2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ... 14  След.
 
 Re: Еще один вариант для кубов
Сообщение02.12.2022, 11:51 


17/06/18
425
Я не знаю заметили Вы или нет, но проблема лишнего квадрата никуда не делась. Равенства должны выглядеть так:
$(x_1x_2b)^3=(b(z-y)^{1/3})^3(b^2(z-y)^2+b^23zy)$ (2.1.1);
$(x_1x_2b)^3=b^2(b(z-y))(b^2(z-y)^2+b^23zy)$ (2.2.1);
Теперь равенства идентичны, и в обоих, в отличие от исходных (2.1) и (2.2), две скобки справа не являются кубами. Только в обоих, справа лишний $b^2$.
Если же мы оставим (2.1) и (2.2) как есть, окажется что получить непримитивную тройку невозможно, а значит и примитивную тоже.
Согласны?

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще один вариант для кубов
Сообщение02.12.2022, 12:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9202
Цюрих
dick в сообщении #1572259 писал(а):
Равенства должны выглядеть так:
$(x_1x_2b)^3=(b(z-y)^{1/3})^3(b^2(z-y)^2+b^23zy)$ (2.1.1);
А вот это непонятно откуда взялось.
Я не знаю, что значит "оставить равенства как есть".
Я понимаю, как получить (2.1):
$(x_1 x_2)^3 = (z - y)((z - y)^2 +3zy)$ - уже было
$(x_1 x_2)^3 \cdot b^3 = (z - y)((z - y)^2 +3zy) \cdot b^3$ - по схеме $p = q \vdash p \cdot r = q \cdot r$, берем $p = (x_1 x_2)^3$, $q = (z - y)((z - y)^2 +3zy)$, $r = b^3$
$(x_1 x_2 b)^3 = (b^3(z - y))((z - y)^2 +3zy)$ - ассоциативность и коммутативность умножения
$(x_1 x_2 b)^3 = (b^3 \sqrt[3]{z - y}^3)((z - y)^2 +3zy)$ - определение $\sqrt[3]\cdot$
$(x_1 x_2 b)^3 = (b \sqrt[3]{z - y})^3 ((z - y)^2 +3zy)$ - опять ассоциативность и коммутативность умножения

Можете ли вы в таком же стиле расписать, откуда взялось (2.1.1)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще один вариант для кубов
Сообщение02.12.2022, 12:48 


17/06/18
425
Все так, но для получения непримитвной тройки, $x,y,z$ должны быть умножены на $b$. Если мы действуем так, то в $(z-y)$ упускаем $b^2$, если же не хотим его упустить, то должны остаться без умножения на $b$ члены второй скобки. Если же , наконец, мы удовлетворяем обе скобки, оказывается что справа лишний $b^2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще один вариант для кубов
Сообщение02.12.2022, 12:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9202
Цюрих
dick в сообщении #1572272 писал(а):
Все так, но для получения непримитвной тройки, $x,y,z$ должны быть умножены на $b$
Напишите формул, каким образом вы при домножении обеих частей равенства на одно и то же число, и перегруппировке сомножителей, получаете неверное равенство?

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще один вариант для кубов
Сообщение02.12.2022, 13:32 


17/06/18
425
$(x_1x_2)^3=(z-y)((z-y)^2+3zy)$ (1.1)
$(x_1x_2b)^3=b(z-y)((bz-by)^2+3bzby)=b(z-y)(b^2(z-y)^2+b^2(3zy))=b^3(z^3-y^3)$
Но мы знаем, что $(z-y)=x_1^3$, тогда $(bx_1)^3=b^3(z-y)$, а не $b(z-y)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще один вариант для кубов
Сообщение02.12.2022, 14:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9202
Цюрих
Правильно, а почему собственно должно бы быть $(bx_1)^3 = b(z - y)$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще один вариант для кубов
Сообщение02.12.2022, 14:45 


