2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу Пред.  1 ... 8, 9, 10, 11, 12, 13  След.
 
 Re: Диск Эйнштейна
Сообщение01.04.2015, 18:23 
Аватара пользователя


14/11/12
1338
Россия, Нижний Новгород
epros в сообщении #998957 писал(а):
SergeyGubanov в сообщении #998896 писал(а):
Это Вы ни фига не поняли откуда оно берётся, сейчас мы на десятой странице, а решение было дано на второй:
Да, да, я вижу, что Вы как на второй странице ничего не понимали, так и до сих пор продлжаете ту же ерунду нести.
:D


epros в сообщении #998957 писал(а):
Нет никакого "трёхмерного простанства, взятого само по себе". Я почему Вам задал задачу про ускоряющееся вращение? Чтобы Вы не пудрили нам мозги пространственной метрикой, которую можно отнести к любому моменту времени (что возможно только в стационарном случае), а чётко указали, к какому моменту времени относится какая пространственная метрика. Иными словами, нужно определить гиперповерхность, находясь на которой множество маленьких геодезистов с маленькими линейками производят измерения, которые в совокупности и составят "пространственную геометрию".

Ладно, ускоренное вращение Вы сочли вычислительно сложным. Тогда для стационарного вращения укажите, к какому именно моменту относится указанная пространственная геометрия, т.е. повторяю вопрос:
"Какое отношение это взятое неизвестно откуда трёхмерное пространство имеет к той гиперповерхности, которая по Вашему утверждению является решением приведённого Вами нерешаемого уравнения"?
Похоже Вы так и не поняли, что трёхмерное пространство вращающейся системы отсчёта не является трёхмерной гиперповерхностью в пространстве Минковского. Трёхмерное пространство вращающейся системы отсчёта "размещается" в пространстве Минковского в виде "фарша" пространственно подобных двумерных гиперповерхностей (каждая отдельно взятая двумерная гиперповерхность представляет собой произведение окружности на ось-$z$):
SergeyGubanov в сообщении #989694 писал(а):
Доведу расчёт до конца для стационарного осесиметричного случая, то есть когда скорость $v(r, \theta)$ не зависит от $t$ и не зависит от $\varphi$.

Из (3) находим окружность проходящую через точку $t=0$, $\varphi=0$:
$$
t(\ell) = \frac{\ell v}{c^2} \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}, \quad
r(\ell) = \operatorname{const}, \quad
\theta(\ell) = \operatorname{const}, \quad
\varphi(\ell) = \frac{\ell}{r \sin(\theta)} \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}. \eqno(6)
$$
Из (5) находим мировую линию проходящую через точку $t=0$, $\varphi=2\pi$:
$$
t(s) = \frac{s}{c} \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}, \quad
r(s) = \operatorname{const}, \quad
\theta(s) = \operatorname{const}, \quad
\varphi(s) = 2\pi + \frac{v s}{c \, r \sin(\theta)} \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}. \eqno(7)
$$Находим точку пересечения линии (6) с линией (7):
$$
\ell = \frac{2\pi r \sin(\theta)}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}, \quad
s = \frac{v}{c}  \frac{2\pi r \sin(\theta)}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}. \eqno(8)
$$
Вот один из вариантов "размещения" (ось-$z$ не изображена, по вертикальной оси $t$):

Изображение



epros в сообщении #998957 писал(а):
Ёлы-палы, SergeyGubanov, раз Вы упорно не желаете понимать того, что гиперповерхность по определению является подмножеством четырёхмерия
С чего это вдруг Вы пишите про меня подобный бред?

epros в сообщении #998957 писал(а):
то вот Вам вопрос попроще: Переменные $r$, $\varphi$ и т.д., которые задают координатную карту в Вашем трёхмерии, они откуда взялись? Разве это не те же самые координаты, которые были заданы в четырёхмерии?
Когда трёхмерное пространство рассматривается само по себе, тогда координаты $r, \theta, \psi$ не имеют отношения к своим "четырёхмерным прародителям". Логично было бы их даже обозначить по-другому, например, $\xi, \chi, \eta$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диск Эйнштейна
Сообщение01.04.2015, 19:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10414
SergeyGubanov в сообщении #998990 писал(а):
Похоже Вы так и не поняли, что трёхмерное пространство вращающейся системы отсчёта не является трёхмерной гиперповерхностью в пространстве Минковского.
Это Вы так и не поняли, что геодезисты с линейками, которые определяют метрику этого самого "трёхмерного пространства вращающейся СО", находятся в том самом четырёхмерии Минковского. Хотите Вы этого или нет.

