2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу Пред.  1 ... 8, 9, 10, 11, 12, 13  След.
 
 Re: Диск Эйнштейна
Сообщение01.04.2015, 18:23 
Аватара пользователя


14/11/12
1367
Россия, Нижний Новгород
epros в сообщении #998957 писал(а):
SergeyGubanov в сообщении #998896 писал(а):
Это Вы ни фига не поняли откуда оно берётся, сейчас мы на десятой странице, а решение было дано на второй:
Да, да, я вижу, что Вы как на второй странице ничего не понимали, так и до сих пор продлжаете ту же ерунду нести.
:D


epros в сообщении #998957 писал(а):
Нет никакого "трёхмерного простанства, взятого само по себе". Я почему Вам задал задачу про ускоряющееся вращение? Чтобы Вы не пудрили нам мозги пространственной метрикой, которую можно отнести к любому моменту времени (что возможно только в стационарном случае), а чётко указали, к какому моменту времени относится какая пространственная метрика. Иными словами, нужно определить гиперповерхность, находясь на которой множество маленьких геодезистов с маленькими линейками производят измерения, которые в совокупности и составят "пространственную геометрию".

Ладно, ускоренное вращение Вы сочли вычислительно сложным. Тогда для стационарного вращения укажите, к какому именно моменту относится указанная пространственная геометрия, т.е. повторяю вопрос:
"Какое отношение это взятое неизвестно откуда трёхмерное пространство имеет к той гиперповерхности, которая по Вашему утверждению является решением приведённого Вами нерешаемого уравнения"?
Похоже Вы так и не поняли, что трёхмерное пространство вращающейся системы отсчёта не является трёхмерной гиперповерхностью в пространстве Минковского. Трёхмерное пространство вращающейся системы отсчёта "размещается" в пространстве Минковского в виде "фарша" пространственно подобных двумерных гиперповерхностей (каждая отдельно взятая двумерная гиперповерхность представляет собой произведение окружности на ось-$z$):
SergeyGubanov в сообщении #989694 писал(а):
Доведу расчёт до конца для стационарного осесиметричного случая, то есть когда скорость $v(r, \theta)$ не зависит от $t$ и не зависит от $\varphi$.

Из (3) находим окружность проходящую через точку $t=0$, $\varphi=0$:
$$
t(\ell) = \frac{\ell v}{c^2} \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}, \quad
r(\ell) = \operatorname{const}, \quad
\theta(\ell) = \operatorname{const}, \quad
\varphi(\ell) = \frac{\ell}{r \sin(\theta)} \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}. \eqno(6)
$$
Из (5) находим мировую линию проходящую через точку $t=0$, $\varphi=2\pi$:
$$
t(s) = \frac{s}{c} \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}, \quad
r(s) = \operatorname{const}, \quad
\theta(s) = \operatorname{const}, \quad
\varphi(s) = 2\pi + \frac{v s}{c \, r \sin(\theta)} \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}. \eqno(7)
$$Находим точку пересечения линии (6) с линией (7):
$$
\ell = \frac{2\pi r \sin(\theta)}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}, \quad
s = \frac{v}{c}  \frac{2\pi r \sin(\theta)}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}. \eqno(8)
$$
Вот один из вариантов "размещения" (ось-$z$ не изображена, по вертикальной оси $t$):

Изображение



epros в сообщении #998957 писал(а):
Ёлы-палы, SergeyGubanov, раз Вы упорно не желаете понимать того, что гиперповерхность по определению является подмножеством четырёхмерия
С чего это вдруг Вы пишите про меня подобный бред?

epros в сообщении #998957 писал(а):
то вот Вам вопрос попроще: Переменные $r$, $\varphi$ и т.д., которые задают координатную карту в Вашем трёхмерии, они откуда взялись? Разве это не те же самые координаты, которые были заданы в четырёхмерии?
Когда трёхмерное пространство рассматривается само по себе, тогда координаты $r, \theta, \psi$ не имеют отношения к своим "четырёхмерным прародителям". Логично было бы их даже обозначить по-другому, например, $\xi, \chi, \eta$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диск Эйнштейна
Сообщение01.04.2015, 19:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10834
SergeyGubanov в сообщении #998990 писал(а):
Похоже Вы так и не поняли, что трёхмерное пространство вращающейся системы отсчёта не является трёхмерной гиперповерхностью в пространстве Минковского.
Это Вы так и не поняли, что геодезисты с линейками, которые определяют метрику этого самого "трёхмерного пространства вращающейся СО", находятся в том самом четырёхмерии Минковского. Хотите Вы этого или нет.

