"Категорный" vs "некатегорный" подход

[Red_Herring]

g______d в сообщении #1210226 писал(а):

которая часто или даже всегда является отдельным департаментом

Часто--да, всегда--нет. Даже McGill она не oтделена.

[g______d]

Собственно, я открыл ради интереса Гриффитса -- Харриса, и там доказывается многомерная формула Римана-Роха над $\mathbb C$ до того, как вводятся производные категории (сами производные категории, впрочем, там вводятся тоже без упоминания слова "категории", ну или я плохо искал).

Ну и вообще, это известный факт, что в комплексной алгебраической геометрии с помощью анализа и PDE можно получить больше, чем с помощью чистой алгебры.

(разумеется, в арифметической геометрии ситуация противоположная и без категорного языка там вообще непонятно, какие утверждения имеет смысл формулировать и каким образом переносить утверждения из обычной геометрии).

[kp9r4d]

пианист
Ну я скорее о более глобальном сюжете. О том, что алгебраическая геометрия над $\mathbb{C}$ и комплексно-аналитическая геомтерия над $\mathbb{C}$ это, если и не одно и то же, то вещи очень сильно связанные. Например есть книжка Ф. Гриффитс и Дж. Харрис, "Принципы алгебраической геометрии", где вся алгебраическая геометрия над $\mathbb{C}$ излагается с точки зрения комплексного анализа. Ну и наоборот, если у нас есть замкнутое проективное гладкое алгебраичекое многообразие над $\mathbb{C}$ то можно провести его "аналитификацию" и получить комплексно-аналитическое многообразие над $\mathbb{C}$, при этом очень много чего сохраняется. Ну и в частности, теоремы о вычетах, группа Пикарда, харклассы, решение проблемы Кузена, Риман-Рох, Гурвиц есть и в алгебраической и в комплексной геометрии, и это не случайно. Все штуки связанные с этим сюжетом вроде так и называются "complex geometry".

Да, хотел ещё раз сказать про "в современной математике есть не только категории". В современной математике разные исследования проводятся с разными целями, зачастую это либо попытка атаковать классические проблемы с какой-то новой стороны, либо нащупывание новых симметрий и систем фактов. Но есть ещё одно направление: концептуализация и компактификация старых знаний, когда понятно, например, что в DG гладких многообразий, а в AG схем не хватает и нужно их чем-то заменять, а чем - непонятно. Ну и в этом направлении ничего такого же мощного как категорные конструкции в духе Ловера и Воеводского, кажется, нету.

[g______d]

kp9r4d в сообщении #1210241 писал(а):

О том, что алгебраическая геометрия над $\mathbb{C}$ и комплексно-аналитическая геомтерия над $\mathbb{C}$ это, если и не одно и то же, то вещи очень сильно связанные.

Это, кстати говоря, более-менее теорема, доказанная в работе Серра "GAGA".

https://ncatlab.org/nlab/show/GAGA

которую скорее всего невозможно адекватно сформулировать без категорий и функторов.

-- Пн, 17 апр 2017 09:12:08 --

kp9r4d в сообщении #1210241 писал(а):

гладкое

Не обязательно гладкое (насколько я понимаю, тот факт, что в алгебраическом и аналитическом случае сингулярности устроены одинаково, очень важен).

[kp9r4d]

Спасибо! Не знал, в Хартсхорне об этом, вроде, не написано.

[g______d]

kp9r4d в сообщении #1210247 писал(а):

Спасибо! Не знал, в Хартсхорне об этом, вроде, не написано.

Да. Там ещё компактность важна, без неё, по-моему, верно только локально.

[george66]

Chanzaa в сообщении #1210177 писал(а):

Brukvalub в сообщении #1210173 писал(а):

7. Матлогика и теория алгоритмов. Где же там категории??? Ау?

Извините, что влезаю в чужой разговор, но ваше утверждение настолько шокирующе, что я не могу удержаться и вынужден переспросить. Вы утверждаете, что на кафедре матлогики не слышали про топосы? Я правильно вас понял? Вы подписываетесь под этим утверждением?

К сожалению, так и есть. Много лет, сам обучаясь теории категорий, выступал там на маленьком семинаре (Плиско-Крупского), на который ходили Плиско, Крупский и два-три студента. Вот они теперь и знают про топосы. Только не думайте, что в ВШЭ давно знают про топосы. Шеня я лет десять звал на все свои доклады, Шень ни разу не пришёл. Справедливости ради, до института Вейцмана топосы дошли быстрее (сначала была реакция "кто дал ему мандат писать учебники?", потом большой траурный гевалт, когда поняли, что правда не знают). Мехмат же безнадёжен.