И по причине оного непонимания Вы продолжаете нести вот этот удивительный бред:
SergeyGubanov в сообщении #998990 писал(а):
Трёхмерное пространство вращающейся системы отсчёта "размещается" в пространстве Минковского в виде "фарша" пространственно подобных двумерных гиперповерхностей (каждая отдельно взятая двумерная гиперповерхность представляет собой произведение окружности на ось-$z$):
Кстати, то что Вы попытались нарисовать, даже двумерными поверхностями не является, что нетрудно понять, если включить мозг.

SergeyGubanov в сообщении #998990 писал(а):
epros в сообщении #998957 писал(а):
Ёлы-палы, SergeyGubanov, раз Вы упорно не желаете понимать того, что гиперповерхность по определению является подмножеством четырёхмерия
С чего это вдруг Вы пишите про меня подобный бред?
Да с того, что Вы неоднократно заявляли, что гиперповерхность существует и в качестве её определения приводили нерешаемое УЧП. А на мои просьбы привести определение подмножества четырёхмерия (например, в форме $f(t, x, y, z) = 0$) Вы отвечали, что таким "примитивным" образом "неголономная" гиперповерхность не определяется. :facepalm:

SergeyGubanov в сообщении #998990 писал(а):
Когда трёхмерное пространство рассматривается само по себе, тогда координаты $r, \theta, \psi$ не имеют отношения к своим "четырёхмерным прародителям". Логично было бы их даже обозначить по-другому, например, $\xi, \chi, \eta$.
Мне просто любопытно, до какой степени демагогии Вы можете дойти в попытках защиты заявленного бреда? Как Вы ни переобозначайте их, а это будут те самые привязанные к карусели пространственные координаты, в которых Вы и "выводили" формулу пространственной метрики.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диск Эйнштейна
Сообщение02.04.2015, 12:01 
Аватара пользователя


14/11/12
1338
Россия, Нижний Новгород
epros в сообщении #999026 писал(а):
SergeyGubanov в сообщении #998990 писал(а):
Похоже Вы так и не поняли, что трёхмерное пространство вращающейся системы отсчёта не является трёхмерной гиперповерхностью в пространстве Минковского.
Это Вы так и не поняли, что геодезисты с линейками, которые определяют метрику этого самого "трёхмерного пространства вращающейся СО", находятся в том самом четырёхмерии Минковского. Хотите Вы этого или нет.
Одно другому не мешает. Геодезисты живут в пространстве Минковского. Карусель тоже размещена в пространстве Минковского. А вот трёхмерная геометрия вращающейся системы отсчёта соответствует такому трёхмерному пространству, которое не может быть вложено в пространство Минковского. Такое ощущение, что у Вас от этого факта происходит что-то вроде взрыва мозга :D.


epros в сообщении #999026 писал(а):
Кстати, то что Вы попытались нарисовать, даже двумерными поверхностями не является, что нетрудно понять, если включить мозг.
Ось-$z$ на рисунке не показана. Каждая синяя линия обозначает не просто дугу окружности, а произведение дуги окружности на ось-$z$. Таким образом на рисунке синие линии обозначают двумерные поверхности в пространстве Минковского.


epros в сообщении #999026 писал(а):
SergeyGubanov в сообщении #998990 писал(а):
epros в сообщении #998957 писал(а):
Ёлы-палы, SergeyGubanov, раз Вы упорно не желаете понимать того, что гиперповерхность по определению является подмножеством четырёхмерия
С чего это вдруг Вы пишите про меня подобный бред?
Да с того, что Вы неоднократно заявляли, что гиперповерхность существует и в качестве её определения приводили нерешаемое УЧП. А на мои просьбы привести определение подмножества четырёхмерия (например, в форме $f(t, x, y, z) = 0$) Вы отвечали, что таким "примитивным" образом "неголономная" гиперповерхность не определяется. :facepalm:
Ну что же, поздравляю, в нашем с Вами споре Вы в конце-концов прибегли к такому приёму как прямая ложь. Все ходы записаны. Не отмоетесь. :mrgreen:


epros в сообщении #999026 писал(а):
SergeyGubanov в сообщении #998990 писал(а):
Когда трёхмерное пространство рассматривается само по себе, тогда координаты $r, \theta, \psi$ не имеют отношения к своим "четырёхмерным прародителям". Логично было бы их даже обозначить по-другому, например, $\xi, \chi, \eta$.
Мне просто любопытно, до какой степени демагогии Вы можете дойти в попытках защиты заявленного бреда? Как Вы ни переобозначайте их, а это будут те самые привязанные к карусели пространственные координаты, в которых Вы и "выводили" формулу пространственной метрики.
Вот здесь координаты $t, r, \theta, \psi$ принадлежат четырёхмерному пространству Минковского:
$$
\begin{cases}
\frac{c \, dt - \frac{\omega}{c} \, r^2 \sin(\theta)^2 \, (d\psi + \omega dt) }{\sqrt{1-\frac{\omega^2 r^2 \sin(\theta)^2}{c^2}}} = 0, \\
d\ell^2 = dr^2 + r^2 d\theta^2 + \frac{ r^2 \sin(\theta)^2 \, d\psi^2 }{1-\frac{\omega^2 r^2 \sin(\theta)^2}{c^2}}.
\end{cases}
$$

А вот здесь координаты $r, \theta, \psi$ принадлежат совершенно другому пространству - трёхмерному, которое не имеет к пространству Минковского ни какого отношения, даже не может быть гиперповерхностью в нём:
$$
d\ell^2 = dr^2 + r^2 d\theta^2 + 
\frac{ r^2 \sin(\theta)^2 \, d\psi^2 }{1-\frac{\omega^2 r^2 \sin(\theta)^2}{c^2}}.
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Диск Эйнштейна
Сообщение02.04.2015, 13:30 


21/10/11
154
Всплакнулось
Вспомнилось:
Утундрий в сообщении #504980 писал(а):
Как раз собираюсь их допустить.

Мне показалось (показалось), что роли в той теме были распределены несколько иначе.
Теперь, роль epros (или Утундрий, я запутался), почему-то, стал играть SergeyGubanov, а роль Munin или Someone, почему-то, epros :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Диск Эйнштейна
Сообщение02.04.2015, 14:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10414
SergeyGubanov в сообщении #999283 писал(а):
Одно другому не мешает. Геодезисты живут в пространстве Минковского. Карусель тоже размещена в пространстве Минковского. А вот трёхмерная геометрия вращающейся системы отсчёта соответствует такому трёхмерному пространству, которое не может быть вложено в пространство Минковского. Такое ощущение, что у Вас от этого факта происходит что-то вроде взрыва мозга :D.
От этого у меня не происходит никакого взрыва, к тому же это не факт, а неуместная интерпретация. Факт заключается в том, что локальное измерение расстояния является событием, которое обозначается точкой пространства Минковского. И когда мы хотим говорить о геометрии пространственного трёхмерия, то в каждой его точке должны быть выполнены соответствующие измерения расстояний. Именно поэтому каждой точке трёхмерия должна сопоставляться точка четырёхмерия, где (и когда) это измерение выполнено. А множество всех таких точек составляет гиперповерхность.

На этом факты заканчиваются и начинаются интерпретации. Например, интерпретация того, является ли это трёхмерие "вложением" в четырёхмерие. И с точки зрения формального определения вложения -- конечно не является, потому что метрика трёхмерия (см. формулу выше) это не то же самое, что метрика четырёхмерия. Но с точки зрения событий измерений -- трёхмерие является подмножеством четырёхмерия. На нём всего лишь метрика определяется иначе.

SergeyGubanov в сообщении #999283 писал(а):
Ось-$z$ на рисунке не показана. Каждая синяя линия обозначает не просто дугу окружности, а произведение дуги окружности на ось-$z$. Таким образом на рисунке синие линии обозначают двумерные поверхности в пространстве Минковского.
У Вас на рисунке синие линии красиво сложились в винтовую двумерную поверхность. Однако никакой такой поверхности (ортогональной мировым линиям точек карусели) на самом деле не существует.

SergeyGubanov в сообщении #999283 писал(а):
Ну что же, поздравляю, в нашем с Вами споре Вы в конце-концов прибегли к такому приёму как прямая ложь. Все ходы записаны. Не отмоетесь. :mrgreen:
Я мог бы найти и привести в подтверждение соответствующие цитаты. Однако не считаю нужным оправдываться перед явным демагогом. Так что пусть Ваше обвинение меня во лжи останется на Вашей совести.

SergeyGubanov в сообщении #999283 писал(а):
А вот здесь координаты $r, \theta, \psi$ принадлежат совершенно другому пространству - трёхмерному, которое не имеет к пространству Минковского ни какого отношения
Отношение здесь самое прямое: Каждая точка этого трёхмерия должна соответствовать мировой линии четырёхмерия с теми же значениями тех же пространственых координат -- просто в силу способа вывода этой формулы метрики.