И по причине оного непонимания Вы продолжаете нести вот этот удивительный бред:
SergeyGubanov в сообщении #998990 писал(а):
Трёхмерное пространство вращающейся системы отсчёта "размещается" в пространстве Минковского в виде "фарша" пространственно подобных двумерных гиперповерхностей (каждая отдельно взятая двумерная гиперповерхность представляет собой произведение окружности на ось-$z$):
Кстати, то что Вы попытались нарисовать, даже двумерными поверхностями не является, что нетрудно понять, если включить мозг.

SergeyGubanov в сообщении #998990 писал(а):
epros в сообщении #998957 писал(а):
Ёлы-палы, SergeyGubanov, раз Вы упорно не желаете понимать того, что гиперповерхность по определению является подмножеством четырёхмерия
С чего это вдруг Вы пишите про меня подобный бред?
Да с того, что Вы неоднократно заявляли, что гиперповерхность существует и в качестве её определения приводили нерешаемое УЧП. А на мои просьбы привести определение подмножества четырёхмерия (например, в форме $f(t, x, y, z) = 0$) Вы отвечали, что таким "примитивным" образом "неголономная" гиперповерхность не определяется. :facepalm:

SergeyGubanov в сообщении #998990 писал(а):
Когда трёхмерное пространство рассматривается само по себе, тогда координаты $r, \theta, \psi$ не имеют отношения к своим "четырёхмерным прародителям". Логично было бы их даже обозначить по-другому, например, $\xi, \chi, \eta$.
Мне просто любопытно, до какой степени демагогии Вы можете дойти в попытках защиты заявленного бреда? Как Вы ни переобозначайте их, а это будут те самые привязанные к карусели пространственные координаты, в которых Вы и "выводили" формулу пространственной метрики.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диск Эйнштейна
Сообщение02.04.2015, 12:01 
Аватара пользователя


14/11/12
1367
Россия, Нижний Новгород
epros в сообщении #999026 писал(а):
SergeyGubanov в сообщении #998990 писал(а):
Похоже Вы так и не поняли, что трёхмерное пространство вращающейся системы отсчёта не является трёхмерной гиперповерхностью в пространстве Минковского.
Это Вы так и не поняли, что геодезисты с линейками, которые определяют метрику этого самого "трёхмерного пространства вращающейся СО", находятся в том самом четырёхмерии Минковского. Хотите Вы этого или нет.
Одно другому не мешает. Геодезисты живут в пространстве Минковского. Карусель тоже размещена в пространстве Минковского. А вот трёхмерная геометрия вращающейся системы отсчёта соответствует такому трёхмерному пространству, которое не может быть вложено в пространство Минковского. Такое ощущение, что у Вас от этого факта происходит что-то вроде взрыва мозга :D.


epros в сообщении #999026 писал(а):
Кстати, то что Вы попытались нарисовать, даже двумерными поверхностями не является, что нетрудно понять, если включить мозг.
Ось-$z$ на рисунке не показана. Каждая синяя линия обозначает не просто дугу окружности, а произведение дуги окружности на ось-$z$. Таким образом на рисунке синие линии обозначают двумерные поверхности в пространстве Минковского.


epros в сообщении #999026 писал(а):
SergeyGubanov в сообщении #998990 писал(а):
epros в сообщении #998957 писал(а):
Ёлы-палы, SergeyGubanov, раз Вы упорно не желаете понимать того, что гиперповерхность по определению является подмножеством четырёхмерия
С чего это вдруг Вы пишите про меня подобный бред?
Да с того, что Вы неоднократно заявляли, что гиперповерхность существует и в качестве её определения приводили нерешаемое УЧП. А на мои просьбы привести определение подмножества четырёхмерия (например, в форме $f(t, x, y, z) = 0$) Вы отвечали, что таким "примитивным" образом "неголономная" гиперповерхность не определяется. :facepalm:
Ну что же, поздравляю, в нашем с Вами споре Вы в конце-концов прибегли к такому приёму как прямая ложь. Все ходы записаны. Не отмоетесь. :mrgreen:


epros в сообщении #999026 писал(а):
SergeyGubanov в сообщении #998990 писал(а):
Когда трёхмерное пространство рассматривается само по себе, тогда координаты $r, \theta, \psi$ не имеют отношения к своим "четырёхмерным прародителям". Логично было бы их даже обозначить по-другому, например, $\xi, \chi, \eta$.
Мне просто любопытно, до какой степени демагогии Вы можете дойти в попытках защиты заявленного бреда? Как Вы ни переобозначайте их, а это будут те самые привязанные к карусели пространственные координаты, в которых Вы и "выводили" формулу пространственной метрики.
Вот здесь координаты $t, r, \theta, \psi$ принадлежат четырёхмерному пространству Минковского:
$$
\begin{cases}
\frac{c \, dt - \frac{\omega}{c} \, r^2 \sin(\theta)^2 \, (d\psi + \omega dt) }{\sqrt{1-\frac{\omega^2 r^2 \sin(\theta)^2}{c^2}}} = 0, \\
d\ell^2 = dr^2 + r^2 d\theta^2 + \frac{ r^2 \sin(\theta)^2 \, d\psi^2 }{1-\frac{\omega^2 r^2 \sin(\theta)^2}{c^2}}.
\end{cases}
$$

А вот здесь координаты $r, \theta, \psi$ принадлежат совершенно другому пространству - трёхмерному, которое не имеет к пространству Минковского ни какого отношения, даже не может быть гиперповерхностью в нём:
$$
d\ell^2 = dr^2 + r^2 d\theta^2 + 
\frac{ r^2 \sin(\theta)^2 \, d\psi^2 }{1-\frac{\omega^2 r^2 \sin(\theta)^2}{c^2}}.
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Диск Эйнштейна
Сообщение02.04.2015, 13:30 


21/10/11
155
Всплакнулось
Вспомнилось:
Утундрий в сообщении #504980 писал(а):
Как раз собираюсь их допустить.

Мне показалось (показалось), что роли в той теме были распределены несколько иначе.
Теперь, роль epros (или Утундрий, я запутался), почему-то, стал играть SergeyGubanov, а роль Munin или Someone, почему-то, epros :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Диск Эйнштейна
Сообщение02.04.2015, 14:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10834
SergeyGubanov в сообщении #999283 писал(а):
Одно другому не мешает. Геодезисты живут в пространстве Минковского. Карусель тоже размещена в пространстве Минковского. А вот трёхмерная геометрия вращающейся системы отсчёта соответствует такому трёхмерному пространству, которое не может быть вложено в пространство Минковского. Такое ощущение, что у Вас от этого факта происходит что-то вроде взрыва мозга :D.
От этого у меня не происходит никакого взрыва, к тому же это не факт, а неуместная интерпретация. Факт заключается в том, что локальное измерение расстояния является событием, которое обозначается точкой пространства Минковского. И когда мы хотим говорить о геометрии пространственного трёхмерия, то в каждой его точке должны быть выполнены соответствующие измерения расстояний. Именно поэтому каждой точке трёхмерия должна сопоставляться точка четырёхмерия, где (и когда) это измерение выполнено. А множество всех таких точек составляет гиперповерхность.

На этом факты заканчиваются и начинаются интерпретации. Например, интерпретация того, является ли это трёхмерие "вложением" в четырёхмерие. И с точки зрения формального определения вложения -- конечно не является, потому что метрика трёхмерия (см. формулу выше) это не то же самое, что метрика четырёхмерия. Но с точки зрения событий измерений -- трёхмерие является подмножеством четырёхмерия. На нём всего лишь метрика определяется иначе.

SergeyGubanov в сообщении #999283 писал(а):
Ось-$z$ на рисунке не показана. Каждая синяя линия обозначает не просто дугу окружности, а произведение дуги окружности на ось-$z$. Таким образом на рисунке синие линии обозначают двумерные поверхности в пространстве Минковского.
У Вас на рисунке синие линии красиво сложились в винтовую двумерную поверхность. Однако никакой такой поверхности (ортогональной мировым линиям точек карусели) на самом деле не существует.

SergeyGubanov в сообщении #999283 писал(а):
Ну что же, поздравляю, в нашем с Вами споре Вы в конце-концов прибегли к такому приёму как прямая ложь. Все ходы записаны. Не отмоетесь. :mrgreen:
Я мог бы найти и привести в подтверждение соответствующие цитаты. Однако не считаю нужным оправдываться перед явным демагогом. Так что пусть Ваше обвинение меня во лжи останется на Вашей совести.

SergeyGubanov в сообщении #999283 писал(а):
А вот здесь координаты $r, \theta, \psi$ принадлежат совершенно другому пространству - трёхмерному, которое не имеет к пространству Минковского ни какого отношения
Отношение здесь самое прямое: Каждая точка этого трёхмерия должна соответствовать мировой линии четырёхмерия с теми же значениями тех же пространственых координат -- просто в силу способа вывода этой формулы метрики.

