Задачки для Фреда

[amon]

rascas в сообщении #1321580 писал(а):

С акустическим резонатором вроде проще.

Имеется в виду идеальный акустический резонатор (скалярное волновое уравнение с нулевыми граничными условиями на стенках).

[rascas]

amon в сообщении #1321583 писал(а):

Имеется в виду идеальный акустический резонатор

rascas в сообщении #1321580 писал(а):

$\lambda_{\max acoustic} = 2a$

[amon]

rascas в сообщении #1321580 писал(а):

$\lambda_{\max acoustic} = 2a$

Не угадали. Следующий!

[rascas]

amon в сообщении #1321615 писал(а):

Следующий!

Разрешите ещё раз я
Вот какое было моё решение.

Волновое уравнение для плоской звуковой волны: $ \frac { \partial^2\varphi} { \partial{t}^2 } - c^2 \frac { \partial^2\varphi} { \partial{x}^2 } = 0$

Решение ищем в виде:
$\varphi = \varphi_0 ( \sin(kx+\omega{t}) + \sin(kx-\omega{t}) )$
где $k=\frac {2\pi}{\lambda}$

$\varphi = 2\varphi_0 \sin(kx)\cos(\omega{t})$

Граничные условия: $\left.{\varphi}\right|_{x(\text{гр})} = 0$
$\sin(kx)=0$

Первая граница: $\frac {2\pi}{\lambda} x_1 = 0$
Вторая граница: $\frac {2\pi}{\lambda} x_2 = \pi$
$x_1=0 $
$x_2=\frac {\lambda}{2} $

$\lambda=2x_2$

$\lambda_{\max}=2a$

А какое у Вас решение для акустических волн в этом резонатора?

[amon]

rascas в сообщении #1321721 писал(а):

Вот какое было моё решение.

Оно в одномерном случае правильное, но резонатор, однако, имеет форму трехмерного ящика. И какое в этом случае будет решение?

-- 22.06.2018, 14:51 --

rascas в сообщении #1321721 писал(а):

Первая граница: $\frac {2\pi}{\lambda} x_1 = 0$
Вторая граница: $\frac {2\pi}{\lambda} x_2 = \pi$
$x_1=0 $
$x_2=\frac {\lambda}{2} $

И начиная с этого места ерунда какая-то. Давайте остановимся на том, что
$\sin(kx)=0\Rightarrow kx=\pi n$ и дальше будем считать все в $k.$

[rascas]

amon в сообщении #1321777 писал(а):

Оно в одномерном случае правильное, но резонатор, однако, имеет форму трехмерного ящика. И какое в этом случае будет решение?

Предполагается, что все параметры зависят только от координаты $x$. И не зависят от координат $y$ и $z$. На этом основании и выбрано приближение для плоской звуковой волны.

amon в сообщении #1321777 писал(а):

Давайте остановимся на том, что $\sin(kx)=0\Rightarrow kx=\pi n$ и дальше будем считать все в $k.$

Все $k$, $n$ нам считать нет необходимости. Задача найти максимальную длину волны $\lambda$ для заданного резонатора. Выбрано $n=1$, в резонатор укладывается одна полуволна. Для всех остальных $n$, длина волны $\lambda$ будет кратно меньше.

[amon]

rascas в сообщении #1321802 писал(а):

Предполагается, что все параметры зависят только от координаты $x$. И не зависят от координат $y$ и $z$.

Тогда у Вас не выполнено условие $\varphi(x,b,z)=\varphi(x,0,z)=0$ и аналогичное по $z.$

[rascas]

amon в сообщении #1321822 писал(а):

Тогда у Вас не выполнено условие $\varphi(x,b,z)=\varphi(x,0,z)=0$ и аналогичное по $z.$

Верно. Выполняется здесь другое граничное условие.

Предполагается, что акустический резонатор это "ящик" в котором воздух.
Этот "ящик" описывается граничными условиями:
Проекция скорости на ось $y$: $v_y(x,0,z)= v_y(x,b,z) = \frac {\partial\varphi} {\partial{y}}=0$
Аналогично граничное условие по оси $z$ .

