Диск Эйнштейна

[SergeyGubanov]

epros в сообщении #998957 писал(а):

SergeyGubanov в сообщении #998896 писал(а):

Это Вы ни фига не поняли откуда оно берётся, сейчас мы на десятой странице, а решение было дано на второй:

Да, да, я вижу, что Вы как на второй странице ничего не понимали, так и до сих пор продлжаете ту же ерунду нести.

epros в сообщении #998957 писал(а):

Нет никакого "трёхмерного простанства, взятого само по себе". Я почему Вам задал задачу про ускоряющееся вращение? Чтобы Вы не пудрили нам мозги пространственной метрикой, которую можно отнести к любому моменту времени (что возможно только в стационарном случае), а чётко указали, к какому моменту времени относится какая пространственная метрика. Иными словами, нужно определить гиперповерхность, находясь на которой множество маленьких геодезистов с маленькими линейками производят измерения, которые в совокупности и составят "пространственную геометрию".

Ладно, ускоренное вращение Вы сочли вычислительно сложным. Тогда для стационарного вращения укажите, к какому именно моменту относится указанная пространственная геометрия, т.е. повторяю вопрос:
"Какое отношение это взятое неизвестно откуда трёхмерное пространство имеет к той гиперповерхности, которая по Вашему утверждению является решением приведённого Вами нерешаемого уравнения"?

Похоже Вы так и не поняли, что трёхмерное пространство вращающейся системы отсчёта не является трёхмерной гиперповерхностью в пространстве Минковского. Трёхмерное пространство вращающейся системы отсчёта "размещается" в пространстве Минковского в виде "фарша" пространственно подобных двумерных гиперповерхностей (каждая отдельно взятая двумерная гиперповерхность представляет собой произведение окружности на ось-$z$):

SergeyGubanov в сообщении #989694 писал(а):

Доведу расчёт до конца для стационарного осесиметричного случая, то есть когда скорость $v(r, \theta)$ не зависит от $t$ и не зависит от $\varphi$.

Из (3) находим окружность проходящую через точку $t=0$, $\varphi=0$:

$$ t(\ell) = \frac{\ell v}{c^2} \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}, \quad r(\ell) = \operatorname{const}, \quad \theta(\ell) = \operatorname{const}, \quad \varphi(\ell) = \frac{\ell}{r \sin(\theta)} \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}. \eqno(6) $$

Из (5) находим мировую линию проходящую через точку $t=0$, $\varphi=2\pi$:

$$ t(s) = \frac{s}{c} \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}, \quad r(s) = \operatorname{const}, \quad \theta(s) = \operatorname{const}, \quad \varphi(s) = 2\pi + \frac{v s}{c \, r \sin(\theta)} \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}. \eqno(7) $$

Находим точку пересечения линии (6) с линией (7):

$$ \ell = \frac{2\pi r \sin(\theta)}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}, \quad s = \frac{v}{c} \frac{2\pi r \sin(\theta)}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}. \eqno(8) $$

Вот один из вариантов "размещения" (ось-$z$ не изображена, по вертикальной оси $t$):

epros в сообщении #998957 писал(а):

Ёлы-палы, SergeyGubanov, раз Вы упорно не желаете понимать того, что гиперповерхность по определению является подмножеством четырёхмерия

С чего это вдруг Вы пишите про меня подобный бред?

epros в сообщении #998957 писал(а):

то вот Вам вопрос попроще: Переменные $r$, $\varphi$ и т.д., которые задают координатную карту в Вашем трёхмерии, они откуда взялись? Разве это не те же самые координаты, которые были заданы в четырёхмерии?

Когда трёхмерное пространство рассматривается само по себе, тогда координаты $r, \theta, \psi$ не имеют отношения к своим "четырёхмерным прародителям". Логично было бы их даже обозначить по-другому, например, $\xi, \chi, \eta$.

[epros]

SergeyGubanov в сообщении #998990 писал(а):

Похоже Вы так и не поняли, что трёхмерное пространство вращающейся системы отсчёта не является трёхмерной гиперповерхностью в пространстве Минковского.

Это Вы так и не поняли, что геодезисты с линейками, которые определяют метрику этого самого "трёхмерного пространства вращающейся СО", находятся в том самом четырёхмерии Минковского. Хотите Вы этого или нет.

