"Категорный" vs "некатегорный" подход

[george66]

Brukvalub в сообщении #1210298 писал(а):

Вот откуда: я уже 41 год, как "обитаю" на мехмате

А вот и неправда, я на мехмате тусуюсь с 87-го года и Вас там ни разу не видел! Хи-хи, шучу.
По-моему, под маской Brukvalub скрывается Sowa. Справедливости ради, еврейцы из ВШЭ и института Вейцмана меня тоже сильно ругали. Такова судьба просветителя! Все гонят, все клянут, мучителей толпа!

[Brukvalub]

Red_Herring в сообщении #1210319 писал(а):

Мне кажется, Вас "понесло"

Мне и самому давно так кажется. Но, как пела А. Пугачева:
"Надо бы, надо бы, надо бы
Остановиться,
Но не могу, не могу,
Не могу, не могу.
Не могу и не хочу. "
Договорились, останавливаюсь!

[george66]

g______d в сообщении #1210318 писал(а):

Ну да. Это означает, что как минимум 25% современной математики без категорий просто невозможно сформулировать. Причём необходимые для этого основы теории категорий можно изложить на 10-20 страницах.

Я бы не взялся, пусть Шень пишет.

[arseniiv]

george66 в сообщении #1210286 писал(а):

Опять же, я не поручусь, есть ли польза от монад в программировании (а это те же самые монады, если кто не знает), меня радует красивая наука. Теория категорий -- красивая наука, а жить без неё можно.

Если говорить не обо всём программировании в целом, а об отдельных языках, то для упоминавшегося уже хаскеля польза хоть какая-то есть, потому что, хотя для обычных дел никакие особые результаты насчёт монад не нужны (ну типокласс и типокласс, какая разница что ему соответствует в ТК), но для комбинирования нескольких эффектов было предложение использовать копроизведения монад (вместе с реализацией, конечно). Правда, я не в курсе, насколько этот подход куда-то привёл — слышал только о само́й этой исходной статье и всё. (Оказывается, я не сохранил её, так что не могу назвать авторов и название, но слова monad coproducts туда входили, кажется.) Комонады, кстати, тоже несколько применений нашли, но о них, вроде, не очень говорили. Впрочем, я не слежу за этим вообще, и не пишу на хаскеле настолько часто, чтобы вскарабкаться на гору абстракций.

kp9r4d в сообщении #1210289 писал(а):

В Хаскелле без монад не делается буквально ничего, потому что ввод-вывод делается через IO monad

См. выше — тут, по-моему, ничего особо теоркатегорного ещё не проявляется, пока мы просто пользуемся одной IO.

[Red_Herring]

george66 в сообщении #1210320 писал(а):

Такова судьба просветителя! Все гонят, все клянут, мучителей толпа!

А расскажите, как вас мучили и чем гнали...

george66 в сообщении #1210322 писал(а):

Я бы не взялся, пусть Шень пишет.

Да как же он напишет, если ни на одном вашем докладе не был?!!!

[kp9r4d]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #1210323 писал(а):

См. выше — тут, по-моему, ничего особо теоркатегорного ещё не проявляется, пока мы просто пользуемся одной IO.

Да, извиняюсь, знаю Хаскель только на уровне книжки "Learn you a haskell". Но всё-таки не можете пояснть, каким образом с помощью функторов можно смоделировать IO монаду?

[arseniiv]

(Оффтоп)

Про функторы уже не я писал. И у меня лично подозрения, что на хаскеле — никак (и пусть автор развернёт своё утверждение немного ещё). По выразительной силе там простой (эндо)функтор < аппликативного функтора < монады. По «наследованию» с этим всё тоже согласовано: Monad m влечёт Applicative m влечёт Functor m.

[kp9r4d]

(Оффтоп)

А, я фразу "см. выше" неправильно распарсил ^^ Ну понятно, что монады из Хаскелля можно постичь особо не вникая в абстрактные монады. Но ситуация становится чуть сложнее, когда мы от теории типов Хаскеля переходим к теории зависимых типов вроде Coq или Lean. Тогда, всё-таки, категорная семантика жизнь немного упрощает, но это и не совсем программирование вроде... И ладно.