-- Чт апр 02, 2015 15:33:22 --

A-u-uuu, неголономные базисы -- это совсем не то, о чём здесь спор.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диск Эйнштейна
Сообщение02.04.2015, 23:24 
Аватара пользователя


10/12/11
2427
Москва
epros в сообщении #998803 писал(а):
epros в сообщении #992582

писал(а):
в локальном смысле расстояния остаются определимыми именно в смысле той процедуры, о которой пишут ЛЛ (радаром). А это значит, что для заданной пространственно-подобной гиперповерхности можно опредилить расстояния, т.е. пространственную геометрию. Она выражается метрикой:

$\gamma_{\alpha \beta} = -g_{\alpha \beta} + \frac{g_{\alpha 0} g_{0 \beta}}{g_{00}}$

которую часто можно встретить в литературе. Гиперповерхность в случае, рассмотренном в параграфе 89 ЛЛ, можно проводить любым образом, указанная метрика от этого не зависит.

Ну об ней и ведется речь. Если ее распишите , получите то, что и в ЛЛ-2 пар 89 (здесь то формула - (4)), где они определяют длину окружности . Я просил Вас пояснить, почему "это" является "гиперповерхностью одновременности" ? Вы что не знаете других способов синхронизации часов, расположенных на дуге, кроме описанных в ЛЛ-2? Да и с какой стати способ синхронизации определяет 3-х мерную метрику?
-- 02.04.2015, 23:27 --

epros в сообщении #998803 писал(а):
Определяет. Если считать, что точки тела отсчёта определяются именно пространственными координатами.

Пространственные координаты могут быть любыми. Это просто числа. А тело отсчета по хорошему надо определять через ортонормированный репер.

-- 02.04.2015, 23:29 --

Цитата:
epros в сообщении #998803 писал(а):
Я говорил о скорости сигнала. Именно это обстоятельство позволяет интерпретировать эффект Саньяка в СО , связанной с вращающимся диском. Ваше мнение противоречит эксперименту. У Арифова об этом указано.
Это неверно. Просто при несинхронном координатном времени при переходе от мгновенной скорости к средней нужно учитывать поправку на синхронизацию.

В статье Герштейна-Логунова именно объясняется данный эффект через анизотропность скорости света. Могу дать ссылку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диск Эйнштейна
Сообщение02.04.2015, 23:44 


02/11/11
1310
epros
Вы же понимаете, что вам придется идти до конца, до Победы? : )

 Профиль  
                  
 
 Re: Диск Эйнштейна
Сообщение02.04.2015, 23:46 
Аватара пользователя


10/12/11
2427
Москва

(Оффтоп)

До 9 мая еще далеко.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диск Эйнштейна
Сообщение03.04.2015, 10:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10834
schekn в сообщении #999527 писал(а):
Я просил Вас пояснить, почему "это" является "гиперповерхностью одновременности"?

epros в сообщении #998803 писал(а):
Гиперповерхность в случае, рассмотренном в параграфе 89 ЛЛ, можно проводить любым образом, указанная метрика от этого не зависит.


schekn в сообщении #999527 писал(а):
Вы что не знаете других способов синхронизации часов, расположенных на дуге, кроме описанных в ЛЛ-2?
Любые способы синхронизации легитимны.

schekn в сообщении #999527 писал(а):
Да и с какой стати способ синхронизации определяет 3-х мерную метрику?
Пространственную метрику (см. формулу) определяет не синхронизация, а способ измерения расстояний (радаром)

schekn в сообщении #999527 писал(а):
А тело отсчета по хорошему надо определять через ортонормированный репер.

epros в сообщении #998803 писал(а):
Если считать, что точки тела отсчёта определяются именно пространственными координатами.


schekn в сообщении #999527 писал(а):
В статье Герштейна-Логунова именно объясняется данный эффект через анизотропность скорости света. Могу дать ссылку.

epros в сообщении #998203 писал(а):
Если использовать правильные определения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диск Эйнштейна
Сообщение10.04.2015, 19:51 
Аватара пользователя


14/11/12
1367
Россия, Нижний Новгород
Извините, что долго не отвечал. На работе программа падала (порча памяти), было не до форума :D. За это время накопилось несколько интересных вещей о которых я сейчас расскажу.