И по причине оного непонимания Вы продолжаете нести вот этот удивительный бред:

SergeyGubanov в сообщении #998990 писал(а):

Трёхмерное пространство вращающейся системы отсчёта "размещается" в пространстве Минковского в виде "фарша" пространственно подобных двумерных гиперповерхностей (каждая отдельно взятая двумерная гиперповерхность представляет собой произведение окружности на ось-$z$):

Кстати, то что Вы попытались нарисовать, даже двумерными поверхностями не является, что нетрудно понять, если включить мозг.

SergeyGubanov в сообщении #998990 писал(а):

epros в сообщении #998957 писал(а):

Ёлы-палы, SergeyGubanov, раз Вы упорно не желаете понимать того, что гиперповерхность по определению является подмножеством четырёхмерия

С чего это вдруг Вы пишите про меня подобный бред?

Да с того, что Вы неоднократно заявляли, что гиперповерхность существует и в качестве её определения приводили нерешаемое УЧП. А на мои просьбы привести определение подмножества четырёхмерия (например, в форме $f(t, x, y, z) = 0$) Вы отвечали, что таким "примитивным" образом "неголономная" гиперповерхность не определяется.

SergeyGubanov в сообщении #998990 писал(а):

Когда трёхмерное пространство рассматривается само по себе, тогда координаты $r, \theta, \psi$ не имеют отношения к своим "четырёхмерным прародителям". Логично было бы их даже обозначить по-другому, например, $\xi, \chi, \eta$.

Мне просто любопытно, до какой степени демагогии Вы можете дойти в попытках защиты заявленного бреда? Как Вы ни переобозначайте их, а это будут те самые привязанные к карусели пространственные координаты, в которых Вы и "выводили" формулу пространственной метрики.

[SergeyGubanov]

epros в сообщении #999026 писал(а):

SergeyGubanov в сообщении #998990 писал(а):

Похоже Вы так и не поняли, что трёхмерное пространство вращающейся системы отсчёта не является трёхмерной гиперповерхностью в пространстве Минковского.

Это Вы так и не поняли, что геодезисты с линейками, которые определяют метрику этого самого "трёхмерного пространства вращающейся СО", находятся в том самом четырёхмерии Минковского. Хотите Вы этого или нет.

Одно другому не мешает. Геодезисты живут в пространстве Минковского. Карусель тоже размещена в пространстве Минковского. А вот трёхмерная геометрия вращающейся системы отсчёта соответствует такому трёхмерному пространству, которое не может быть вложено в пространство Минковского. Такое ощущение, что у Вас от этого факта происходит что-то вроде взрыва мозга .

epros в сообщении #999026 писал(а):

Кстати, то что Вы попытались нарисовать, даже двумерными поверхностями не является, что нетрудно понять, если включить мозг.

Ось-$z$ на рисунке не показана. Каждая синяя линия обозначает не просто дугу окружности, а произведение дуги окружности на ось-$z$. Таким образом на рисунке синие линии обозначают двумерные поверхности в пространстве Минковского.

epros в сообщении #999026 писал(а):

SergeyGubanov в сообщении #998990 писал(а):

epros в сообщении #998957 писал(а):

Ёлы-палы, SergeyGubanov, раз Вы упорно не желаете понимать того, что гиперповерхность по определению является подмножеством четырёхмерия

С чего это вдруг Вы пишите про меня подобный бред?

Да с того, что Вы неоднократно заявляли, что гиперповерхность существует и в качестве её определения приводили нерешаемое УЧП. А на мои просьбы привести определение подмножества четырёхмерия (например, в форме $f(t, x, y, z) = 0$) Вы отвечали, что таким "примитивным" образом "неголономная" гиперповерхность не определяется.

Ну что же, поздравляю, в нашем с Вами споре Вы в конце-концов прибегли к такому приёму как прямая ложь. Все ходы записаны. Не отмоетесь.

epros в сообщении #999026 писал(а):

SergeyGubanov в сообщении #998990 писал(а):

Когда трёхмерное пространство рассматривается само по себе, тогда координаты $r, \theta, \psi$ не имеют отношения к своим "четырёхмерным прародителям". Логично было бы их даже обозначить по-другому, например, $\xi, \chi, \eta$.