[Munin]

Погуглив за Brukvalub (не ставшего это делать), я нашёл вот это сообщение:

apriv в сообщении #667286 писал(а):

Теорию категорий не совсем хорошо воспринимать как «теорию» в том смысле, что у нее есть какие-то методы, и ими что-то решается. Главное ее достижение — то, что она предоставила язык, на котором естественным образом формулируются теоремы, который проясняет не вполне заметные ранее связи, который делает другие области математики концептуально более простыми. То есть, не так много теорем и методов можно отнести собственно к теории категорий; гораздо больше тех, которые естественно формулировать на языке теории категорий (а до этого их формулировали не в такой общности, не теми словами...) Поэтому, например, огромное количество задач из алгебраической геометрии, алгебраической топологии, математического анализа, теории чисел, функционального анализа, дифференциальных уравнений, и т. д., решенных после того, как в соответствующих областях был применен аппарат теории категорий, можно отнести к таким результатам, о которых Вы спрашиваете.

Возможно, Вы имели в виду немного другую формулировку — есть ли какая-то конкретная задача, в решении которой достаточно явно видно преимущество применения теории категорий. Конечно, есть. Например, в https://web.math.princeton.edu/~nmk/mellin398.pdf исследуются какие-то совершенно конкретные вопросы про экспоненциальные суммы (я сам не специалист, впрочем), и получаются новые результаты с помощью нетривиального применения таннакиевых категорий, превратных пучков, и т. д. Кстати, и собственно гипотезы Вейля — совершенно конкретные утверждения про число решений полиномиальных уравнений над конечными полями — удалось доказать лишь с помощью применения серьезного аппарата алгебраической геометрии, построенного на категорном языке (во многом, для доказательства этих самых гипотез). То же можно сказать про гипотезы Каждана—Люстига. Примеров много, я называю то, что приходит в голову прямо сейчас и как-то близко к области моих интересов.

и ещё немножко ниже по той же теме:

apriv в сообщении #667296 писал(а):

Oleg Zubelevich в сообщении #667289 писал(а):

а можно пример, желательно из диф. уравнений или функана?


Я не специалист, но сразу приходит в голову соответствие Римана—Гильберта (обобщение 21-ой проблемы Гильберта; Сато, Кашивара...), которое формулируется на языке производных категорий. Ключевые слова — микролокальный анализ, D-модули, превратные пучки.

apriv в сообщении #667323 писал(а):

21-ая проблема Гильберта говорит о римановых поверхностях, то есть, о многообразиях размерности 1. Упомянутое обобщение касается многообразий произвольной размерности, и при желании его (пусть и не в полной общности) можно формулировать и без производных категорий (нужно правильно понять, какой там аналог монодромии)

apriv в сообщении #667344 писал(а):

Про функциональный анализ все еще проще — достаточно посмотреть на работы Гротендика по банаховым пространствам, которые пронизаны духом теории категорий. Например, то, что сейчас называется «неравенством Гротендика» (с константой Гротендика) у него изначально сформулировано как эквивалентность каких-то двух функторов (хоть и без слова «функтор»); позднее Картье переформулировал это как неравенство для матриц. Ну, и введение топологии на тензорном произведении двух локально выпуклых пространств тоже показывает функториальный стиль мышления.

apriv в сообщении #667451 писал(а):

Это же не работы Гротендика, правда? Мало ли чему можно постфактум (лет через тридцать) дать элементарное доказательство, совершенно безыдейное. Стиль мышления в прорывных работах Шварца и Гротендика по функциональному анализу совершенно категорный.

g______d в сообщении #667458 писал(а):

В теории $C^*$-алгебр, которую можно считать разделом функционального анализа, базовые результаты формулируются проще всего в терминах эквивалентности категорий. Еще есть некоммутативная геометрия. Еще сейчас довольно модная вещь "Operator Space Theory", наука о подпространствах $B(H)$. У меня сейчас не очень удобный интернет, я позже могу привести ссылки (впрочем, довольно многое легко гуглится).

Жаль, что участник apriv сейчас не активен на форуме, а то бы, я думаю, не обошёл бы этой темы.

[пианист]

kp9r4d
Так все-таки, получается, интерес к джетам идет через Лапласа?

(Оффтоп)

Извиняюсь за назойливость, мне данный поворот темы лействительно очень интересен.

[kp9r4d]

пианист
Да я не то, чтобы тот, у кого можно что-то дельное про джеты узнать. Не знаю особо, где там Лаплас, но просто круто ведь иметь инфинитиземальную информацию об объекте (скажем, гладком многообразии) не только порядка 1, но и порядка $n$. Проблема в том, что расслоение джетов - это не векторное расслоение даже, поэтому работать с ним можно только кое-как. Ну и не работают особо, для высших производных хватает, в основном, языка связностей в расслоениях (Леви-Чивита всякие), а размышления Гротендика были скорее философскими, чем как-то нацеленными на решения каких-то задач, типа: "А здорово было бы, если бы такое исчисление существовало, да ещё и чтобы работать с ним было удобно...".

