Еще один вариант для кубов

[dick]

С учетом того что $b=(z-y)^{2/3}$; $x=x_1x_2$; $x_1=(z-y){1/3}$;
Равенство (1.2) приобретает вид:
$x^3-bx=3(z-y)x^2+3(k_2^2-k_1^2)x$ (3);
$x^2-b=3(z-y)x+3(k_2^2-k_1^2)$ (3.1);
$x_2^2-1=3x_1x+3x_1(k_2+k_1)$ (3.2);
$(x_2-1)(x_2+1)=x_1(3x+3(k_2+k_1))$ (3.3);
Левая часть (3.3) делится на $x_1$, поскольку взаимно простые числа $x_2$ и $x_1$, оба имеют форму $6n+1$ и числа отличающиеся от $x_2$ на единицу могут делиться на $x_1$, если только $x_2$ и $x_1$ не соседние числа формы $6n+1$.

[mihaild]

(это, видимо, всё для случая $d = 1$)

dick в сообщении #1574832 писал(а):

Равенство (1.2) приобретает вид

Вообще это стоило бы расписать подробнее, тут преобразования, которые я в уме проделать не смог, пришлось записывать.

dick в сообщении #1574832 писал(а):

Левая часть (3.3) делится на $x_1$, поскольку

А разве не потому, что она равна правой части, где стоит $x_1$, умноженное на целое число?

dick в сообщении #1574832 писал(а):

оба имеют форму $6n+1$

Я пропустил, это где-то доказывалось?

[dick]

1. Это для случая $d=1$.
2. Постараюсь писать подробнее.
3. Наше равенство гипотетическое, поэтому в любой момент оно может оказаться ложным. Для меня делимость на $x_1$ не была очевидной.
4. Об этом было в начале темы, хотя и вскользь. Правду сказать, Вы меня удивили.
Из $x=a+(z-y)$ следует, что $x$ имеет форму $6n+1$. Потому что $a$ делится на 6, а для нечетного числа возможны только три остатка: 1,3,5. Случай остаток равен 3 исключается, поскольку по условию $x$ не делится на 3 (обе скобки разложения (1) - кубы). Случай остаток равен 5 исключается, поскольку 5 не может быть кубом. Остается единица.
На всякий случай напомню, что предметом нашей дискуссии является вопрос: является ли число $(z-y)$ обязательно единицей, или может быть числом формы $6n+1$.
В равенстве $x^3=(z-y)((z-y)^2+3zy)$ левая часть имеет форму $6n+1$, поэтому обе скобки должны иметь форму $6n+1$. Соответственно $x_1,x_2$ также имеют форму $6n+1$.

[Valprim]

dick в сообщении #1574861 писал(а):

поскольку 5 не может быть кубом. Остается единица.

5 - остаток эквивалентный (-1), что является кубом.

[dick]

Здоровеньки булы, у нас нет отрицательых остатков.

[mihaild]

dick в сообщении #1574861 писал(а):

Из $x=a+(z-y)$

Что такое $a$? На последних двух страницах его вроде бы не было.

dick в сообщении #1574861 писал(а):

Случай остаток равен 5 исключается, поскольку 5 не может быть кубом.

В смысле остаток куба по модулю $6$ не может быть равен $5$? А для $5^3$ он какой будет?

[dick]

Если выполняется (1), должно выполняться $x+y=z+a$, где $a$ делится на 6.
Посмотрите начало темы.

Вы не о том, у нас остаток от деления основания куба на $a$ должен быть кубом, ведь $(z-y)$ -куб.

[mihaild]

dick в сообщении #1574954 писал(а):

Посмотрите начало темы

Нет, так не пойдет, тут 9 страниц хождения туда-сюда, я не буду выискивать обозначения неизвестно где.

dick в сообщении #1574954 писал(а):

Вы не о том, у нас остаток от деления основания куба на $a$ должен быть кубом, ведь $(z-y)$ -куб

Сформулируйте точно утверждение, которое вы тут используете.

Вообще, тут вопрос, какой статус этого обсуждения? Если вы считаете, что у вас есть доказательство, и вы хотите, чтобы его проверили, то и излагайте в форме, в которой его можно проверять. Если у вас есть идея, и вы хотите с кем-то попробовать из неё получить доказательство - то ок, но скажите это явно, и я тут же перестану задавать вопросы.

[dick]

Если выполняется (1), должно выполняться $x+y=z+a$ (2).Число $a$ делится на 6, потому что после возведения (2) в степень 3 и сокращения кубов согласно (1), в одной части равенства останется $a^3$, а в другой - четное число кратное 3.
После процедуры, описанной выше и несложных преобразований получим:
$a^3=3(z-y)(z-x)(x+y)$ (2.1);
Поскольку $x>a$ и $y>a$, должно быть грубо $(a^2/6)>(z-y)(z-x)$.
Но $z-x>z-y$, поэтому $a>(z-y)$.
Поскольку $z-y$ это нечетный куб, при наименьшем $a=6$ этот куб – единица.

Это к вопросу что такое $a$.

Меня интересует доказательство. И сейчас я мог бы, пожалуй, его предложить, но Ваши и не только Ваши вопросы помогают глубже понять предмет.

[Valprim]

dick в сообщении #1574987 писал(а):

Поскольку $z-y$ это нечетный куб, при наименьшем $a=6$ этот куб – единица.

Значение a=6 не определяет минимальную тройку решения. Частный случай. При x=11 тоже нет решения, но это не значит, что теорема доказана.

[dick]

Извините, но я понял только что $a=6$ не определяет тройку решения, а что значат два последних предложения я не понял.
А насчет $a=6$, надо бы пояснить.

[Valprim]

dick в сообщении #1575008 писал(а):

А насчет $a=6$, надо бы пояснить.

При a=6, куб z-y=1. Не ограниченные ничем числа z,y - могут быть любыми соседними значениями. Но это совсем не значит, что соседние числа есть в предполагаемом минимальном решении уравнения Ферма. То есть a=6 относится к частным случаям отсутствия решений.

[dick]

Valprim в сообщении #1575009 писал(а):

Но это совсем не значит, что соседние числа есть в предполагаемом минимальном решении уравнения Ферма. То есть a=6 относится к частным случаям отсутствия решений.

Теперь понятно, но согласитесь, что Ваше утверждение насчет "совсем не значит..." голословно.

[mihaild]

dick в сообщении #1574987 писал(а):

Поскольку $x>a$ и $y>a$, должно быть грубо $(a^2/6)>(z-y)(z-x)$.

Непонятно, что значит "грубо". Правую часть вы поделили на что-то, большее $2a$ (и никаких лучших оценок пока не было), а левую - на $6a$.

dick в сообщении #1574987 писал(а):

Меня интересует доказательство. И сейчас я мог бы, пожалуй, его предложить, но Ваши и не только Ваши вопросы помогают глубже понять предмет.

Так вы можете предложить доказательство, или вам еще нужно "глубже понять предмет"?
Я готов попробовать проверить доказательство, я готов попробовать поотвечать на конкретные вопросы, но не готов пытаться найти доказательство вашим подходом (потому что считаю, что простые арифметические преобразования и рассмотрение частного случая от частного случая бесперспективны).

[Valprim]

dick в сообщении #1575014 писал(а):

Теперь понятно, но согласитесь, что Ваше утверждение насчет "совсем не значит..." голословно.

Известны доказательства для уравнения Ферма с соседними кубами.
Голословны ваши выводы и при делением взаимно простых чисел на число и при делении правой и левой части на разные числа. О чём вам указал mihaild. Правую часть вы разделили больше чем на 6a.