Мне просто любопытно, до какой степени демагогии Вы можете дойти в попытках защиты заявленного бреда? Как Вы ни переобозначайте их, а это будут те самые привязанные к карусели пространственные координаты, в которых Вы и "выводили" формулу пространственной метрики.

Вот здесь координаты $t, r, \theta, \psi$ принадлежат четырёхмерному пространству Минковского:

$$ \begin{cases} \frac{c \, dt - \frac{\omega}{c} \, r^2 \sin(\theta)^2 \, (d\psi + \omega dt) }{\sqrt{1-\frac{\omega^2 r^2 \sin(\theta)^2}{c^2}}} = 0, \\ d\ell^2 = dr^2 + r^2 d\theta^2 + \frac{ r^2 \sin(\theta)^2 \, d\psi^2 }{1-\frac{\omega^2 r^2 \sin(\theta)^2}{c^2}}. \end{cases} $$

А вот здесь координаты $r, \theta, \psi$ принадлежат совершенно другому пространству - трёхмерному, которое не имеет к пространству Минковского ни какого отношения, даже не может быть гиперповерхностью в нём:

$$ d\ell^2 = dr^2 + r^2 d\theta^2 + \frac{ r^2 \sin(\theta)^2 \, d\psi^2 }{1-\frac{\omega^2 r^2 \sin(\theta)^2}{c^2}}. $$

[A-u-uuu]

Всплакнулось
Вспомнилось:

Утундрий в сообщении #504980 писал(а):

Как раз собираюсь их допустить.

Мне показалось (показалось), что роли в той теме были распределены несколько иначе.
Теперь, роль epros (или Утундрий, я запутался), почему-то, стал играть SergeyGubanov, а роль Munin или Someone, почему-то, epros

[epros]

SergeyGubanov в сообщении #999283 писал(а):

Одно другому не мешает. Геодезисты живут в пространстве Минковского. Карусель тоже размещена в пространстве Минковского. А вот трёхмерная геометрия вращающейся системы отсчёта соответствует такому трёхмерному пространству, которое не может быть вложено в пространство Минковского. Такое ощущение, что у Вас от этого факта происходит что-то вроде взрыва мозга .

От этого у меня не происходит никакого взрыва, к тому же это не факт, а неуместная интерпретация. Факт заключается в том, что локальное измерение расстояния является событием, которое обозначается точкой пространства Минковского. И когда мы хотим говорить о геометрии пространственного трёхмерия, то в каждой его точке должны быть выполнены соответствующие измерения расстояний. Именно поэтому каждой точке трёхмерия должна сопоставляться точка четырёхмерия, где (и когда) это измерение выполнено. А множество всех таких точек составляет гиперповерхность.

На этом факты заканчиваются и начинаются интерпретации. Например, интерпретация того, является ли это трёхмерие "вложением" в четырёхмерие. И с точки зрения формального определения вложения -- конечно не является, потому что метрика трёхмерия (см. формулу выше) это не то же самое, что метрика четырёхмерия. Но с точки зрения событий измерений -- трёхмерие является подмножеством четырёхмерия. На нём всего лишь метрика определяется иначе.

SergeyGubanov в сообщении #999283 писал(а):

Ось-$z$ на рисунке не показана. Каждая синяя линия обозначает не просто дугу окружности, а произведение дуги окружности на ось-$z$. Таким образом на рисунке синие линии обозначают двумерные поверхности в пространстве Минковского.

У Вас на рисунке синие линии красиво сложились в винтовую двумерную поверхность. Однако никакой такой поверхности (ортогональной мировым линиям точек карусели) на самом деле не существует.

SergeyGubanov в сообщении #999283 писал(а):

Ну что же, поздравляю, в нашем с Вами споре Вы в конце-концов прибегли к такому приёму как прямая ложь. Все ходы записаны. Не отмоетесь.

Я мог бы найти и привести в подтверждение соответствующие цитаты. Однако не считаю нужным оправдываться перед явным демагогом. Так что пусть Ваше обвинение меня во лжи останется на Вашей совести.

SergeyGubanov в сообщении #999283 писал(а):

А вот здесь координаты $r, \theta, \psi$ принадлежат совершенно другому пространству - трёхмерному, которое не имеет к пространству Минковского ни какого отношения

Отношение здесь самое прямое: Каждая точка этого трёхмерия должна соответствовать мировой линии четырёхмерия с теми же значениями тех же пространственых координат -- просто в силу способа вывода этой формулы метрики.