Во-первых, думаю мне надо бы прокомментировать часто упоминаемую формулу из ЛЛ2:
$$
\gamma_{i j} = - g_{i j} + \frac{g_{0 i} \, g_{0 j}}{g_{00}} \eqno(1)
$$ Такой трёхмерной метрикой обладает трёхмерное пространство системы отсчёта движущейся с четырёхскоростью
$$
e^{(0)}_{\mu} = \frac{g_{0 \mu}}{ \sqrt{g_{00}}} \qquad \text{или в контравариантной записи:} \qquad
e^{\mu}_{(0)} = \frac{g^{0 \mu}}{ \sqrt{g^{00}}}. \eqno(2)
$$

Во-вторых, я научился находить триадные компоненты трёхмерного тензора кривизны трёхмерного пространства произвольной системы отсчёта не зная трёхмерных координат. Зная трёхмерные координаты любой дурак сможет, а вот попробуйте не зная :D. Дело в следующем. Вот у нас есть, значит, четырёхмерное пространство событий, в нём четырёхмерная система координат $x^{\mu}$. Произвольно берём какую-то систему отсчёта $e^{(a)} = e^{(a)}_{\mu} \; dx^{\mu}$. Для этой системы отсчёта в бесконечно малой окрестности каждой четырёхточки $x^{\mu}$ (там где эта система отсчёта определена) определён и бесконечно малый кусочек трёхмерного пространства одновременности с триадой ${\mathcal E}^{(1)}, {\mathcal E}^{(2)}, {\mathcal E}^{(3)}$ такой что:
$$
\begin{cases}
e^{(0)} = 0, \\
{\mathcal E}^{(1)} = e^{(1)}, \quad 
{\mathcal E}^{(2)} = e^{(2)}, \quad
{\mathcal E}^{(3)} = e^{(3)}.  \eqno(3)
\end{cases}
$$ Уравнение $e^{(0)}_{\mu} dx^{\mu} = 0$ говорит, что в бесконечно малой окрестности точки $x^{\mu}$ на трёхмерном пространстве одновременности линейно независимыми являются три из четырёх дифференциалов $dx^{\mu}$. То есть триада трёхмерного пространства ${\mathcal E}^{(1)}, {\mathcal E}^{(2)}, {\mathcal E}^{(3)}$ в окрестности каждой четырёхточки $x^{\mu}$ определена на линейной комбинации трёх линейно независимых дифференциалов, как и положено для трёхмерного пространства. И тут не важно что сами-по-себе трёхмерные координаты $y^i$ нам не известны, мы можем работать с компонентами триады как с функциями от четырёхмерных координат $x^{\mu}$ и этого будет достаточно для всех случаев жизни. Например, мы можем найти триадные компоненты трёхмерного тензора кривизны как функции $x^{\mu}$.

Для четырёхмерной тетрадной связности ${\omega^{(a)}}_{(b)}$ и для четырёхмерной кривизны ${R^{(a)}}_{(b)}$ по определению имеем:
$$
d e^{(a)} + {\omega^{(a)}}_{(b)} \wedge e^{(b)} = 0,
\qquad
{\omega^{(a)}}_{(b)} = {\omega^{(a)}}_{(b)(c)} \; e^{(c)}  \eqno(4)
$$$$
{R^{(a)}}_{(b)} = d {\omega^{(a)}}_{(b)} + {\omega^{(a)}}_{(c)} \wedge {\omega^{(c)}}_{(b)},
\qquad
{R^{(a)}}_{(b)} = \frac{1}{2} {R^{(a)}}_{(b)(c)(d)} \; e^{(c)} \wedge e^{(d)}.  \eqno(5)
$$
Аналогично для трёхмерной триадной связности ${{\Omega}^{(i)}}_{(j)}$ и для трёхмерной кривизны ${{\mathcal R}^{(i)}}_{(j)}$ по определению имеем:
$$
d {\mathcal E}^{(i)} + {{\Omega}^{(i)}}_{(j)} \wedge {\mathcal E}^{(j)} = 0,
\qquad
{{\Omega}^{(i)}}_{(j)} = {\Omega^{(i)}}_{(j)(k)} \; {\mathcal E}^{(k)}.  \eqno(6)
$$$$
{{\mathcal R}^{(i)}}_{(j)} = d {\Omega^{(i)}}_{(j)} + {\Omega^{(i)}}_{(k)} \wedge {\Omega^{(k)}}_{(j)},
\qquad
{{\mathcal R}^{(i)}}_{(j)} = \frac{1}{2} {{\mathcal R}^{(i)}}_{(j)(k)(l)} \;  {\mathcal E}^{(k)} \wedge  {\mathcal E}^{(l)}.  \eqno(7)
$$
Исходя из этих определений, а так же из связи ${\mathcal E}^{(i)} = e^{(i)}|_{e^{(0)}=0}$ легко получить следующую формулу:
$$
{R^{(i)}}_{(j)(k)(l)} - {{\mathcal R}^{(i)}}_{(j)(k)(l)} =
{\omega^{(i)}}_{(j)(0)} \left( {\omega^{(0)}}_{(k)(l)} - {\omega^{(0)}}_{(l)(k)} \right)
+ {\omega^{(i)}}_{(0)(k)} {\omega^{(0)}}_{(j)(l)}
- {\omega^{(i)}}_{(0)(l)} {\omega^{(0)}}_{(j)(k)}.  \eqno(8)
$$ По этой формуле триадные компоненты трёхмерного тензора кривизны ${{\mathcal R}^{(i)}}_{(j)(k)(l)}$ выражаются через пространственные тетрадные компоненты четырёхмернго тензора кривизны ${R^{(i)}}_{(j)(k)(l)}$ и через пространственные $(0)$-компоненты тетрадной связности.