-- Чт апр 02, 2015 15:33:22 --

A-u-uuu, неголономные базисы -- это совсем не то, о чём здесь спор.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диск Эйнштейна
Сообщение02.04.2015, 23:24 
Аватара пользователя


10/12/11
2416
Москва
epros в сообщении #998803 писал(а):
epros в сообщении #992582

писал(а):
в локальном смысле расстояния остаются определимыми именно в смысле той процедуры, о которой пишут ЛЛ (радаром). А это значит, что для заданной пространственно-подобной гиперповерхности можно опредилить расстояния, т.е. пространственную геометрию. Она выражается метрикой:

$\gamma_{\alpha \beta} = -g_{\alpha \beta} + \frac{g_{\alpha 0} g_{0 \beta}}{g_{00}}$

которую часто можно встретить в литературе. Гиперповерхность в случае, рассмотренном в параграфе 89 ЛЛ, можно проводить любым образом, указанная метрика от этого не зависит.

Ну об ней и ведется речь. Если ее распишите , получите то, что и в ЛЛ-2 пар 89 (здесь то формула - (4)), где они определяют длину окружности . Я просил Вас пояснить, почему "это" является "гиперповерхностью одновременности" ? Вы что не знаете других способов синхронизации часов, расположенных на дуге, кроме описанных в ЛЛ-2? Да и с какой стати способ синхронизации определяет 3-х мерную метрику?
-- 02.04.2015, 23:27 --

epros в сообщении #998803 писал(а):
Определяет. Если считать, что точки тела отсчёта определяются именно пространственными координатами.

Пространственные координаты могут быть любыми. Это просто числа. А тело отсчета по хорошему надо определять через ортонормированный репер.

-- 02.04.2015, 23:29 --

Цитата:
epros в сообщении #998803 писал(а):
Я говорил о скорости сигнала. Именно это обстоятельство позволяет интерпретировать эффект Саньяка в СО , связанной с вращающимся диском. Ваше мнение противоречит эксперименту. У Арифова об этом указано.
Это неверно. Просто при несинхронном координатном времени при переходе от мгновенной скорости к средней нужно учитывать поправку на синхронизацию.

В статье Герштейна-Логунова именно объясняется данный эффект через анизотропность скорости света. Могу дать ссылку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диск Эйнштейна
Сообщение02.04.2015, 23:44 


02/11/11
1310
epros
Вы же понимаете, что вам придется идти до конца, до Победы? : )

 Профиль  
                  
 
 Re: Диск Эйнштейна
Сообщение02.04.2015, 23:46 
Аватара пользователя


10/12/11
2416
Москва

(Оффтоп)

До 9 мая еще далеко.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диск Эйнштейна
Сообщение03.04.2015, 10:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10414
schekn в сообщении #999527 писал(а):
Я просил Вас пояснить, почему "это" является "гиперповерхностью одновременности"?

epros в сообщении #998803 писал(а):
Гиперповерхность в случае, рассмотренном в параграфе 89 ЛЛ, можно проводить любым образом, указанная метрика от этого не зависит.


schekn в сообщении #999527 писал(а):
Вы что не знаете других способов синхронизации часов, расположенных на дуге, кроме описанных в ЛЛ-2?
Любые способы синхронизации легитимны.

schekn в сообщении #999527 писал(а):
Да и с какой стати способ синхронизации определяет 3-х мерную метрику?
Пространственную метрику (см. формулу) определяет не синхронизация, а способ измерения расстояний (радаром)

schekn в сообщении #999527 писал(а):
А тело отсчета по хорошему надо определять через ортонормированный репер.

epros в сообщении #998803 писал(а):
Если считать, что точки тела отсчёта определяются именно пространственными координатами.


schekn в сообщении #999527 писал(а):
В статье Герштейна-Логунова именно объясняется данный эффект через анизотропность скорости света. Могу дать ссылку.

epros в сообщении #998203 писал(а):
Если использовать правильные определения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диск Эйнштейна
Сообщение10.04.2015, 19:51 
Аватара пользователя


14/11/12
1338
Россия, Нижний Новгород
Извините, что долго не отвечал. На работе программа падала (порча памяти), было не до форума :D. За это время накопилось несколько интересных вещей о которых я сейчас расскажу.