-- Чт апр 02, 2015 15:33:22 --

A-u-uuu, неголономные базисы -- это совсем не то, о чём здесь спор.

[schekn]

epros в сообщении #998803 писал(а):

epros в сообщении #992582

писал(а):
в локальном смысле расстояния остаются определимыми именно в смысле той процедуры, о которой пишут ЛЛ (радаром). А это значит, что для заданной пространственно-подобной гиперповерхности можно опредилить расстояния, т.е. пространственную геометрию. Она выражается метрикой:

$\gamma_{\alpha \beta} = -g_{\alpha \beta} + \frac{g_{\alpha 0} g_{0 \beta}}{g_{00}}$

которую часто можно встретить в литературе. Гиперповерхность в случае, рассмотренном в параграфе 89 ЛЛ, можно проводить любым образом, указанная метрика от этого не зависит.

Ну об ней и ведется речь. Если ее распишите , получите то, что и в ЛЛ-2 пар 89 (здесь то формула - (4)), где они определяют длину окружности . Я просил Вас пояснить, почему "это" является "гиперповерхностью одновременности" ? Вы что не знаете других способов синхронизации часов, расположенных на дуге, кроме описанных в ЛЛ-2? Да и с какой стати способ синхронизации определяет 3-х мерную метрику?
-- 02.04.2015, 23:27 --

epros в сообщении #998803 писал(а):

Определяет. Если считать, что точки тела отсчёта определяются именно пространственными координатами.

Пространственные координаты могут быть любыми. Это просто числа. А тело отсчета по хорошему надо определять через ортонормированный репер.

-- 02.04.2015, 23:29 --

Цитата:

epros в сообщении #998803 писал(а):

Я говорил о скорости сигнала. Именно это обстоятельство позволяет интерпретировать эффект Саньяка в СО , связанной с вращающимся диском. Ваше мнение противоречит эксперименту. У Арифова об этом указано.

Это неверно. Просто при несинхронном координатном времени при переходе от мгновенной скорости к средней нужно учитывать поправку на синхронизацию.

В статье Герштейна-Логунова именно объясняется данный эффект через анизотропность скорости света. Могу дать ссылку.

[KVV]

epros
Вы же понимаете, что вам придется идти до конца, до Победы? : )

[schekn]

(Оффтоп)

До 9 мая еще далеко.

[epros]

schekn в сообщении #999527 писал(а):

Я просил Вас пояснить, почему "это" является "гиперповерхностью одновременности"?

epros в сообщении #998803 писал(а):

Гиперповерхность в случае, рассмотренном в параграфе 89 ЛЛ, можно проводить любым образом, указанная метрика от этого не зависит.

schekn в сообщении #999527 писал(а):

Вы что не знаете других способов синхронизации часов, расположенных на дуге, кроме описанных в ЛЛ-2?

Любые способы синхронизации легитимны.

schekn в сообщении #999527 писал(а):

Да и с какой стати способ синхронизации определяет 3-х мерную метрику?

Пространственную метрику (см. формулу) определяет не синхронизация, а способ измерения расстояний (радаром)

schekn в сообщении #999527 писал(а):

А тело отсчета по хорошему надо определять через ортонормированный репер.

epros в сообщении #998803 писал(а):

Если считать, что точки тела отсчёта определяются именно пространственными координатами.

schekn в сообщении #999527 писал(а):

В статье Герштейна-Логунова именно объясняется данный эффект через анизотропность скорости света. Могу дать ссылку.

epros в сообщении #998203 писал(а):

Если использовать правильные определения.

[SergeyGubanov]

Извините, что долго не отвечал. На работе программа падала (порча памяти), было не до форума . За это время накопилось несколько интересных вещей о которых я сейчас расскажу.