Давайте применим эту технику для задачи о неравномерно вращающейся карусели $v = r \, \omega(t)$.

Метрика в цилиндрических координатах:
$$
ds^2 = c^2 dt^2 - dr^2 - r^2 d\varphi^2 - dz^2.  \eqno(9) 
$$
Покоящаяся система отсчёта:
$$
\bar{e}^{(0)} = c \, dt, \quad
\bar{e}^{(1)} = dr, \quad
\bar{e}^{(2)} = r \, d\varphi, \quad
\bar{e}^{(3)} = dz.  \eqno(10)
$$
Неравномерно вращающаяся система отсчёта получается Лоренцевским бустом в плоскости $\bar{e}^{(0)} \wedge \bar{e}^{(2)}$:
$$
e^{(0)} = \frac{c \, dt - \frac{r^2 \omega(t)}{c} d\varphi}{\sqrt{1 - \frac{r^2 \omega(t)^2}{c^2}}} \quad
e^{(1)} = dr, \quad
e^{(2)} = \frac{r \left( d\varphi - \omega(t) dt \right)}{\sqrt{1 - \frac{r^2 \omega(t)^2}{c^2}}} \quad
e^{(3)} = dz.  \eqno(11)
$$
Отличные от нуля компоненты тетрадной связности:
$$
{\omega^{(0)}}_{(1)(2)} = - \frac{1}{c} \frac{\omega(t)}{ 1 - \frac{r^2 \omega(t)^2}{c^2} }, \quad
{\omega^{(0)}}_{(1)(0)} = - \frac{1}{c^2}  \frac{r \omega(t)^2}{ 1 - \frac{r^2 \omega(t)^2}{c^2} }, \quad
{\omega^{(1)}}_{(2)(2)} = - \frac{1}{r}  \frac{1}{ 1 - \frac{r^2 \omega(t)^2}{c^2} },
$$
$$
{\omega^{(0)}}_{(2)(2)} = \frac{1}{c^3} \frac{ r^2 \omega(t) \dot{\omega}(t)}{   \left( 1 - \frac{r^2 \omega(t)^2}{c^2} \right)^{3/2}  }, \quad
{\omega^{(0)}}_{(2)(0)} = \frac{1}{c^2} \frac{ r  \dot{\omega}(t)}{   \left( 1 - \frac{r^2 \omega(t)^2}{c^2} \right)^{3/2}  }. \eqno(12)
$$
$$
{\omega^{(1)}}_{(0)} = {\omega^{(0)}}_{(1)}, \quad
{\omega^{(2)}}_{(0)} = {\omega^{(0)}}_{(2)}, \quad
{\omega^{(2)}}_{(1)} = -{\omega^{(1)}}_{(2)}. \eqno(13)
$$
Вычисленный по этой связности четырёхмерный тензор кривизны равен нулю как и должно быть для пространства Минковского.

Далее двумя разными способами вычисляем триадные компоненты трёхмерного тензора кривизны (по определению (7)) и как правая часть полученной мной формулы (8). Результаты независимых вычислений торжественно совпадают, для отличных от нуля компонент получаем:
$$
{{\mathcal R}^{(1)}}_{(2)(1)(2)} = - 3 \left(  {\omega^{(0)}}_{(1)(2)} \right)^2 = 
- \frac{3 \omega(t)^2 }{ c^2 \left( 1 - \frac{r^2 \omega(t)^2}{c^2} \right)^2 } \eqno(14)
$$ (остальные компоненты получаются перестановкой индексов с учётом антисимметрии тензора кривизны). Но именно таким тензором кривизны обладает трёхмерное пространство с метрикой:
$$
d \ell^2 = dr^2 + \frac{r^2 d \psi^2}{1 - \frac{r^2 \omega(t)^2}{c^2} } + dz^2. \eqno(15)
$$
Метрике (15) неравномерность вращения $\omega(t) \ne \operatorname{const}$ глубоко безразлична.