[пианист]

kp9r4d
Спасибо!

(Оффтоп)

Про Лапласа, я подразумевал: комплексный анализ $=$ гармонические функции $=$ уравнение Лапласа.

[GOLOTOPAXPOP]

Brukvalub в сообщении #1210298 писал(а):

Вот откуда: я уже 41 год, как "обитаю" на мехмате, у меня много друзей - профессоров математики, как с мехмата, так и из других мест. Я часто разговариваю с ними на математико-мировоззренческие темы. Поэтому представляю себе круг математических интересов многих профессиональных математиков Кроме того, я читаю публикации по своей и смежным тематикам, знаю свежие результаты и нерешенные задачи в нескольких областях математики, хожу на доклады ММО, бываю на конференциях, и т.д, и т.п.
А вы только и можете, что голословно восклицать:

kp9r4d в сообщении #1210295 писал(а):

Вы же не разбираетесь в теме совершенно.

Я совершенно не знаю "мотивов" (да и хочу ковыряться в этой "абстрактной чепухе"), зато я в курсе векторов развития и применяемого аппарата многих других разделов математики. Этого достаточно, чтобы оценить роль и место ТК в общем русле современной математики.

Brukvalub, мне кажется, что проблема кроется в том, что ваша профессия - это не математик-исследователь, а "преподаватель математики для будущих инженеров, экономистов или программистов", соответственно, вы судите с позиции прикладника.

Никакая "применяемость" вне математики настоящего математика (будь он хоть аналитиком, хоть категорщиком) волновать не обязана.
Применяемость внутри математики - пожалуйста. Но вот тут как раз ваш любимый анализ в пролете, так как это вещь в себе. Другое дело, что вас это тоже волновать не обязано, так что если кто-то (типо Миши Вербицкого) пишет, что ваш анализ не нужен и вы "жулик", то вы вполне можете его послать. Вам интересно - вы занимаетесь. Только не надо что-то говорить о "применяемость аппарата, прикладном значении", потому что это далеко от математики и часто становится первым шагом к настоящему жульничеству и распилу денег налогоплательщиков под предогом "прорывов" в физике и т.д. Честно будет сказать: мы занимаеся чистой наукой, такой же, как теоретические физики, философы и т.д.

На этом я заканчиваю тему, повторив, что речь идет о применении теории категорий в (чистой) математике, а не в условных "расчетов топлива ракет". Люди наукой занимаются, а не на "станке" работают. Если вы хотите обсудить, как теория категорий помогает строить ядерные бомбы, то идите в другое место.

Построение теории мотивов - это, если что, одна из выжнейших проблем второй половины 20-го века в математике. Это алгебро-геометрическая проблема, но важна она ещё и тем, что её решение должно совершить прорыв в теории чисел. Многие выдающиеся математики, такие, как Бейлинсон, Манин, Делинь и прочие, мечтали об этом. Благодаря наибстракнейшим методам теории категорий и гомотопической алгебры был достигнут прогресс. В частности, мы получили алгебро-геометрическую версию теории гомотопий - мотивную теорию гомотопий (за что Воеводских получил медаль Филдса). Это далеко не закрывает вопрос, но даже такой небольшой "прорыв" был вопринят математическим сообществом, как откровение. Но у вас, живущих среди "кафедр вычмат, теорвера и статистики, теоретической информатики", видимо, свой мир. Это нормально, только тогда не называйте себя "математиком", и не пишите ничего о математике.

К слову, Brukvalub, вы тут что-то говорили о "крошечности" разделов математики. Так вот, будет вам известно, что "мотивы" - это вещь на стыке алгебраической геометрии, теории чисел и алгебраической К-теории - трех огромнейших и важнейших областей математики, ничуть не меньших и не менее важных, чем классический анализ.

-- 18.04.2017, 13:53 --

Уважаемый Red_Herring!

Цитата:

В результате молодые люди, полагающие, что все должны знать ТК, и обнаружившие, что в МГУ её не знает большинство профессоров (что вполне нормально, похожие претензии можно предъявить и Гарварду, и Принстону, ... ), искренне считают, что МГУ устарел, ну а Вы даёте им симметричный ответ.