По оси $x$ в данном случае "ящик" не закрыт (нулевое звуковое давление) $p'(0,y,z)=p'(a,y,z)= -\rho_0 \frac {\partial\varphi} {\partial{t}}=0$
(если "яшик" закрыт со всех сторон, то ответ тот же $\lambda_{\max}=2a$)

Граничное условие ($\varphi$ - скалярный потенциал скорости ) $\left.\varphi\right|_\text{гр}=0$ - что значит физически? Какой это резонатор? Что он из себя представляет?
Как то не интересно решать задачу, когда не можешь представить, что это из себя представляет.

[amon]

rascas в сообщении #1321865 писал(а):

Граничное условие ($\varphi$ - скалярный потенциал скорости ) $\left.\varphi\right|_\text{гр}=0$ - что значит физически?

Это значит что резонатор имеет абсолютно шероховатые стенки (обит внутри акустическим поролоном). Тогда все три компоненты скорости на стенке равны нулю, значит $\nabla\varphi=0$ на стенке, откуда на стенке $\varphi=\operatorname{const}.$ Эту константу можно спокойно положить нулем.

[rascas]

amon, спасибо за интересную задачку.

Граничные условия: $\left.\varphi\right|_\text{гр}=\operatorname{const}$ , либо: $\left.{p'}\right|_\text{гр} = -\rho_0 \left. \frac {\partial\varphi} {\partial{t}} \right|_\text{гр}=0$ соответствуют, в том числе, акустическому резонатору типа кристалл поваренной соли. Либо если необходимо аморфная среда, то прямоугольный параллелепипед из стекла. Похоже на свободной поверхности резонатора из твёрдого тела создаются такие граничные условия.

Для указанных граничных условий:
$\lambda_{\max acoustic}=\dfrac{2}{\sqrt{(\frac {1}{a})^2+(\frac{1}{b})^2+(\frac{1}{c})^2}}$

[fred1996]

Так wrest же уже написал правильный ответ. Только для двумерного резонатора.

[amon]

rascasУгу. Спрашивать, почему для акустики и электромагнетизма ответы отличаются у Вас не буду, спрошу лучше у экс-матфизика.

fred1996 в сообщении #1322287 писал(а):

Только для двумерного резонатора.

А Вы уверены, что для двумерного? (Исходная задача - ящик из идеального металла, ищем нижнюю частоту собственных электромагнитных колебаний).

[wrest]

fred1996
Нет это для трехмерного как раз было, для моды $E_{101}$ но видимо я индексы (стороны ящика) перепутал.
Ещё у меня есть подозрение что длина волны, частота и скорость света в ящике связаны немного не так как в открытом пространстве (волновое сопротивление другое) и поэтому в том числе мой ответ не был принят, т.к. просили частоту, а я дал длину волны.

[fred1996]

amon
А бывший матфизик уже забыл, какие граничные условия на металлических стенках и важна ли поляризация. Особенно когда идет отражение от непраллельных стенок. Мне казалось эта задачка в каком то смысле геометрическая, где нужно следить за этой самой пляризацией. А я в основном имел дело с диэлектрическими пленками, которые описываются матрицами 2х2

[amon]

fred1996 в сообщении #1322342 писал(а):

А бывший матфизик уже забыл, какие граничные условия на металлических стенках и важна ли поляризация.

Так ничего помнить и не надо, кроме того, что металл эквипотенциален. Задача практически школьная. Металл идеальный, значит граничное условие - равенство нулю тангенциальной компоненты электрического поля. Значит для $E_x,$ к примеру, нулевые граничные условия отсутствуют на стенках, перпендикулярных оси $X.$ Тогда компонента поля $E_x$ равна чему-то вроде $E_x=f(k_xx)\sin(k_yy)\sin(k_zz)e^{-i\omega t}$ ($f(k_xx)=A\cos(k_xx),$ но для задачи важно лишь что бы эта функция была не нулем на стенках, перпендикулярных $X$). Тогда можно положить $k_x=0.$ При этом занулятся две другие компоненты поля, а частота будет $\omega=c\sqrt{k_y^2+k_z^2}.$ Два $k$ положить нулем нельзя - занулится все решение. Значит минимальное значение частоты -
$\omega=c\sqrt{\left(\frac{\pi}{a}\right)^2+\left(\frac{\pi}{b}\right)^2}.$