Во-первых, думаю мне надо бы прокомментировать часто упоминаемую формулу из ЛЛ2:
$$
\gamma_{i j} = - g_{i j} + \frac{g_{0 i} \, g_{0 j}}{g_{00}} \eqno(1)
$$ Такой трёхмерной метрикой обладает трёхмерное пространство системы отсчёта движущейся с четырёхскоростью
$$
e^{(0)}_{\mu} = \frac{g_{0 \mu}}{ \sqrt{g_{00}}} \qquad \text{или в контравариантной записи:} \qquad
e^{\mu}_{(0)} = \frac{g^{0 \mu}}{ \sqrt{g^{00}}}. \eqno(2)
$$

Во-вторых, я научился находить триадные компоненты трёхмерного тензора кривизны трёхмерного пространства произвольной системы отсчёта не зная трёхмерных координат. Зная трёхмерные координаты любой дурак сможет, а вот попробуйте не зная :D. Дело в следующем. Вот у нас есть, значит, четырёхмерное пространство событий, в нём четырёхмерная система координат $x^{\mu}$. Произвольно берём какую-то систему отсчёта $e^{(a)} = e^{(a)}_{\mu} \; dx^{\mu}$. Для этой системы отсчёта в бесконечно малой окрестности каждой четырёхточки $x^{\mu}$ (там где эта система отсчёта определена) определён и бесконечно малый кусочек трёхмерного пространства одновременности с триадой ${\mathcal E}^{(1)}, {\mathcal E}^{(2)}, {\mathcal E}^{(3)}$ такой что:
$$
\begin{cases}
e^{(0)} = 0, \\
{\mathcal E}^{(1)} = e^{(1)}, \quad 
{\mathcal E}^{(2)} = e^{(2)}, \quad
{\mathcal E}^{(3)} = e^{(3)}.  \eqno(3)
\end{cases}
$$ Уравнение $e^{(0)}_{\mu} dx^{\mu} = 0$ говорит, что в бесконечно малой окрестности точки $x^{\mu}$ на трёхмерном пространстве одновременности линейно независимыми являются три из четырёх дифференциалов $dx^{\mu}$. То есть триада трёхмерного пространства ${\mathcal E}^{(1)}, {\mathcal E}^{(2)}, {\mathcal E}^{(3)}$ в окрестности каждой четырёхточки $x^{\mu}$ определена на линейной комбинации трёх линейно независимых дифференциалов, как и положено для трёхмерного пространства. И тут не важно что сами-по-себе трёхмерные координаты $y^i$ нам не известны, мы можем работать с компонентами триады как с функциями от четырёхмерных координат $x^{\mu}$ и этого будет достаточно для всех случаев жизни. Например, мы можем найти триадные компоненты трёхмерного тензора кривизны как функции $x^{\mu}$.

Для четырёхмерной тетрадной связности ${\omega^{(a)}}_{(b)}$ и для четырёхмерной кривизны ${R^{(a)}}_{(b)}$ по определению имеем:
$$
d e^{(a)} + {\omega^{(a)}}_{(b)} \wedge e^{(b)} = 0,
\qquad
{\omega^{(a)}}_{(b)} = {\omega^{(a)}}_{(b)(c)} \; e^{(c)}  \eqno(4)
$$$$
{R^{(a)}}_{(b)} = d {\omega^{(a)}}_{(b)} + {\omega^{(a)}}_{(c)} \wedge {\omega^{(c)}}_{(b)},
\qquad
{R^{(a)}}_{(b)} = \frac{1}{2} {R^{(a)}}_{(b)(c)(d)} \; e^{(c)} \wedge e^{(d)}.  \eqno(5)
$$
Аналогично для трёхмерной триадной связности ${{\Omega}^{(i)}}_{(j)}$ и для трёхмерной кривизны ${{\mathcal R}^{(i)}}_{(j)}$ по определению имеем:
$$
d {\mathcal E}^{(i)} + {{\Omega}^{(i)}}_{(j)} \wedge {\mathcal E}^{(j)} = 0,
\qquad
{{\Omega}^{(i)}}_{(j)} = {\Omega^{(i)}}_{(j)(k)} \; {\mathcal E}^{(k)}.  \eqno(6)
$$$$
{{\mathcal R}^{(i)}}_{(j)} = d {\Omega^{(i)}}_{(j)} + {\Omega^{(i)}}_{(k)} \wedge {\Omega^{(k)}}_{(j)},
\qquad
{{\mathcal R}^{(i)}}_{(j)} = \frac{1}{2} {{\mathcal R}^{(i)}}_{(j)(k)(l)} \;  {\mathcal E}^{(k)} \wedge  {\mathcal E}^{(l)}.  \eqno(7)
$$
Исходя из этих определений, а так же из связи ${\mathcal E}^{(i)} = e^{(i)}|_{e^{(0)}=0}$ легко получить следующую формулу:
$$
{R^{(i)}}_{(j)(k)(l)} - {{\mathcal R}^{(i)}}_{(j)(k)(l)} =
{\omega^{(i)}}_{(j)(0)} \left( {\omega^{(0)}}_{(k)(l)} - {\omega^{(0)}}_{(l)(k)} \right)
+ {\omega^{(i)}}_{(0)(k)} {\omega^{(0)}}_{(j)(l)}
- {\omega^{(i)}}_{(0)(l)} {\omega^{(0)}}_{(j)(k)}.  \eqno(8)
$$ По этой формуле триадные компоненты трёхмерного тензора кривизны ${{\mathcal R}^{(i)}}_{(j)(k)(l)}$ выражаются через пространственные тетрадные компоненты четырёхмернго тензора кривизны ${R^{(i)}}_{(j)(k)(l)}$ и через пространственные $(0)$-компоненты тетрадной связности.