17/06/18
425
Потому что $z$ и $y$, также как $x$, должны быть умножены на $b$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще один вариант для кубов
Сообщение02.12.2022, 15:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9202
Цюрих
Напишите формулы. В каком равенстве что на что умножается, что получается $(b x_1)^3 = b(z - y)$.
Напоминаю, текущие равенства, с которыми я согласен (в предположении $x,y,z$ взаимно просты, $x$ не делится на $3$ и я нигде не опечатался):
$x^3 = z^3 - y^3$ (1)
$x = x_1 x_2$
$x_1^3 = z - y$
$x_2^3 = (z - y)^2 + 3zy$
$(x_1 x_2)^3 = (z - y)((z - y)^2 + 3zy)$ (1.1)
$(x_1x_2b)^3=(b(z-y)^{1/3})^3((z-y)^2+3zy)$ (2.1)
$(x_1x_2b)^3=b(z-y)(b^2(z-y)^2+b^23zy)$ (2.2)
$(bx_1)^3 = b^3 (z - y)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще один вариант для кубов
Сообщение02.12.2022, 16:07 


17/06/18
425
Еще раз говорю: для получения непримитивного равенства (1.1) нужно тройку решения $x,y,z$ умножить на $b$.
Имеем : $(x_1x_2)^3=(z-y)((z-y)^2+3zy)$ (1.1); Умножаем на $b$ :
$(x_1x_2b)^3=b(z-y)((bz-by)^2+3bzby)=b(z-y)(b^2(z-y)^2+b^2(3zy))$
Здесь строго соблюдены правила умножения тройки на $b$. В результате $x_1^3=b(z-y)$; $x_2^3=(b^2(z-y)^2+b^2(3zy))$;
Если, как Вы пишете, перетащить $b^2$ из второй скобки в первую, выйдет что во второй скобке $z$ и $y$ не умножаются на $b$ и это надо как то объяснять.
Разумеется это Ваше дело, но я советовал бы не спешить с ответом, незачем спешить. А то кажется переливаем из пустого в порожнее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще один вариант для кубов
Сообщение02.12.2022, 16:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9202
Цюрих
dick в сообщении #1572317 писал(а):
В результате $x_1^3=b(z-y)$;
Вот так писать нельзя, вы одной и той же буквой два разных числа обозначаете.
Я, кажется, понял, в чем ваша проблема.
Взяли взаимно простую тройку $x, y, z$. Введем новые переменные: $p = bx$, $q = by$, $r = bz$. Очевидно $p^3 = r^3 - q^3 = (r - q)((r - q)^2 + 3rq)$. И вы хотите ввести тут $p_1$ и $p_2$ аналогично предыдущему, так что $p = p_1 p_2$, $p_1^3 = r - q$, $p_2^3 = (r - q)^2 + 3rq$. Но тогда будет $p_1 = \sqrt[3]{b} \cdot x_1$, а не $p_1 = b x_1$. И $p_1$ даже в общем случае не будет целым, в полном соответствии с тем, что в доказательстве того, что $z - y$ - точный куб, использовалась взаимная простота $y$ и $z$.
Если это непонятно, то напишите формулами, что происходит в последних трех строчках вашего последнего сообщения, только вводя новые буквы для новых чисел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще один вариант для кубов
Сообщение02.12.2022, 19:06 


17/06/18
425
Как я понимаю, в Вашей модели $p,r,g$ имеют общий множитель. Почему же тогда $(r-g)$ это куб?
Я написал формулами все что мог. Никаких новых чисел здесь не потребуется.
Если хотите формул, говорите подробно что нужно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще один вариант для кубов
Сообщение02.12.2022, 19:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9202
Цюрих
Мои $p, q, r$ - не-примитивное решение, получающееся домножением примитивного решения $x, y, z$ на $b$.
dick в сообщении #1572344 писал(а):
Почему же тогда $(r-g)$ это куб?
Да ни почему. Не куб это в общем случае.
Впрочем, если непонятно, можете часть про $p, q, r$ игнорировать. Это была моя попытка догадаться, что именно вы неправильно представляете.

dick в сообщении #1572317 писал(а):
В результате $x_1^3=b(z-y)$;
Вот это не доказано. Напоминаю, что определение $x_1$ было $x_1 = \sqrt[3]{z - y}$, а использовать два определения для одной переменной нельзя, после того, как определение дано, все остальные равенства с ней нужно доказывать.
dick в сообщении #1572344 писал(а):
Я написал формулами все что мог
Вот это вас и должно смутить. До того всё было верно (хотя и тривиально). Раз вы что-то не можете записать подробно, то это повод к этому присмотреться очень внимательно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще один вариант для кубов
Сообщение02.12.2022, 22:11 


