этих чисел верно равенство $a^3+b^3=c^3$. Тогда параметр $p$ определяется как $p=a^2+b^2-c^2$ а параметр $d$ определяется как $d=a+b-c$. Всё, эти параметры заданы, и больше не меняются не зависимо ни от чего, т.е. если мы рассматриваем ещё какое-нибудь решение ВТФ $a_1,b_1,c$ и подставляем, например, $a_1$ в нашу функцию, то параметры не меняются. Т.о. например, $d$ по прежнему определяется через $a,b,c$ а не через $a_1,b_1,c$ (даже несмотря на то, что в обоих решениях осталось $c$). Вы согласны?

[natalya_1]

Да, все так

[Rak so dna]

natalya_1 в сообщении #1596062 писал(а):

Да, все так

Значит определились.

Итак, смотрим на вашу функцию $y(t)=(cd-p)t^3-c^2dt^2+c^2pt$ (буду использовать переменную $t$, поскольку в вашем контексте $x$ — параметр). Вы пишите

natalya_1 в сообщении #1595915 писал(а):

если функция $y(t)$ (моя правка) в точках $x$ и $x'$ принимает одинаковые значения разных знаков, то...

Но функция $y(t)$ не принимает в точках $x$ и $x'$ одинаковые значения разных знаков. Она их принимает в точках $a$ и $b$. А делает она так, поскольку параметры $p$ и $d$ определены через $a,b,c$ а не через $x,x',c$. Можно, при необходимости, переопределить параметры $p,d$ через $x,x',c$, и функция начнёт принимать в точках $x$ и $x'$ одинаковые значения разных знаков, но тогда это уже будет другая функция и она перестанет принимать одинаковые значения разных знаков в точках $a$ и $b$...

[natalya_1]

Rak so dna в сообщении #1596081 писал(а):

natalya_1 в сообщении #1596062 писал(а):

Да, все так

Значит определились.

Итак, смотрим на вашу функцию $y(t)=(cd-p)t^3-c^2dt^2+c^2pt$ (буду использовать переменную $t$, поскольку в вашем контексте $x$ — параметр). Вы пишите

natalya_1 в сообщении #1595915 писал(а):

если функция $y(t)$ (моя правка) в точках $x$ и $x'$ принимает одинаковые значения разных знаков, то...

Но функция $y(t)$ не принимает в точках $x$ и $x'$ одинаковые значения разных знаков. Она их принимает в точках $a$ и $b$. А делает она так, поскольку параметры $p$ и $d$ определены через $a,b,c$ а не через $x,x',c$. Можно, при необходимости, переопределить параметры $p,d$ через $x,x',c$, и функция начнёт принимать в точках $x$ и $x'$ одинаковые значения разных знаков, но тогда это уже будет другая функция и она перестанет принимать одинаковые значения разных знаков в точках $a$ и $b$...

Нет, поскольку, как я писала выше, эта функция определена и непрерывна и поскольку между точками a и b есть точка, которую мы назвали h, в которой значение функции равно нулю, а также функция принимает значение, равное нулю, в точках 0 и c, то существует три пары , в которых функция принимает одинаковые значения разных знаков при заданных численных параметрах p и d, и эти три пары a и b, a' и b', a"и b" являются решениями уравнения Ферма ( то, что я доказывала в предыдущих сообщениях).
Кроме того, $a+a''+a'=0+h+c$,
$b+b''+b'=0+h+c$
$a+a''+a'=b+b''+b$ ( это я дальше использую. Я уже раньше писала, что принцип доказательства у меня был сразу, больше десяти лет назад. Мне не хватало вот этой маленькой детали, почему-то я ее все время упускала. Но я все время чувствовала, что иду правильным путем, что решение где-то рядом. И что Ферма шёл этим же путем ( его Теорема о критичнских точках - часть доказательства. Когда я начинала свои попытки, я об этом не знала). Я художник, это на уровне интуиции. Поэтому я так упорно долблю это доказательство. У меня нет цели доказать Теорему в принципе. У меня цель - завершить мое доказательство до логического конца, потому что я уверена в нем.
Мое уравнение 2.не говорит о том, что $a+b-c=a'+b'-c$. Они не равны и не могут быть равны, 2. $\frac{a'^2+b'^2-c^2}{a'+b'-c}=\frac{a^2+b^2-c^2}{a+b-c}=\frac{p}{d}$, не значит, что $a+b-c=a'+b'-c$, и $a^2+b^2-c^2=a'^2+b'^2-c^2 $.
В моей функции a, b и с -уже не переменные, а конкретные численные значения, так же, как c, p и d.

[natalya_1]

Наверное, стоило отложить попытки на десять лет, чтобы посмотреть свежим взглядом.

Дальше все уже гораздо проще.