epros в сообщении #999320 писал(а):
SergeyGubanov в сообщении #999283 писал(а):
Одно другому не мешает. Геодезисты живут в пространстве Минковского. Карусель тоже размещена в пространстве Минковского. А вот трёхмерная геометрия вращающейся системы отсчёта соответствует такому трёхмерному пространству, которое не может быть вложено в пространство Минковского. Такое ощущение, что у Вас от этого факта происходит что-то вроде взрыва мозга :D.
От этого у меня не происходит никакого взрыва, к тому же это не факт, а неуместная интерпретация. Факт заключается в том, что локальное измерение расстояния является событием, которое обозначается точкой пространства Минковского. И когда мы хотим говорить о геометрии пространственного трёхмерия, то в каждой его точке должны быть выполнены соответствующие измерения расстояний. Именно поэтому каждой точке трёхмерия должна сопоставляться точка четырёхмерия, где (и когда) это измерение выполнено. А множество всех таких точек составляет гиперповерхность.

На этом факты заканчиваются и начинаются интерпретации. Например, интерпретация того, является ли это трёхмерие "вложением" в четырёхмерие. И с точки зрения формального определения вложения -- конечно не является, потому что метрика трёхмерия (см. формулу выше) это не то же самое, что метрика четырёхмерия. Но с точки зрения событий измерений -- трёхмерие является подмножеством четырёхмерия. На нём всего лишь метрика определяется иначе.
Обозначим четырёхмерные координаты $x^{\mu}$, а трёхмерные координаты $y^{i}$. В общем случае размещение точек трёхмерного пространства в четырёхмерном пространстве не является вложением, то есть не существует дифференцируемых функций $x^{\mu} = f^{\mu}(y^i)$. Точки идут "россыпью, гроздьями, фаршем". Однако пространственно подобные линии $x^{\mu}(\ell)$ и $y^i(\ell)$ в четырёхмерном и в трёхмерном пространствах друг другу соответствуют взаимно однозначно.


epros в сообщении #999320 писал(а):
SergeyGubanov в сообщении #999283 писал(а):
Ось-$z$ на рисунке не показана. Каждая синяя линия обозначает не просто дугу окружности, а произведение дуги окружности на ось-$z$. Таким образом на рисунке синие линии обозначают двумерные поверхности в пространстве Минковского.
У Вас на рисунке синие линии красиво сложились в винтовую двумерную поверхность. Однако никакой такой поверхности (ортогональной мировым линиям точек карусели) на самом деле не существует.
Конечно не существует. Синие линии друг от друга строго изолированы. Там ж формулы перед рисунком написаны. То есть Вам, значит, вдруг привиделось, что синие линии как будто бы сложились в поверхность и Вы обвинили меня в том, что я якобы нарисовал поверхность, которой нет. Ну, обознались Вы малость.

epros в сообщении #999320 писал(а):
SergeyGubanov в сообщении #999283 писал(а):
Ну что же, поздравляю, в нашем с Вами споре Вы в конце-концов прибегли к такому приёму как прямая ложь. Все ходы записаны. Не отмоетесь. :mrgreen:
Я мог бы найти и привести в подтверждение соответствующие цитаты. Однако не считаю нужным оправдываться перед явным демагогом. Так что пусть Ваше обвинение меня во лжи останется на Вашей совести.
Вам был предоставлен шанс не удариться в грязь лицом, Вы им не воспользовались :mrgreen: :mrgreen: :mrgreen:

epros в сообщении #999320 писал(а):
SergeyGubanov в сообщении #999283 писал(а):
А вот здесь координаты $r, \theta, \psi$ принадлежат совершенно другому пространству - трёхмерному, которое не имеет к пространству Минковского ни какого отношения
Отношение здесь самое прямое: Каждая точка этого трёхмерия должна соответствовать мировой линии четырёхмерия с теми же значениями тех же пространственых координат -- просто в силу способа вывода этой формулы метрики.
Вообще-то не линии, а точке: точка должна соответствовать точке, а дифференцируемых функций $x^{\mu}(y^i)$ в общем случае нету. Так что точка точке соответствует, но "россыпью, гроздьями, фаршем".

 Профиль  
                  
 
 Re: Диск Эйнштейна
Сообщение10.04.2015, 22:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10834
Шоу продолжается...