Давайте применим эту технику для задачи о неравномерно вращающейся карусели $v = r \, \omega(t)$.

Метрика в цилиндрических координатах:
$$
ds^2 = c^2 dt^2 - dr^2 - r^2 d\varphi^2 - dz^2.  \eqno(9) 
$$
Покоящаяся система отсчёта:
$$
\bar{e}^{(0)} = c \, dt, \quad
\bar{e}^{(1)} = dr, \quad
\bar{e}^{(2)} = r \, d\varphi, \quad
\bar{e}^{(3)} = dz.  \eqno(10)
$$
Неравномерно вращающаяся система отсчёта получается Лоренцевским бустом в плоскости $\bar{e}^{(0)} \wedge \bar{e}^{(2)}$:
$$
e^{(0)} = \frac{c \, dt - \frac{r^2 \omega(t)}{c} d\varphi}{\sqrt{1 - \frac{r^2 \omega(t)^2}{c^2}}} \quad
e^{(1)} = dr, \quad
e^{(2)} = \frac{r \left( d\varphi - \omega(t) dt \right)}{\sqrt{1 - \frac{r^2 \omega(t)^2}{c^2}}} \quad
e^{(3)} = dz.  \eqno(11)
$$
Отличные от нуля компоненты тетрадной связности:
$$
{\omega^{(0)}}_{(1)(2)} = - \frac{1}{c} \frac{\omega(t)}{ 1 - \frac{r^2 \omega(t)^2}{c^2} }, \quad
{\omega^{(0)}}_{(1)(0)} = - \frac{1}{c^2}  \frac{r \omega(t)^2}{ 1 - \frac{r^2 \omega(t)^2}{c^2} }, \quad
{\omega^{(1)}}_{(2)(2)} = - \frac{1}{r}  \frac{1}{ 1 - \frac{r^2 \omega(t)^2}{c^2} },
$$
$$
{\omega^{(0)}}_{(2)(2)} = \frac{1}{c^3} \frac{ r^2 \omega(t) \dot{\omega}(t)}{   \left( 1 - \frac{r^2 \omega(t)^2}{c^2} \right)^{3/2}  }, \quad
{\omega^{(0)}}_{(2)(0)} = \frac{1}{c^2} \frac{ r  \dot{\omega}(t)}{   \left( 1 - \frac{r^2 \omega(t)^2}{c^2} \right)^{3/2}  }. \eqno(12)
$$
$$
{\omega^{(1)}}_{(0)} = {\omega^{(0)}}_{(1)}, \quad
{\omega^{(2)}}_{(0)} = {\omega^{(0)}}_{(2)}, \quad
{\omega^{(2)}}_{(1)} = -{\omega^{(1)}}_{(2)}. \eqno(13)
$$
Вычисленный по этой связности четырёхмерный тензор кривизны равен нулю как и должно быть для пространства Минковского.

Далее двумя разными способами вычисляем триадные компоненты трёхмерного тензора кривизны (по определению (7)) и как правая часть полученной мной формулы (8). Результаты независимых вычислений торжественно совпадают, для отличных от нуля компонент получаем:
$$
{{\mathcal R}^{(1)}}_{(2)(1)(2)} = - 3 \left(  {\omega^{(0)}}_{(1)(2)} \right)^2 = 
- \frac{3 \omega(t)^2 }{ c^2 \left( 1 - \frac{r^2 \omega(t)^2}{c^2} \right)^2 } \eqno(14)
$$ (остальные компоненты получаются перестановкой индексов с учётом антисимметрии тензора кривизны). Но именно таким тензором кривизны обладает трёхмерное пространство с метрикой:
$$
d \ell^2 = dr^2 + \frac{r^2 d \psi^2}{1 - \frac{r^2 \omega(t)^2}{c^2} } + dz^2. \eqno(15)
$$
Метрике (15) неравномерность вращения $\omega(t) \ne \operatorname{const}$ глубоко безразлична.