[Rak so dna]

natalya_1 а вы упрямая... Но всё же я ещё раз повторю, раз наверное уже в четвёртый: я верю, что $y(a)+y(b)=0$ — я это проверил, но я не верю в то, что $y(a')+y(b')=0$ (если, конечно, это не та же самая пара) — уж не сочтите за труд, распишите как вы это проверили, может я чего не досмотрел. Более того, вы утверждаете, что для некоторых различных рациональных чисел $a,b,a',b',a'',b''$ верно $y(a)=-y(b)=y(a')=-y(b')=y(a'')=-y(b'')$, да ещё и при условии, что $a^3+b^3=a'^3+b'^3=a''^3+b''^3=c^3$. Почему вы так решили? Если что, то вот это:

natalya_1 в сообщении #1596089 писал(а):

поскольку, как я писала выше, эта функция определена и непрерывна и поскольку между точками a и b есть точка, которую мы назвали h, в которой значение функции равно нулю, а также функция принимает значение, равное нулю, в точках 0 и c, то существует три пары , в которых функция принимает одинаковые значения разных знаков при заданных численных параметрах p и d

поясняет только существование таких различных действительных ( не рациональных !!! ) чисел $u,w,u',w',u'',w''$, что

$y(u)=-y(w)=y(u')=-y(w')=y(u'')=-y(w'')$


Вся ваша дальнейшая лирика, конечно, интересна, но я (пока-что) всё-таки продолжу считать, что вы искренне хотите что-то понять.

[Rak so dna]

natalya_1 вообще, что бы вы лучше понимали, куда пытаетесь залезть, расскажу кое-что о таких парах различных рациональных точек, в которых функция $y(t)$ принимает одинаковые по модулю, но разные по знаку значения. Четыре пары видно сразу: $(c,0),(0,c),(a,b),(b,a)$. А как насчёт пятой и шестой (без учёта перестановок)? Знаете как они выглядят? Вот так:

$\left(\frac{ac(b^2c+a^2c-b^3-a^3)}{(b^2-ab+a^2)(bc+ac-b^2-a^2)},\frac{bc(b^2c+a^2c-b^3-a^3)}{(b^2-ab+a^2)(bc+ac-b^2-a^2)}\right)$

$\left(\frac{bc(bc^2-ac^2+b^2c-abc+2a^2c-b^3-a^3)}{(bc+ac-b^2-a^2)(c^2+bc-2ac+b^2-ab+a^2)},\frac{bc(bc^2+ac^2-b^2c+abc-2a^2c-b^3+2ab^2-2a^2b+a^3)}{(bc+ac-b^2-a^2)(c^2+bc-2ac+b^2-ab+a^2)}\right)$

Как вы думаете, что будет происходить, если мы попытаемся выписать ещё пару тройку пар таких точек ? А ведь вы хотите что-то про них утверждать и как-то их анализировать. Вы думаете это проще, чем анализировать уравнение $x^3+y^3=z^3$ ?

[natalya_1]

Rak so dna в сообщении #1596147 писал(а):

я верю, что $y(a)+y(b)=0$ — я это проверил, но я не верю в то, что $y(a')+y(b')=0$ (если, конечно, это не та же самая пара) — уж не сочтите за труд, распишите как вы это проверили, может я чего не досмотрел. Более того, вы утверждаете, что для некоторых различных рациональных чисел $a,b,a',b',a'',b''$ верно $y(a)=-y(b)=y(a')=-y(b')=y(a'')=-y(b'')$, да ещё и при условии, что $a^3+b^3=a'^3+b'^3=a''^3+b''^3=c^3$. Почему вы так решили? Если что, то вот это:

natalya_1 в сообщении #1596089 писал(а):

поскольку, как я писала выше, эта функция определена и непрерывна и поскольку между точками a и b есть точка, которую мы назвали h, в которой значение функции равно нулю, а также функция принимает значение, равное нулю, в точках 0 и c, то существует три пары , в которых функция принимает одинаковые значения разных знаков при заданных численных параметрах p и d

поясняет только существование таких различных действительных ( не рациональных !!! ) чисел $u,w,u',w',u'',w''$, что

$y(u)=-y(w)=y(u')=-y(w')=y(u'')=-y(w'')$

a' , b', a'' и b'' не рациональны.
Это была одна из моих ошибок , пытаться доказать их рациональность, меня это уводило в сторону. И совершенно не нужно доказывать их рациональность, это вообще не важно.
Благодаря вам, до меня наконец дошло, в чем была моя ошибка. Что я все время упускала.
А теперь все встало на свои места.
Я решала систему уравнений, и решениями этой системы стали пары чисел (a, b), (a' b') и (a'', b''). Из которых только a и b рациональны ( более того, -целые положительные числа). a'' - вообще не только иррациональное, но и отрицательно.

