2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ... 14  След.
 
 Re: Еще один вариант для кубов
Сообщение13.12.2022, 15:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9202
Цюрих
dick в сообщении #1573652 писал(а):
потому что слева единственный корень уравнения, а справа свободный член, как у Виета
Льюис Кэрролл в Алиса в стране чудес писал(а):
"С одной стороны ЧЕГО? С другой стороны ЧЕГО?" – недоуменно подумала Алиса.
– Гриба, – ответила Гусеница
О каком равенстве речь? О каком уравнении (и если говорить о корнях - то что считается параметрами, а что переменной)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще один вариант для кубов
Сообщение13.12.2022, 16:42 


17/06/18
425
Слева и справа гипотетического равенства $x=k_2^3-k_1^3$.
А корень уравнения (1.1) - это $x$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще один вариант для кубов
Сообщение13.12.2022, 18:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9202
Цюрих
Ну если $x = k_2^3 - k_1^3$, то, конечно, $x = k_2^3 - k_1^3$ [у меня тут не опечатка, тут действительно два раза одно и то же равенство).
dick в сообщении #1573669 писал(а):
А корень уравнения (1.1) - это $x$
Нехорошо для обозначения корня уравнения использовать букву из самого уравнения.
$x$ - это число (из гипотетического решения уравнения теоремы Ферма).
Оно, конечно, корень уравнения $t^3 - 3(k_2 - k_1)t^2 - 3(k_2^2 - k_1^2)t - (k_2^3 - k_1^3) = 0$ (уравнение на $t$). Непонятно, почему единственный (у уравнения третьей степени в общем случае 3 корня), и непонятно, почему число $k_2^3 - k_1^3$ должно быть корнем этого уравнения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще один вариант для кубов
Сообщение13.12.2022, 19:39 


17/06/18
425
Мы считаем что (1.1) выполнено, поэтому $x$ является его корнем. Мы здесь говорим только об этом $x$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще один вариант для кубов
Сообщение13.12.2022, 20:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9202
Цюрих
Если $x$ - число, то (1.1) - вообще не уравнение. Там неизвестных нет. Нельзя одной и той же буквой обозначать и неизвестную в уравнении, и корень этого уравнения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще один вариант для кубов
Сообщение13.12.2022, 22:12 


17/06/18
425
Разумеется $x$ это натуральное число. Разумеется, мы не знаем какое именно это число, но это не мешает нам рассуждать, предполагая что (1.1) выполняется при оговоренных условиях, потому что никаких других $x$ мы не касаемся. Впрочем, как Вам угодно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще один вариант для кубов
Сообщение13.12.2022, 22:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9202
Цюрих
Мы. естественно, можем полагать, что (1.1) выполнено, просто не надо называть его уравнением. Как из него следует, что $x = k_2^3 - k_1^3$ - непонятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще один вариант для кубов
Сообщение14.12.2022, 11:50 


13/05/16
362
Москва
mihaild в сообщении #1573729 писал(а):
Как из него следует, что $x = k_2^3 - k_1^3$ - непонятно.

Видимо так как исследование ведётся в натуральных числах, то корень должен быть делителем свободного члена. То есть $x\mid k_2^3-k_1^3$, то есть $x=\frac{k_2^3-k_1^3}{b}$, здесь $b$ целое. Осталось понять, почему оно равно именно единице

-- 14.12.2022, 11:54 --

Но написанное уравнение можно привести к виду такому
dick в сообщении #1573652 писал(а):
преобразований получим:
$x^2-b=3(k_2-k_1)(x+k_2+k_1)$
Вот отсюда следует почему-то, что $b=1$, но это неверно, ведь правильно будет $b$ сравнимо с единицей по модулю три,а это не то же самое, что $b=1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще один вариант для кубов
Сообщение14.12.2022, 12:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9202
Цюрих
Antoshka в сообщении #1573768 писал(а):
Вот отсюда следует почему-то, что $b=1$
Строго говоря, отсюда следует всё что угодно, потому что из чисел $x, b, k_1, k_2$, удовлетворяющих этому равенству, можно обратно собрать решение уравнения теоремы Ферма для $n = 3$. Вопрос в том, как это доказать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще один вариант для кубов
Сообщение14.12.2022, 22:54 