17/06/18
425
Как же Вы не поймете, что $b(z-y)$ это чистая формальность. Чем бы ни было $(z-y)$, если оно так представлено, то при масштабировании будет умножаться на первую степень коэффициента. Разумеется, никто этого не доказывает, да и в нашем случае ведь все сходится, если бы только $(z-y)$ не было степенью. Но, раз уж мы знаем что это куб, не учитывать это невозможно. Судя по тому, что Вы пишите, Вы верно думаете, что я не знаю в чем дело и просто выкатил Вам проблему, но это не так.. Сама проблема вполне содержательна, и мне конечно хотелось, что бы Вы сами нашли разгадку, но видно не судьба.
Для того что бы непримитивное (1.1) стало возможным без противоречий, требуется, что бы число $(z-y)$ в примитивном (1.1) было одновременно и кубом и основанием этого куба. Таким числом является только единица.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще один вариант для кубов
Сообщение03.12.2022, 02:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9202
Цюрих
dick в сообщении #1572377 писал(а):
Как же Вы не поймете, что $b(z-y)$ это чистая формальность
Так и не понимаю, что понятие "чистая формальность" не определено.
Математическое доказательство должно быть последовательностью утверждений, каждое из которых четко сформулировано и обосновано.
Иногда допускаются вольности речи вроде "кривая обходит точку" или "вектор изменяется таким-то образом", но за ними всегда стоят четкие формулировки. Понятия "учитывать что это куб" нет.
Если $x_1^3 = z - y$, то $x_1^3 \cdot b = b \cdot (z - y)$ выводится из аксиом целых (например) чисел. Никаких исключений для случая, когда один из сомножителей куб, в аксиомах нет. Сама проблема в том, что вы не можете четко сформулировать свое рассуждение. Вас не смущает, что до какого-то момента у вас нормальное рассуждение "Известно X, из него следует Y. Предположим Z, тогда противоречие, значит не-Z", а вот с какого-то начинаются только рукомахательства, похожие на которые вы не найдете ни в одном учебнике?
Как только вы пишете какое-то строгое рассуждение - в нем можно найти ошибку.
dick в сообщении #1572377 писал(а):
Для того что бы непримитивное (1.1) стало возможным без противоречий, требуется, что бы число $(z-y)$ в примитивном (1.1) было одновременно и кубом и основанием этого куба
Вот это не доказано.
(ну и кстати опять же - поскольку с квадратами всё то же самое, вы никак не использовали, что там во второй скобке, то если бы ваше рассуждение было правильным, оно доказывало бы несуществование пифагоровых троек)

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще один вариант для кубов
Сообщение13.12.2022, 14:12 


17/06/18
425
Здесь Вы правы, что-то мне померещилось. Вернемся к началу темы. Вот к этому:
dick в сообщении #1566133 писал(а):
Предположим, что выполняется равенство: $x^3+y^3=z^3$ (1); где $x,y,z$ – взаимно простые натуральные числа, $z,y$- числа разной четности, а $x$- нечетное.
Предположим, что $x$ не делится на 3 и $y=x+k_1$; $z=x+k_2$;
Тогда из (1) следует: $x^3-3(k_2-k_1)x^2-3(k_2^2-k_1^2)x-(k_2^3-k_1^3)=0$ (1.1);
Поскольку три из четырех слагаемых левой части (1.1) делятся на $x$, четвертое также делится на $x$, то есть $k_2^3-k_1^3=bx$, где $b$- натуральное число.
После сокращения (1.1) на $x$ и несложных преобразований получим:
$x^2-b=3(k_2-k_1)(x+k_2+k_1)$ (1.2);
Поскольку правая часть (1.2) всегда делится на 6, то левая также всегда делится на 6. Следовательно, если $x$ не делится на 3, то $b=1$ или $x=k_2^3-k_1^3$.

И к этому:
gris в сообщении #1566136 писал(а):
Вот тут немножко непонятно: почему бы бэ не быть семёркой или двумястами девяноста пятью? Чего сразу единичка?

$5^2-1=6\cdot 4;\quad 5^2-7=6\cdot 3;\quad 49^2-295=6\cdot 351$

Чего не догоняю? :roll:


А что если $x=k_2^3-k_1^3$, потому что слева единственный корень уравнения, а справа свободный член, как у Виета?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 208 ]  На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ... 14  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group