До меня, наконец, дошло, что ( опять же, спасибо вам), что действительно, если такие решения существуют , то ( опять же, исходя из моей системы уравнений , $a+b-c=a'+b'-c=a''+b''-c$ ( я никак не могла раньше понять, как это возможно, поскольку мыслила рациональными категориями, но при не рациональности это возможно) и , следовательно , $a+b-=a'+b'=a''+b''$.
А поскольку, как я писала выше,
$a+a'+a''=b+b'+b''=0+h+c$,
$h=\frac{cp}{cd-p}$,
получается, что $(a+b)+(a+b)+(a+b)=\frac{2c^2d }{cd-p}$, $3(a+b)=\frac{2c^2d }{cd-p}$, чего быть не может, если a и b -целые взаимно простые числа, поскольку $\frac{2c^2d }{cd-p}$ - не может быть целым числом ( $\frac{ a^2.+b^2}{a+b}$ не может быть целым числом. ( то, что я с самого начала писала о моем принципе доказательства)
А значит, наше предположение о существовании a и b было ошибочным.

Теорема доказана.

[Rak so dna]

natalya_1 не, ну рассмотреть такие иррациональные числа $a',b',a'',b''$, что $a'^3+b'^3=a''^3+b''^3=c^3$, да ещё

natalya_1 в сообщении #1596172 писал(а):

$a''$ - вообще не только иррациональное, но и отрицательно.

— это сильно. Прошу прощения за свою тупость, столько пытал вас совсем зазря...

[natalya_1]

Rak so dna в сообщении #1596175 писал(а):

natalya_1 не, ну рассмотреть такие иррациональные числа $a',b',a'',b''$, что $a'^3+b'^3=a''^3+b''^3=c^3$, да ещё

natalya_1 в сообщении #1596172 писал(а):

$a''$ - вообще не только иррациональное, но и отрицательно.

— это сильно. Прошу прощения за свою тупость, столько пытал вас совсем зазря...

Я очень вам благодарна. Если бы не вы, я бы не доказала Теорему.
Сейчас напишу полный текст доказательства.

[natalya_1]

Итак, Ферма утверждал, что уравнение $x^3+x'^3=z^3$.
не имеет рациональных решений . Попробуем доказать обратное.
Предположим, что такое решение существует,
при $x=a$, $x'=b$, $z=c$, где $a$, $b$, $c$ - целые положительные взаимно простые числа и $a>b$, то есть $a^3+b^3=c^3$.

1.1. $a+b-c=d$, где
$d$ - целое положительное число
$a^2+b^2=c^2+p$, где $p$- целое положительное число.


1.2. $a+b-c=d$,
$a^2+b^2-c^2=p$ Перемножаем левые и правые части, получаем: $pa+pb-pc=a^2d+b^2d-c^2d$, $a(ad-p)+b(bd-p)=c(cd-p) 1.3. [math]$a(ad-p)+b(bd-p)=c(cd-p)$, $a^3+b^3=c^3$ (п.1.1). Перемножаем левые и правые части, получаем:$c^{3}a(ad-p)+c^{3}b(bd-p)=a^{3}c(cd-p)+b^{3}c(cd-p)$ , следовательно, $(cd-p)a^{3}-c^{2}da^2+c^{2}pa=-((cd-p)b^3-c^{2}db^2+c^{2}pb)$ .

2.1.1 функция $y=(cd-p)x^3-c^{2}dx^2+c^{2}px$ в точках $a$ и $b$ принимает одинаковые значения разных знаков и она является целой рациональной функцией, непрерывна и определена при всех значениях $x$, следовательно, между $a$ и $b$ существует точка ( назовем ее
$h$, значение функции в которой равно $0$.

2.1.3 Найдем все точки, значение функции в которых равно нулю.

$(cd-p)x^3-c^{2}dx^2+c^{2}px=0$.
$х=0$ или

$(cd-p)x^2-c^{2}dx+c^{2}p=0$
$D={c^{2}d}^2-4(cd-p)c^2p$, отсюда
$x=с$ или $x=\frac{сp}{cd-p}$.
Поскольку $a<c$, $b>0$, $h=\frac{сp}{cd-p}$.

3.1.1 поскольку
функция $y=(cd-p)x^3-c^{2}dx^2+c^{2}px$ является целой рациональной функцией, непрерывна и определена при всех значениях $x$ и ее значение равно нулю в точках 0, h и с,
существует три точки, в которых она принимает одинаковые отрицательные значения (a, a' и a'') и три , в которых она принимает одинаковые положительные значения (b, b' и b'').
И, следовательно, (a, b), (a', b') и (a'', b'') попарно являются решениями системы уравнений
1.$x^3+x'^3=c^3$.
2. $x+x'-c=d$
3. $x^2+x'^2-c^2=p$ , то есть,

$a+b-c=a'+b'-c=a''+b''-c$, и
$a+b=a'+b'=a''+b''-c$.

4.1 $a+a'+a''=b+b'+b'=0+h+c= \frac{c^2d}{cd-p}$.
отсюда $3(a+b)=\frac{c^2d}{cd-p}$. И
$ \frac{c^2d}{cd-p}$ - целое число.
Но это невозможно, поскольку $\frac{a^2+b^2}{a+b}$ не может быть целым числом.
А значит, наше первоначальное предположение о существовании решения
$a^3+b^3=c^3$ было неверным, уравнение $x^3+x'^3=z^3$ не имеет решений в рациональных числах.

Теорема доказана.

По этому же принципу она доказывается для всех степеней, больше 2