Во-первых, думаю мне надо бы прокомментировать часто упоминаемую формулу из ЛЛ2:

$$ \gamma_{i j} = - g_{i j} + \frac{g_{0 i} \, g_{0 j}}{g_{00}} \eqno(1) $$

Такой трёхмерной метрикой обладает трёхмерное пространство системы отсчёта движущейся с четырёхскоростью

$$ e^{(0)}_{\mu} = \frac{g_{0 \mu}}{ \sqrt{g_{00}}} \qquad \text{или в контравариантной записи:} \qquad e^{\mu}_{(0)} = \frac{g^{0 \mu}}{ \sqrt{g^{00}}}. \eqno(2) $$

Во-вторых, я научился находить триадные компоненты трёхмерного тензора кривизны трёхмерного пространства произвольной системы отсчёта не зная трёхмерных координат. Зная трёхмерные координаты любой дурак сможет, а вот попробуйте не зная . Дело в следующем. Вот у нас есть, значит, четырёхмерное пространство событий, в нём четырёхмерная система координат $x^{\mu}$. Произвольно берём какую-то систему отсчёта $e^{(a)} = e^{(a)}_{\mu} \; dx^{\mu}$. Для этой системы отсчёта в бесконечно малой окрестности каждой четырёхточки $x^{\mu}$ (там где эта система отсчёта определена) определён и бесконечно малый кусочек трёхмерного пространства одновременности с триадой ${\mathcal E}^{(1)}, {\mathcal E}^{(2)}, {\mathcal E}^{(3)}$ такой что:

$$ \begin{cases} e^{(0)} = 0, \\ {\mathcal E}^{(1)} = e^{(1)}, \quad {\mathcal E}^{(2)} = e^{(2)}, \quad {\mathcal E}^{(3)} = e^{(3)}. \eqno(3) \end{cases} $$

Уравнение $e^{(0)}_{\mu} dx^{\mu} = 0$ говорит, что в бесконечно малой окрестности точки $x^{\mu}$ на трёхмерном пространстве одновременности линейно независимыми являются три из четырёх дифференциалов $dx^{\mu}$. То есть триада трёхмерного пространства ${\mathcal E}^{(1)}, {\mathcal E}^{(2)}, {\mathcal E}^{(3)}$ в окрестности каждой четырёхточки $x^{\mu}$ определена на линейной комбинации трёх линейно независимых дифференциалов, как и положено для трёхмерного пространства. И тут не важно что сами-по-себе трёхмерные координаты $y^i$ нам не известны, мы можем работать с компонентами триады как с функциями от четырёхмерных координат $x^{\mu}$ и этого будет достаточно для всех случаев жизни. Например, мы можем найти триадные компоненты трёхмерного тензора кривизны как функции $x^{\mu}$.

Для четырёхмерной тетрадной связности ${\omega^{(a)}}_{(b)}$ и для четырёхмерной кривизны ${R^{(a)}}_{(b)}$ по определению имеем:

$$ d e^{(a)} + {\omega^{(a)}}_{(b)} \wedge e^{(b)} = 0, \qquad {\omega^{(a)}}_{(b)} = {\omega^{(a)}}_{(b)(c)} \; e^{(c)} \eqno(4) $$

$$ {R^{(a)}}_{(b)} = d {\omega^{(a)}}_{(b)} + {\omega^{(a)}}_{(c)} \wedge {\omega^{(c)}}_{(b)}, \qquad {R^{(a)}}_{(b)} = \frac{1}{2} {R^{(a)}}_{(b)(c)(d)} \; e^{(c)} \wedge e^{(d)}. \eqno(5) $$

Аналогично для трёхмерной триадной связности ${{\Omega}^{(i)}}_{(j)}$ и для трёхмерной кривизны ${{\mathcal R}^{(i)}}_{(j)}$ по определению имеем:

$$ d {\mathcal E}^{(i)} + {{\Omega}^{(i)}}_{(j)} \wedge {\mathcal E}^{(j)} = 0, \qquad {{\Omega}^{(i)}}_{(j)} = {\Omega^{(i)}}_{(j)(k)} \; {\mathcal E}^{(k)}. \eqno(6) $$

$$ {{\mathcal R}^{(i)}}_{(j)} = d {\Omega^{(i)}}_{(j)} + {\Omega^{(i)}}_{(k)} \wedge {\Omega^{(k)}}_{(j)}, \qquad {{\mathcal R}^{(i)}}_{(j)} = \frac{1}{2} {{\mathcal R}^{(i)}}_{(j)(k)(l)} \; {\mathcal E}^{(k)} \wedge {\mathcal E}^{(l)}. \eqno(7) $$