[Red_Herring]

george66 в сообщении #1210262 писал(а):

на который ходили ..., Крупский и два-три студента.

А кто ж тогда в Мавзолее лежит, пока Товарищ Крупский на семинары ходит??!!

[Munin]

george66 в сообщении #1210262 писал(а):

Шеня я лет десять звал на все свои доклады, Шень ни разу не пришёл.

:-(

[george66]

Вообще, спор идёт с обеих сторон преувеличенный. Можно жить, не зная теории категорий, почти весь мехмат МГУ так и живёт. Это не доказывает ничего, кроме отсталости мехмата. Но теория категорий сильно пострадала от манеры изложения своего создателя Маклейна. Не алгебраист читать его книжку практически не может (за алгебраиста не ручаюсь). Есть много англоязычных книг по теории категорий, написанных для программистов и теоретиков computer science, у нас их не было за неимением computer science. Опять же, можно заниматься и computer science, не зная теории категорий, изучая P=NP. Недавно в припадке ностальгии захотел почитать Journal of Symbolic Logic и обнаружил, что он сдох уже скоро пять лет (формально выходит, но рейтинг такой, что фактически сдох). Интересную логику сейчас делают почти исключительно для computer science. Опять же, я не поручусь, есть ли польза от монад в программировании (а это те же самые монады, если кто не знает), меня радует красивая наука. Теория категорий -- красивая наука, а жить без неё можно.

-- 17.04.2017, 22:58 --

И не надо говорить "подход Ловера-Воеводского", Воеводский, при всём уважении, ещё жив и не старый, надо подождать для приличия.

[Munin]

Я тут вычитал, что 0-категории - это и есть множества, так что ТК и ТМ можно не противопоставлять, а считать одну развитием другой.

[kp9r4d]

Да спора не идёт никакого особо, если и идёт, то я не понимаю, в чём его предмет заключается. Но для меня фраза структуры "Х - это хорошо, но жить без этого можно" звучит слишком универсально, так можно буквально сказать о чём угодно, и не только в математике. Где-то можно, где-то можно, но сложно, а где-то нельзя, а где-то пока непонятно, можно, или нельзя, и если можно, то стоит ли.

george66 в сообщении #1210286 писал(а):

И не надо говорить "подход Ловера-Воеводского", Воеводский, при всём уважении, ещё жив и не старый, надо подождать для приличия.

Ну если штука названа двумя людьми, то не предполагается, что они одинакового возраста, так что не вижу проблемы; к тому же я дефиса не ставил, а дефис сильно смещает коннотоации, в оригинале было "в духе Ловера и Воеводского".

-- 17.04.2017, 22:31 --

george66 в сообщении #1210286 писал(а):

Опять же, я не поручусь, есть ли польза от монад в программировании

В Хаскелле без монад не делается буквально ничего, потому что ввод-вывод делается через IO monad, а это самый мейнстримный из чистых функциональных языков (в Clean обходятся как-то без монад, но я не вникал).

[george66]

kp9r4d в сообщении #1210289 писал(а):

-- 17.04.2017, 22:31 --
В Хаскелле без монад не делается буквально ничего, потому что ввод-вывод делается через IO monad, а это самый мейнстримный из чистых функциональных языков (в Clean обходятся как-то без монад, но я не вникал).

Сложный вопрос, есть ли польза от Хаскелла!

[kp9r4d]

Ну, если какие-то позиции предлагают, то, значит, какая-то польза для кого-то есть.

[Brukvalub]

george66 в сообщении #1210286 писал(а):

Можно жить, не зная теории категорий, почти весь мехмат МГУ так и живёт. Это не доказывает ничего, кроме отсталости мехмата.

Нет, это доказывает, что:
1. Теория категорий - крошечный раздел математики, который большинству работающих математиков не нужен и неинтересен.
2. Есть люди, которым любой ценой важно очернить мехмат МГУ (цитированное мной - один из таких характерных примеров), и они для достижения этой цели привлекают любые средства. Например, искусственно делят математику на "правильную и неправильную". Ту математику, которую они пытаются развивать (обычно - без особых успехов и достижений), они называют правильной, а остальную - "низкой", "недостойной", которой занимаются "отсталые недоумки с мехмата". Я видел это неоднократно. Но караван-то идет.
Жаль тех молодых людей, которые верят подобной критике, большинству из них будет навязаны эти "прогрессивные" взгляды, но они противоречат стандартным схемам обучения, поэтому поверившие такой пропаганде молодые люди в своем большинстве не вытянут предложенный им с самого начала недопустимо уровень абстракции, и тогда их без сожаления выкинут с штампом: "неспособен к математике".
Все это я не раз видел своими глазами.