SergeyGubanov в сообщении #1002385 писал(а):
Точки идут "россыпью, гроздьями, фаршем".
Где определение подмножества?

SergeyGubanov в сообщении #1002385 писал(а):
Синие линии друг от друга строго изолированы.
Что Вы несёте? Синие линии составляют поверхность, но это не та поверхность, которая является решением Вашего уравнения, т.е. она не ортогональ к мировым линиям частей карусели.

SergeyGubanov в сообщении #1002385 писал(а):
Вообще-то не линии, а точке
Три пространственные координаты определяют мировую линию.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диск Эйнштейна
Сообщение10.04.2015, 22:24 
Аватара пользователя


10/12/11
2427
Москва
epros в сообщении #999605 писал(а):
Пространственную метрику (см. формулу) определяет не синхронизация, а способ измерения расстояний (радаром)

Я бы тоже хотел прокомментировать со своей колокольни. Если бы Вы сразу сослались на пар. 84 ЛЛ-2 , это сократило бы время на поиски того, что понимается под СО.
Формула , полученная Ландау в пар 84 радарным методом, конечно имеет право на существования.
$$
\gamma_{i j} = - g_{i j} + \frac{g_{0 i} \, g_{0 j}}{g_{00}} \eqno(1)
$$
$$dl^2=\gamma_{i j}dx^{i}dx^{j}$$
Как указывается, сигнал посылается между бесконечно близкими точками. Затем находится координатное и истинное время. Умножение истинного времени на $c/2$ и дает согласно ЛЛ-2 пространственную геометрию. Но там такой метод возможен в бесконечно малом объеме. В замкнутом контуре синхронизацию провести во вращающейся СО вообще говоря невозможно, как и провести синхронизацию во всем пространстве жесткого диска. Почему вдруг в пар. 89 возникает решение найти длину окружности причем совсем не радарным методом?

 Профиль  
                  
 
 Re: Диск Эйнштейна
Сообщение11.04.2015, 09:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10834
schekn в сообщении #1002439 писал(а):
Почему вдруг в пар. 89 возникает решение найти длину окружности причем совсем не радарным методом?
Длина окружности находится по той же формуле метрики, значит радарным методом. Синхронизоция тут ни при чём.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диск Эйнштейна
Сообщение11.04.2015, 11:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7061
schekn в сообщении #1002439 писал(а):
В замкнутом контуре синхронизацию провести во вращающейся СО вообще говоря невозможно, как и провести синхронизацию во всем пространстве жесткого диска. Почему вдруг в пар. 89 возникает решение найти длину окружности причем совсем не радарным методом?

Дело в том, что синхронизация часов в пар.84 ЛЛ-2 не совпадает с синхронизацией часов в пар.89. Как я пытался показать на странице 4 темы http://dxdy.ru/topic95378-45.html, метрика Ланжевена из пар.89 возникает, если часы на вращающейся окружности синхронизированы из ИСО внешнего пространства Минковского. Что совпадает с синхронизацией часов из центра. Такая синхронизация возможна в глобальном смысле. Из неё следует, что скорость света в разных направлениях в СО вращ. окружности разная. Часы на вращ. окружности синхронно запаздывают относительно часов ИСО внешнего пространства Минковского. Но если на окружности поставить часы, которые идут убыстренно с одинаковым коэффициентом (понятно каким), то тогда все часы, как на окружности, так и на ИСО во внешнем пространстве Минковского идут синхронно. Такая синхронизация важна для практики и используется в системах глобального позиционирования. Жду от вас аргументированной критики, поскольку в цитируемой ветке на меня сильно наехали, но аргументацию я не понял вообще.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диск Эйнштейна
Сообщение11.04.2015, 15:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7061
мат-ламер в сообщении #1002570 писал(а):
метрика Ланжевена из пар.89 возникает, если часы на вращающейся окружности синхронизированы из ИСО внешнего пространства Минковского.

Я поясню. Смотрим формулы 89.1 и 89.2 из пар. 89 ЛЛ-2. И видим, что в обеих формулах время задаётся одной и той же переменной t. А с чего бы это вдруг? А это как раз и означает, что часы на диске синхронизируются первоначально из внешней неподвижной ИСО. И, кроме того, эта синхронизация остаётся всё время. И как этого достичь? Поместить на диске часы, которые идут быстрее, чем в неподвижной ИСО. Итак, все часы как вращающейся СО, так и на неподвижной ИСО сохраняют свою синхронность.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 185 ]  На страницу Пред.  1 ... 8, 9, 10, 11, 12, 13  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: reterty, YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group