Исходя из этих определений, а так же из связи ${\mathcal E}^{(i)} = e^{(i)}|_{e^{(0)}=0}$ легко получить следующую формулу:

$$ {R^{(i)}}_{(j)(k)(l)} - {{\mathcal R}^{(i)}}_{(j)(k)(l)} = {\omega^{(i)}}_{(j)(0)} \left( {\omega^{(0)}}_{(k)(l)} - {\omega^{(0)}}_{(l)(k)} \right) + {\omega^{(i)}}_{(0)(k)} {\omega^{(0)}}_{(j)(l)} - {\omega^{(i)}}_{(0)(l)} {\omega^{(0)}}_{(j)(k)}. \eqno(8) $$

По этой формуле триадные компоненты трёхмерного тензора кривизны ${{\mathcal R}^{(i)}}_{(j)(k)(l)}$ выражаются через пространственные тетрадные компоненты четырёхмернго тензора кривизны ${R^{(i)}}_{(j)(k)(l)}$ и через пространственные $(0)$-компоненты тетрадной связности.

Давайте применим эту технику для задачи о неравномерно вращающейся карусели $v = r \, \omega(t)$.

Метрика в цилиндрических координатах:

$$ ds^2 = c^2 dt^2 - dr^2 - r^2 d\varphi^2 - dz^2. \eqno(9) $$

Покоящаяся система отсчёта:

$$ \bar{e}^{(0)} = c \, dt, \quad \bar{e}^{(1)} = dr, \quad \bar{e}^{(2)} = r \, d\varphi, \quad \bar{e}^{(3)} = dz. \eqno(10) $$

Неравномерно вращающаяся система отсчёта получается Лоренцевским бустом в плоскости $\bar{e}^{(0)} \wedge \bar{e}^{(2)}$:

$$ e^{(0)} = \frac{c \, dt - \frac{r^2 \omega(t)}{c} d\varphi}{\sqrt{1 - \frac{r^2 \omega(t)^2}{c^2}}} \quad e^{(1)} = dr, \quad e^{(2)} = \frac{r \left( d\varphi - \omega(t) dt \right)}{\sqrt{1 - \frac{r^2 \omega(t)^2}{c^2}}} \quad e^{(3)} = dz. \eqno(11) $$

Отличные от нуля компоненты тетрадной связности:

$$ {\omega^{(0)}}_{(1)(2)} = - \frac{1}{c} \frac{\omega(t)}{ 1 - \frac{r^2 \omega(t)^2}{c^2} }, \quad {\omega^{(0)}}_{(1)(0)} = - \frac{1}{c^2} \frac{r \omega(t)^2}{ 1 - \frac{r^2 \omega(t)^2}{c^2} }, \quad {\omega^{(1)}}_{(2)(2)} = - \frac{1}{r} \frac{1}{ 1 - \frac{r^2 \omega(t)^2}{c^2} }, $$

$$ {\omega^{(0)}}_{(2)(2)} = \frac{1}{c^3} \frac{ r^2 \omega(t) \dot{\omega}(t)}{ \left( 1 - \frac{r^2 \omega(t)^2}{c^2} \right)^{3/2} }, \quad {\omega^{(0)}}_{(2)(0)} = \frac{1}{c^2} \frac{ r \dot{\omega}(t)}{ \left( 1 - \frac{r^2 \omega(t)^2}{c^2} \right)^{3/2} }. \eqno(12) $$

$$ {\omega^{(1)}}_{(0)} = {\omega^{(0)}}_{(1)}, \quad {\omega^{(2)}}_{(0)} = {\omega^{(0)}}_{(2)}, \quad {\omega^{(2)}}_{(1)} = -{\omega^{(1)}}_{(2)}. \eqno(13) $$

Вычисленный по этой связности четырёхмерный тензор кривизны равен нулю как и должно быть для пространства Минковского.

Далее двумя разными способами вычисляем триадные компоненты трёхмерного тензора кривизны (по определению (7)) и как правая часть полученной мной формулы (8). Результаты независимых вычислений торжественно совпадают, для отличных от нуля компонент получаем:

$$ {{\mathcal R}^{(1)}}_{(2)(1)(2)} = - 3 \left( {\omega^{(0)}}_{(1)(2)} \right)^2 = - \frac{3 \omega(t)^2 }{ c^2 \left( 1 - \frac{r^2 \omega(t)^2}{c^2} \right)^2 } \eqno(14) $$