Во-первых, все действительно должны знать ТК, но далеко не все должны её использовать. Потому что "не знать ТК" - это как не знать групп, колец, модулей или не знать, что такое гладкое многообразие, или не знать комплексного анализа. Это говорит о базовом образовании математика. Можно быть хорошим математиком и без базового образования, но это все-таки первый звоночек.

Действительно, многим математикам ТК не понадобится в работе. Это нормально. Но многим не понадобится и классический анализ. Это не значит, что не надо изучать ни ТК, ни классический анализ. То есть если человек с 11-го класса уверен, что он будет заниматься только, например, дифференциальными уравнениями, и ничем другим больше, то ему, наверное, можно не учить ни ТК, ни модули, ни коммутативную алгебру.
Но это нереалистично.

А МГУ не столько устарел, сколько объективно перестал быть мировым математическим (подчеркиваю, математическим, а не прикладно-экономико-программистским) центром. Вспомните, каким он был в 1960-х годах. И сравните, что там царит сейчас.

Дело ведь не в том, что кто-то не знает теории категорий. Это даже нестрашно. Хуже то, что человек не знаком ни с одной из важных наук, где она используется. Просто даже не слышал, что там делается сейчас. И говорит про какой-то мировой заговор масонов-категорщиков и бесполезность современных наук. Просто ужас и мрак.

Кстати, что по поводу МГУ, то дело далеко не в том, что люди не знают категорий. Ну негде в РФ взять много высокобразованных математиков, чего поделать, поэтому люди провициализованы, и занимаются "тем, чему меня научил научрук, который занимается тем, чем его научил его научрук, который..." (получаем "анализ сидит на анализе, и анализом погоняет"), кстати, то же относится и к алгебраистам. Проблема в том, что мехматом и МГУ, например, руководит откровенная академическая мафия. Ну да ладно, это уже другой разговор, не для этой темы.

-- 18.04.2017, 13:58 --

Brukvalub в сообщении #1210302 писал(а):

kp9r4d в сообщении #1210300 писал(а):

Ну вот роль и место ТК в частном русле гомологической алгебры у вас, пару страниц назад, оценить не получилось, например.

Это только ваше мнение. Классическая гомологическая алгебра легко обходится без ТК, а что там наворочали на "переднем крае" гомологической алгебры - интересно вам и еще сотне-другой математиков, остальному математическому миру это фиолетово. А уж если крестьянин спросит: "вот я вас, дармоедов-математиков кормлю, пою, так хоть объясните мне, какая от вашей математики польза есть", то именно вам-то ответить точно будет нечего.

Чудно, теперь и современная математика не нужна, так как не помогает "народному хозяйству".
Так мы договоримся и до "бесполезности" теоретической физики, и вообще фундаментальных наук, и вернемся в каменный век.

К слову, если "сотне-другой" математиков что-то современное интересно, то это как раз хороший знак. Математиков вообще мало.

[Brukvalub]

(GOLOTOPAXPOP)

GOLOTOPAXPOP в сообщении #1210396 писал(а):

А МГУ не столько устарел, сколько объективно перестал быть мировым математическим (подчеркиваю, математическим, а не прикладно-экономико-программистским) центром. Вспомните, каким он был в 1960-х годах. И сравните, что там царит сейчас.

С этим не поспорить. Был СССР - стала Россия.
СССР удерживал железным занавесом высокоуровневых специалистов внутри страны, СССР гордился уровнем развития математики, профессор получал втрое больше средней зарплаты по промышленности, доцент - вдвое больше. На эти деньги можно было жить припеваючи и спокойно заниматься наукой. Поездки на конференции финансировались не из своего кармана, а за гос.счет, написав учебник или монографию, ученый мог за полученный гонорар купить автомобиль или сделать первый взнос в кооператив.
Теперь СССР давно нет, в России чистая физ-мат наука никому не нужна, у профессоров и доцентов мехмата зарплата составляет, в среднем, соответственно, 45 и 30 тыр. (в то время, как на нормальное прожитье в Москве требуется не менее 50-60 тыр), в в девяностых я, тогда еще молодой ассистент, а потом - доцент, долго получал эквивалент сначала 5-10, а потом 20-30 долларов США в месяц). Поэтому большинство специалистов мирового уровня уехало в развитые кап.страны. Недавно мы с моим товарищем закончили 500-страничную рукопись учебника по классической тематике, и вот уже год, как бегаем по издательствам с целью издать ее. Везде нам говорят: "рукопись интересная и перспективная, но риски слишком велики. Вот если бы вы принесли еще и деньги какого-нибудь гранта на издание, то мы бы издали вас". О гонорарах же речь в принципе не идет.
Можно подумать, что это частный случай. Но мой соавтор пишет много, и раз в два года у него стабильно выходит новая книга или брошюра. Так вот, он говорит, что ситуация типична.
Так что все закономерно объясняется тем, что у людей есть желудок и семьи, и просто бессмысленно сравнивать уровни мехмата тогда и сейчас. Ведь, как известно, среди математиков немало людей с психическими отклонениями, но диагноза "идиотизм" у них нет.