epros в сообщении #999320 писал(а):
SergeyGubanov в сообщении #999283 писал(а):
Одно другому не мешает. Геодезисты живут в пространстве Минковского. Карусель тоже размещена в пространстве Минковского. А вот трёхмерная геометрия вращающейся системы отсчёта соответствует такому трёхмерному пространству, которое не может быть вложено в пространство Минковского. Такое ощущение, что у Вас от этого факта происходит что-то вроде взрыва мозга :D.
От этого у меня не происходит никакого взрыва, к тому же это не факт, а неуместная интерпретация. Факт заключается в том, что локальное измерение расстояния является событием, которое обозначается точкой пространства Минковского. И когда мы хотим говорить о геометрии пространственного трёхмерия, то в каждой его точке должны быть выполнены соответствующие измерения расстояний. Именно поэтому каждой точке трёхмерия должна сопоставляться точка четырёхмерия, где (и когда) это измерение выполнено. А множество всех таких точек составляет гиперповерхность.

На этом факты заканчиваются и начинаются интерпретации. Например, интерпретация того, является ли это трёхмерие "вложением" в четырёхмерие. И с точки зрения формального определения вложения -- конечно не является, потому что метрика трёхмерия (см. формулу выше) это не то же самое, что метрика четырёхмерия. Но с точки зрения событий измерений -- трёхмерие является подмножеством четырёхмерия. На нём всего лишь метрика определяется иначе.
Обозначим четырёхмерные координаты $x^{\mu}$, а трёхмерные координаты $y^{i}$. В общем случае размещение точек трёхмерного пространства в четырёхмерном пространстве не является вложением, то есть не существует дифференцируемых функций $x^{\mu} = f^{\mu}(y^i)$. Точки идут "россыпью, гроздьями, фаршем". Однако пространственно подобные линии $x^{\mu}(\ell)$ и $y^i(\ell)$ в четырёхмерном и в трёхмерном пространствах друг другу соответствуют взаимно однозначно.


epros в сообщении #999320 писал(а):
SergeyGubanov в сообщении #999283 писал(а):
Ось-$z$ на рисунке не показана. Каждая синяя линия обозначает не просто дугу окружности, а произведение дуги окружности на ось-$z$. Таким образом на рисунке синие линии обозначают двумерные поверхности в пространстве Минковского.
У Вас на рисунке синие линии красиво сложились в винтовую двумерную поверхность. Однако никакой такой поверхности (ортогональной мировым линиям точек карусели) на самом деле не существует.
Конечно не существует. Синие линии друг от друга строго изолированы. Там ж формулы перед рисунком написаны. То есть Вам, значит, вдруг привиделось, что синие линии как будто бы сложились в поверхность и Вы обвинили меня в том, что я якобы нарисовал поверхность, которой нет. Ну, обознались Вы малость.

epros в сообщении #999320 писал(а):
SergeyGubanov в сообщении #999283 писал(а):
Ну что же, поздравляю, в нашем с Вами споре Вы в конце-концов прибегли к такому приёму как прямая ложь. Все ходы записаны. Не отмоетесь. :mrgreen:
Я мог бы найти и привести в подтверждение соответствующие цитаты. Однако не считаю нужным оправдываться перед явным демагогом. Так что пусть Ваше обвинение меня во лжи останется на Вашей совести.
Вам был предоставлен шанс не удариться в грязь лицом, Вы им не воспользовались :mrgreen: :mrgreen: :mrgreen:

epros в сообщении #999320 писал(а):
SergeyGubanov в сообщении #999283 писал(а):
А вот здесь координаты $r, \theta, \psi$ принадлежат совершенно другому пространству - трёхмерному, которое не имеет к пространству Минковского ни какого отношения
Отношение здесь самое прямое: Каждая точка этого трёхмерия должна соответствовать мировой линии четырёхмерия с теми же значениями тех же пространственых координат -- просто в силу способа вывода этой формулы метрики.
Вообще-то не линии, а точке: точка должна соответствовать точке, а дифференцируемых функций $x^{\mu}(y^i)$ в общем случае нету. Так что точка точке соответствует, но "россыпью, гроздьями, фаршем".

 Профиль  
                  
 
 Re: Диск Эйнштейна
Сообщение10.04.2015, 22:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10414
Шоу продолжается...

