Задачки для Фреда

[Munin]

Перенос Ферми.
Вайнберг. Гравитация и космология. § 5.1.

[pogulyat_vyshel]

Набивной мяч (однородный шар радиуса $r$ и массы $m$) закручивают вокруг горизонтальной оси, проходящей через его центр, до угловой скорости $\omega$ и роняют на пол. В начальный момент времени центр шара находится на высоте $h+r$ от пола и его скорость равна нулю. Удар о пол абсолютно неупругий; коэффициент трения скольжения равен $\mu$. Найти скорость центра шара после того, как проскальзывание по полу прекратится.

[wrest]

pogulyat_vyshel в сообщении #1359227 писал(а):

Набивной мяч

Попробую дать ответ. $v=\omega r \sqrt{\dfrac{2}{7}}$
Куда тут пристроить высоту падения $h$ и коэффициент трения мяча о пол $\mu$, не знаю.

Соображения такие. Что будет с ударом мне неясно, поэтому предполагаю что ничего - мяч немного нагреется и всё. Второй вариант -- вся энергия, и потенциальная $mgh$ и вращения $\dfrac{2}{5}mr^2\cdot \dfrac{1}{2}w^2$ полностью перейдет в тепловую за время удара и тогда ответ $v=0$. Далее предполагаю, что $h=0$.

Часть энергии вращения перейдет в кинетическую энергию поступательного движения центра масс шара, часть останется вращательной. Независимо от коэффициента трения (главное чтоб он был ненулевым и конечным), ровно половина энергии вращения потратится на трение.

А вторая половина разделится в соотношении $2:5$ между вращательной ($E_w=\dfrac{Iw^2}{2})$ и поступательной ($E_v=\dfrac{mv^2}{2}$).

[AnatolyBa]

А у меня получилось $v=\dfrac{2}{7}\omega r $
А почему

wrest в сообщении #1359251 писал(а):

ровно половина энергии вращения потратится на трение.

?

Главная непонятность - как описывать абсолютно неупругий удар. Недавно этот вопрос обсуждался, но я так и не понял к чему пришли

[wrest]

AnatolyBa в сообщении #1359264 писал(а):

А почему wrest в сообщении #1359251

писал(а):
ровно половина энергии вращения потратится на трение. ?

Тут я пытался угадать, хотя можно конечно было и посчитать.

[pogulyat_vyshel]

AnatolyBa в сообщении #1359264 писал(а):

у меня получилось $v=\dfrac{2}{7}\omega r $

в ответ должно войти $h$

[EUgeneUS]

AnatolyBa в сообщении #1359264 писал(а):

Главная непонятность - как описывать абсолютно неупругий удар. Недавно этот вопрос обсуждался, но я так и не понял к чему пришли

Не помню обсуждений, но удар хорошо описывается дельта-функцией.
Нужно отметить, что сила трения скольжения равна либо $\mu N$ - есть проскальзывание, либо нулю - нет проскальзывания.

У меня в качестве промежуточного результата получилось так:

1. Если $\omega = \frac{7}{2} \frac{\mu \sqrt{2gh}}{r}$, то сразу после удара проскальзывание заканчивается и шар катится с линейной скоростью $v_1=\mu \sqrt{2gh}$

2. Если $\omega > \frac{7}{2} \frac{\mu \sqrt{2gh}}{r}$, то сразу после удара проскальзывание не заканчивается, при этом (сразу после удара):

угловая скорость $\omega_1 = \omega - \frac{5}{2} \frac{\mu \sqrt{2gh}}{r}$
линейная скорость $v_1 = \mu \sqrt{2gh}$
(далее эти значения нужно использовать, как начальные данные для стандартной задачи - раскрученный шар аккуратно опустили на плоскость).

3. Если $\omega < \frac{7}{2} \frac{\mu \sqrt{2gh}}{r}$, то проскальзывание заканчивается раньше, чем "закончится удар".

[wrest]

EUgeneUS в сообщении #1359289 писал(а):

3. Если $\omega < \frac{7}{2} \frac{\mu \sqrt{2gh}}{r}$, то проскальзывание заканчивается раньше, чем "закончится удар".

И? Стоит на месте?

[EUgeneUS]

wrest в сообщении #1359291 писал(а):

И? Стоит на месте?

Нет, конечно,
Сразу после удара будет выполняться $\omega_1 r = v_1$, но $\omega_1$ и $v_1$ будут меньше, чем в пункте 1.
Какими именно, позже отвечу.

-- 06.12.2018, 18:36 --

Если

EUgeneUS в сообщении #1359289 писал(а):

$\omega < \frac{7}{2} \frac{\mu \sqrt{2gh}}{r}$

то $v_1 = \frac{2}{7} \omega r$
Такой же ответ у уважаемого AnatolyBa, это означает, что его решение подходит для не слишком больших $\omega$.

-- 06.12.2018, 19:17 --

И если решить "стандартную задачу" для

EUgeneUS в сообщении #1359289 писал(а):

$\omega > \frac{7}{2} \frac{\mu \sqrt{2gh}}{r}$

То опять же получается $v_2 = \frac{2}{7} \omega r$

То есть этот ответ подходит и для больших $\omega$
$h$ в финальный ответ не вошла.

(Оффтоп)

Где-то подвох. Наверное.

[pogulyat_vyshel]

у меня получилось $\frac{2}{7}\omega r$

-- 06.12.2018, 21:34 --

pogulyat_vyshel в сообщении #1359284 писал(а):

в ответ должно войти $h$

а это я сказал до того , как начал считать, pardon

[EUgeneUS]

Можно сделать удар абсолютно упругим и спросить, куда полетит шарик.

[amon]

pogulyat_vyshel в сообщении #1359227 писал(а):

Найти скорость центра шара после того, как проскальзывание по полу прекратится.

$\omega r-\frac{2}{5}\mu\sqrt{2gh}$ Забавная задачка.

-- 06.12.2018, 22:32 --

Это, естественно, если ответ положительный. Если отрицательный, значит ни куда не поедет.

[wrest]

Ага, значит коэффициент потери вращательной энергии на трение не всегда равен 1/2 и зависит от момента инерции? Интересное кино...
Осталось выяснить как зависит и можно смело бросать на пол не только шары, но и мячи (тонкостенные сферы), диски (стержни), обручи и вообще все круглое. Поскольку абсолютная неупругость удара тут прошла совершенно таки мимо кассы (хотя у amon ещё имеются в том сомнения, как я вижу), то ответ будет сохраняться и для частично [не]упругого удара, видимо (т.е. серии подскоков и последующего качения).

[amon]

wrest в сообщении #1359372 писал(а):

Поскольку абсолютная неупругость удара тут прошла совершенно таки мимо кассы

С точностью до наоборот. При упругом ударе ответ для изменения угловой скорости будет отличаться в два раза. (При условии, что шар проскальзывает в момент удара, что не факт).

[AnatolyBa]

wrest
Таки да. Если одна и та же сила (трения) отвечает как за изменение горизонтального импульса так и за изменение момента.
Пусть

$$A=\int\limits_{\text{пока скользит}}^{}F_{\text{тр}}dt$$

Тогда в конце скольжения $L=L_0 - A r$ , $p=A$, отсюда

$$v=\frac{\omega r}{1+\frac{m r^2}{J}}$$