[Red_Herring]

GOLOTOPAXPOP в сообщении #1210396 писал(а):

Во-первых, все действительно должны знать ТК, но далеко не все должны её использовать. Потому что "не знать ТК" - это как не знать групп, колец, модулей или не знать, что такое гладкое многообразие, или не знать комплексного анализа.

Позвольте открыть Вам секрет Полишинеля: университеты (и я имею в виду американские и канадские, в первую очередь), нанимают профессоров на основании их достижений, а не недостатков. Начнём сначала: вот документы недоиспечённого бакалавра (бакалавра получит в мае-июне, а сейчас январь) рассматривает graduate chair/coordinator. И его абсолютно не интересуют школьные оценки. Прошло 5 лет, и документы недоиспечённого PhD рассматривает будущий "хозяин", и там ни на оценки в undergraduate studies, ни на GRE не смотрят: сдал, и ладно (так обстоит дело в приличных местах на математике). Тысячи писем, которые я пересмотрел за многие годы упоминают, что знает, и особенно, что сделал соискатель tenure–track позиции, но никогда я не видел, чтобы писали, чего он не знает (если это впрямую не мешает его научной работе). И речь идет не только о письмах, которые написаны по просьбе соискателя, но и о тех отзывах, которые затребованы независимо (мы не нанимаем на tenure–track без пары-другой "контрольных выстрелов", в форме емейла или телефонного звонка). В результате встречаются "подобные флюсу" узкие специалисты, занимающие очень престижные позиции из-за сияющих достижений, а не зияющих провалов. Да, при "наличии отсутствия" понимания своей ограниченности такие люди превращаются в royal pain in the "neck" на appointment committees, и их перестают туда приглашать, а если они вдруг стали завкафедрами математики, то могут нанести огромный ущерб (и поэтому при тайном опросе профессоров, что они думают о таком кандидате в завкафедрой надо не постесняться и высказать все опасения "Да, он замечательный математик, но ни хрена за пределами своей специальности не знает" или "Да, он замечательный математик, и человек приятный, но послать декана на четыре буквы постесняется"). Так что, резюмирую: хорошо, если знает. Не страшно, если не знает. Хуже (но не смертельно) если не знает и гордится этим.

Что касается вашего спора с Brukvalub, то вас заносит гораздо сильнее, чем его. В другом тысячелетии, на другом материке я работал в техническом ВУЗе. Поэтому мне понадобилось ознакомиться с очень прикладными дисциплинами, например, матстатистикой. Поначалу, когда я знакомился с ней по стандартной литературе, она производила впечатление, мягко говоря, простой необразованной шлюхи, но перейдя к серьезным математическим книгам, я понял, что это дама благородного происхождения, хотя, безусловно, сильно неразборчивая в связях и потому сильно потасканная, и на мой взгляд, скучная. То же самое относится к вычислительной математике: там имеется серьезный математический аппарат и ею занимались и занимаются в т.ч. и первоклассные математики. И даже если сравнивать самого заурядного специалиста по более прикладным аспектам математики, то пользы от него несколько больше, чем от аналогичных специалистов по абстрактным вещам.

В те времена кому-то взбрело в голову, что инженерные диссертации должны иметь "математическую главу", и понеслось. Меня иногда просили посмотреть и высказать мнение. На фоне стандартных глупостей (не имевших никакого отношения к теме диссертации, т.ч. впечатление было таким: выпишем систему нелинейной упругости-пластичности, используем теорему ...., ..., ...., а потом εβ...μ сюда молотком) встречались и шедевры, типа применения теоретико-множественной топологии и теории меры к задачам прокатки (там наняли преподавателя с "вышки" для написания этого дела, благо диссертация была дохтурская. Мой отзыв был "клинический бред"). Я подозреваю, что в некоторых работах по математике с разделом по ТК дело обстоит примерно так же.