SergeyGubanov в сообщении #1002385 писал(а):
Точки идут "россыпью, гроздьями, фаршем".
Где определение подмножества?

SergeyGubanov в сообщении #1002385 писал(а):
Синие линии друг от друга строго изолированы.
Что Вы несёте? Синие линии составляют поверхность, но это не та поверхность, которая является решением Вашего уравнения, т.е. она не ортогональ к мировым линиям частей карусели.

SergeyGubanov в сообщении #1002385 писал(а):
Вообще-то не линии, а точке
Три пространственные координаты определяют мировую линию.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диск Эйнштейна
Сообщение10.04.2015, 22:24 
Аватара пользователя


10/12/11
2416
Москва
epros в сообщении #999605 писал(а):
Пространственную метрику (см. формулу) определяет не синхронизация, а способ измерения расстояний (радаром)

Я бы тоже хотел прокомментировать со своей колокольни. Если бы Вы сразу сослались на пар. 84 ЛЛ-2 , это сократило бы время на поиски того, что понимается под СО.
Формула , полученная Ландау в пар 84 радарным методом, конечно имеет право на существования.
$$
\gamma_{i j} = - g_{i j} + \frac{g_{0 i} \, g_{0 j}}{g_{00}} \eqno(1)
$$
$$dl^2=\gamma_{i j}dx^{i}dx^{j}$$
Как указывается, сигнал посылается между бесконечно близкими точками. Затем находится координатное и истинное время. Умножение истинного времени на $c/2$ и дает согласно ЛЛ-2 пространственную геометрию. Но там такой метод возможен в бесконечно малом объеме. В замкнутом контуре синхронизацию провести во вращающейся СО вообще говоря невозможно, как и провести синхронизацию во всем пространстве жесткого диска. Почему вдруг в пар. 89 возникает решение найти длину окружности причем совсем не радарным методом?

 Профиль  
                  
 
 Re: Диск Эйнштейна
Сообщение11.04.2015, 09:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10414
schekn в сообщении #1002439 писал(а):
Почему вдруг в пар. 89 возникает решение найти длину окружности причем совсем не радарным методом?
Длина окружности находится по той же формуле метрики, значит радарным методом. Синхронизоция тут ни при чём.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диск Эйнштейна
Сообщение11.04.2015, 11:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6591
schekn в сообщении #1002439 писал(а):
В замкнутом контуре синхронизацию провести во вращающейся СО вообще говоря невозможно, как и провести синхронизацию во всем пространстве жесткого диска. Почему вдруг в пар. 89 возникает решение найти длину окружности причем совсем не радарным методом?

Дело в том, что синхронизация часов в пар.84 ЛЛ-2 не совпадает с синхронизацией часов в пар.89. Как я пытался показать на странице 4 темы http://dxdy.ru/topic95378-45.html, метрика Ланжевена из пар.89 возникает, если часы на вращающейся окружности синхронизированы из ИСО внешнего пространства Минковского. Что совпадает с синхронизацией часов из центра. Такая синхронизация возможна в глобальном смысле. Из неё следует, что скорость света в разных направлениях в СО вращ. окружности разная. Часы на вращ. окружности синхронно запаздывают относительно часов ИСО внешнего пространства Минковского. Но если на окружности поставить часы, которые идут убыстренно с одинаковым коэффициентом (понятно каким), то тогда все часы, как на окружности, так и на ИСО во внешнем пространстве Минковского идут синхронно. Такая синхронизация важна для практики и используется в системах глобального позиционирования. Жду от вас аргументированной критики, поскольку в цитируемой ветке на меня сильно наехали, но аргументацию я не понял вообще.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диск Эйнштейна
Сообщение11.04.2015, 15:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6591
мат-ламер в сообщении #1002570 писал(а):
метрика Ланжевена из пар.89 возникает, если часы на вращающейся окружности синхронизированы из ИСО внешнего пространства Минковского.

Я поясню. Смотрим формулы 89.1 и 89.2 из пар. 89 ЛЛ-2. И видим, что в обеих формулах время задаётся одной и той же переменной t. А с чего бы это вдруг? А это как раз и означает, что часы на диске синхронизируются первоначально из внешней неподвижной ИСО. И, кроме того, эта синхронизация остаётся всё время. И как этого достичь? Поместить на диске часы, которые идут быстрее, чем в неподвижной ИСО. Итак, все часы как вращающейся СО, так и на неподвижной ИСО сохраняют свою синхронность.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 185 ]  На страницу Пред.  1 ... 8, 9, 10, 11, 12, 13  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group