(остальные компоненты получаются перестановкой индексов с учётом антисимметрии тензора кривизны). Но именно таким тензором кривизны обладает трёхмерное пространство с метрикой:

$$ d \ell^2 = dr^2 + \frac{r^2 d \psi^2}{1 - \frac{r^2 \omega(t)^2}{c^2} } + dz^2. \eqno(15) $$

Метрике (15) неравномерность вращения $\omega(t) \ne \operatorname{const}$ глубоко безразлична.

epros в сообщении #999320 писал(а):

SergeyGubanov в сообщении #999283 писал(а):

Одно другому не мешает. Геодезисты живут в пространстве Минковского. Карусель тоже размещена в пространстве Минковского. А вот трёхмерная геометрия вращающейся системы отсчёта соответствует такому трёхмерному пространству, которое не может быть вложено в пространство Минковского. Такое ощущение, что у Вас от этого факта происходит что-то вроде взрыва мозга .

От этого у меня не происходит никакого взрыва, к тому же это не факт, а неуместная интерпретация. Факт заключается в том, что локальное измерение расстояния является событием, которое обозначается точкой пространства Минковского. И когда мы хотим говорить о геометрии пространственного трёхмерия, то в каждой его точке должны быть выполнены соответствующие измерения расстояний. Именно поэтому каждой точке трёхмерия должна сопоставляться точка четырёхмерия, где (и когда) это измерение выполнено. А множество всех таких точек составляет гиперповерхность.

На этом факты заканчиваются и начинаются интерпретации. Например, интерпретация того, является ли это трёхмерие "вложением" в четырёхмерие. И с точки зрения формального определения вложения -- конечно не является, потому что метрика трёхмерия (см. формулу выше) это не то же самое, что метрика четырёхмерия. Но с точки зрения событий измерений -- трёхмерие является подмножеством четырёхмерия. На нём всего лишь метрика определяется иначе.

Обозначим четырёхмерные координаты $x^{\mu}$, а трёхмерные координаты $y^{i}$. В общем случае размещение точек трёхмерного пространства в четырёхмерном пространстве не является вложением, то есть не существует дифференцируемых функций $x^{\mu} = f^{\mu}(y^i)$. Точки идут "россыпью, гроздьями, фаршем". Однако пространственно подобные линии $x^{\mu}(\ell)$ и $y^i(\ell)$ в четырёхмерном и в трёхмерном пространствах друг другу соответствуют взаимно однозначно.

epros в сообщении #999320 писал(а):

SergeyGubanov в сообщении #999283 писал(а):

Ось-$z$ на рисунке не показана. Каждая синяя линия обозначает не просто дугу окружности, а произведение дуги окружности на ось-$z$. Таким образом на рисунке синие линии обозначают двумерные поверхности в пространстве Минковского.

У Вас на рисунке синие линии красиво сложились в винтовую двумерную поверхность. Однако никакой такой поверхности (ортогональной мировым линиям точек карусели) на самом деле не существует.

Конечно не существует. Синие линии друг от друга строго изолированы. Там ж формулы перед рисунком написаны. То есть Вам, значит, вдруг привиделось, что синие линии как будто бы сложились в поверхность и Вы обвинили меня в том, что я якобы нарисовал поверхность, которой нет. Ну, обознались Вы малость.

epros в сообщении #999320 писал(а):

SergeyGubanov в сообщении #999283 писал(а):

Ну что же, поздравляю, в нашем с Вами споре Вы в конце-концов прибегли к такому приёму как прямая ложь. Все ходы записаны. Не отмоетесь.

Я мог бы найти и привести в подтверждение соответствующие цитаты. Однако не считаю нужным оправдываться перед явным демагогом. Так что пусть Ваше обвинение меня во лжи останется на Вашей совести.

Вам был предоставлен шанс не удариться в грязь лицом, Вы им не воспользовались

epros в сообщении #999320 писал(а):

SergeyGubanov в сообщении #999283 писал(а):

А вот здесь координаты $r, \theta, \psi$ принадлежат совершенно другому пространству - трёхмерному, которое не имеет к пространству Минковского ни какого отношения

Отношение здесь самое прямое: Каждая точка этого трёхмерия должна соответствовать мировой линии четырёхмерия с теми же значениями тех же пространственых координат -- просто в силу способа вывода этой формулы метрики.