17/06/18
425
Ну что-то в этом роде. Просто подумал что $x$ может быть единственным корнем и поэтому не просто являться делителем разности кубов, а закрывать эту разность целиком. Заглянул в Вики, увидел что есть дискриминанты для 3 степени, но не считал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще один вариант для кубов
Сообщение17.12.2022, 09:30 


17/06/18
425
Ну хорошо, оставим пока гипотезы корней и уравнений, и обратимся все к тому же абзацу:
dick в сообщении #1573652 писал(а):
dick в сообщении #1566133

писал(а):
Предположим, что выполняется равенство: $x^3+y^3=z^3$ (1); где $x,y,z$ – взаимно простые натуральные числа, $z,y$- числа разной четности, а $x$- нечетное.
Предположим, что $x$ не делится на 3 и $y=x+k_1$; $z=x+k_2$;
Тогда из (1) следует: $x^3-3(k_2-k_1)x^2-3(k_2^2-k_1^2)x-(k_2^3-k_1^3)=0$ (1.1);
Поскольку три из четырех слагаемых левой части (1.1) делятся на $x$, четвертое также делится на $x$, то есть $k_2^3-k_1^3=bx$, где $b$- натуральное число.
После сокращения (1.1) на $x$ и несложных преобразований получим:
$x^2-b=3(k_2-k_1)(x+k_2+k_1)$ (1.2);

Присвоим равенству $k_2^3-k_1^3=bx$ номер (1.4);
Перепишем (1.4): $(k_2-k_1)((k_2-k_1)^2+3k_2k_1)=bx$ (1.5);
Поскольку $(k_2-k_1)=(z-y)$, левая часть (1.5) делится на $(z-y)$.
Очевидно, что бы правая часть (1.5) также делилась на $(z-y)$, должно быть:
$b=(z-y)^{2/3}$ (1.5.1); или
$b=d(z-y)^{2/3}$ (1.5.2); где $d$- натуральное число из состава второй скобки левой части (1.5), взаимно простое с $(z-y)$.
Потому что $x=(z-y)^{1/3}((z-y)^2+3zy)^{1/3}$ (1.6);
Согласны?

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще один вариант для кубов
Сообщение17.12.2022, 12:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9202
Цюрих
dick в сообщении #1574133 писал(а):
Очевидно, что бы правая часть (1.5) также делилась на $(z-y)$, должно быть:
$b=(z-y)^{2/3}$ (1.5.1); или
$b=d(z-y)^{2/3}$ (1.5.2)
Неочевидно. Там у вас $k_1$ и $k_2$, в обосновании $z$ и $y$. Т.е. может быть и правильно, но нужно честно написать выкладки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще один вариант для кубов
Сообщение17.12.2022, 16:09 


17/06/18
425
$bx=(z-y)((z-y)^2+3k_2k_1)$; (1.5)
$x=x_1x_2$
$x_1=(z-y)^{1/3}$ (1.6.1) $x_2=((z-y)^2+3zy)^{1/3}$ (1.6.2);
$b(z-y)^{1/3}((z-y)^2+3zy)^{1/3}=(z-y)((z-y)^2+3k_2k_1)$ (1.7);
Если $b=(z-y)^{2/3}$, то $((z-y)^2+3zy)=((z-y)^2+3k_2k_1)^3$ (1.8)
Если $b=d(z-y)^{2/3}$ то $x_2=((z-y)^2+3k_2k_1)/d$ (1.9)

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще один вариант для кубов
Сообщение17.12.2022, 16:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9202
Цюрих
Из (1.7) легко получается $b = (z - y)^{2 / 3} \cdot \frac{((z - y)^2 + 3zy)^{1/3}}{(z - y)^2} + 3k_2 k_1$. Совершенно непонятно, почему второй сомножитель должен быть целым.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще один вариант для кубов
Сообщение17.12.2022, 22:48 


17/06/18
425
Господь с Вами, $b=(z-y)^{2/3}((z-y)^2+3k_2k_1)/((z-y)^2+3zy)^{1/3}$  (2);

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 208 ]  На страницу Пред.  1 ... 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ... 14  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group