Вообще-то не линии, а точке: точка должна соответствовать точке, а дифференцируемых функций $x^{\mu}(y^i)$ в общем случае нету. Так что точка точке соответствует, но "россыпью, гроздьями, фаршем".

[epros]

Шоу продолжается...

SergeyGubanov в сообщении #1002385 писал(а):

Точки идут "россыпью, гроздьями, фаршем".

Где определение подмножества?

SergeyGubanov в сообщении #1002385 писал(а):

Синие линии друг от друга строго изолированы.

Что Вы несёте? Синие линии составляют поверхность, но это не та поверхность, которая является решением Вашего уравнения, т.е. она не ортогональ к мировым линиям частей карусели.

SergeyGubanov в сообщении #1002385 писал(а):

Вообще-то не линии, а точке

Три пространственные координаты определяют мировую линию.

[schekn]

epros в сообщении #999605 писал(а):

Пространственную метрику (см. формулу) определяет не синхронизация, а способ измерения расстояний (радаром)

Я бы тоже хотел прокомментировать со своей колокольни. Если бы Вы сразу сослались на пар. 84 ЛЛ-2 , это сократило бы время на поиски того, что понимается под СО.
Формула , полученная Ландау в пар 84 радарным методом, конечно имеет право на существования.

$$ \gamma_{i j} = - g_{i j} + \frac{g_{0 i} \, g_{0 j}}{g_{00}} \eqno(1) $$

$$dl^2=\gamma_{i j}dx^{i}dx^{j}$$

Как указывается, сигнал посылается между бесконечно близкими точками. Затем находится координатное и истинное время. Умножение истинного времени на $c/2$ и дает согласно ЛЛ-2 пространственную геометрию. Но там такой метод возможен в бесконечно малом объеме. В замкнутом контуре синхронизацию провести во вращающейся СО вообще говоря невозможно, как и провести синхронизацию во всем пространстве жесткого диска. Почему вдруг в пар. 89 возникает решение найти длину окружности причем совсем не радарным методом?

[epros]

schekn в сообщении #1002439 писал(а):

Почему вдруг в пар. 89 возникает решение найти длину окружности причем совсем не радарным методом?

Длина окружности находится по той же формуле метрики, значит радарным методом. Синхронизоция тут ни при чём.

[мат-ламер]

schekn в сообщении #1002439 писал(а):

В замкнутом контуре синхронизацию провести во вращающейся СО вообще говоря невозможно, как и провести синхронизацию во всем пространстве жесткого диска. Почему вдруг в пар. 89 возникает решение найти длину окружности причем совсем не радарным методом?

Дело в том, что синхронизация часов в пар.84 ЛЛ-2 не совпадает с синхронизацией часов в пар.89. Как я пытался показать на странице 4 темы http://dxdy.ru/topic95378-45.html, метрика Ланжевена из пар.89 возникает, если часы на вращающейся окружности синхронизированы из ИСО внешнего пространства Минковского. Что совпадает с синхронизацией часов из центра. Такая синхронизация возможна в глобальном смысле. Из неё следует, что скорость света в разных направлениях в СО вращ. окружности разная. Часы на вращ. окружности синхронно запаздывают относительно часов ИСО внешнего пространства Минковского. Но если на окружности поставить часы, которые идут убыстренно с одинаковым коэффициентом (понятно каким), то тогда все часы, как на окружности, так и на ИСО во внешнем пространстве Минковского идут синхронно. Такая синхронизация важна для практики и используется в системах глобального позиционирования. Жду от вас аргументированной критики, поскольку в цитируемой ветке на меня сильно наехали, но аргументацию я не понял вообще.

[мат-ламер]

мат-ламер в сообщении #1002570 писал(а):

метрика Ланжевена из пар.89 возникает, если часы на вращающейся окружности синхронизированы из ИСО внешнего пространства Минковского.

Я поясню. Смотрим формулы 89.1 и 89.2 из пар. 89 ЛЛ-2. И видим, что в обеих формулах время задаётся одной и той же переменной t. А с чего бы это вдруг? А это как раз и означает, что часы на диске синхронизируются первоначально из внешней неподвижной ИСО. И, кроме того, эта синхронизация остаётся всё время. И как этого достичь? Поместить на диске часы, которые идут быстрее, чем в неподвижной ИСО. Итак, все часы как вращающейся СО, так и на неподвижной ИСО сохраняют свою синхронность.