Парадокс Б. Рассела

[ПАКЕТ]

Yuri Gendelman писал(а):

То, что Вы называете законом непротиворечия, обычно называют законом исключенного третьего.

Не верно ибо классическая логика включает в себя следующие законы:
1) закон тождества.
2) закон непротиворечия.
3) закон исключённого третьего.
4) закон достаточного основания.
То есть закон непротиворечия(2-й закон классической логики) и закон исключённого третьего(3-й закон классической логики) это абсолютно разные законы классической логики.

Yuri Gendelman писал(а):

Но существуют логики, например интуиционистская, в которых этот закон отсутствует.

Именно поэтому сии логики вызывают существенные сомнения в своей истинности.

Yuri Gendelman писал(а):

Конструктивистская математика как раз и ставит своей целью переписать математику без закона исключенного третьего.

Такая математика будет насквозь абсурдна ибо закон исключённого третьего это фундаментальный закон классической логики.
С уважением, Денис.

[luitzen]

2 Yuri Gendelman:

Я, признаться, не усмотрел в цитируемой ПАКЕТ’ом статье путаницы между законом исключенного третьего и законом (не)противоречия: статья повествует, как кажется, именно о последнем…

2 ПАКЕТ:

• Ответьте, пожалуйста, что Вы имеете виду под словосочетанием «закон логики»?
• Попытайтесь, пожалуйста, сформулировать в языке классической (пропозициональной или первопорядковой) логики «закон достаточного основания».
• Ответьте, пожалуйста, что, по-Вашему, значит для той или иной логической системы быть «истинной».
• Поясните, что Вы имеете в виду под «абсурдностью». Противоречивость? Как это соотносится с тем, что закон непротиворечия и закон исключенного третьего — «разные законы»?

[Yuri Gendelman]

luitzen писал(а):

Я, признаться, не усмотрел в цитируемой ПАКЕТ’ом статье путаницы между законом исключенного третьего и законом (не)противоречия: статья повествует, как кажется, именно о последнем…

Да, Вы правы. Но по-моему в математике закон непротиворечия - просто тавтология. А вот закон исключенного 3-го и его статус действительно изучаются. Потому я на него и переключился. Тем более, что в классической логике высказываний их формулировки почти идентичны:
Закон непротиворечия: \neg ($A \wedge \neg A)$
Закон исключенного третьего: $A \vee \neg A$

Добавлено спустя 22 минуты 52 секунды:

ПАКЕТ писал(а):

Yuri Gendelman писал(а):

Конструктивистская математика как раз и ставит своей целью переписать математику без закона исключенного третьего.

Такая математика будет насквозь абсурдна ибо закон исключённого тнетьего это фундаментальный закон классической логики.

Почему будет? Она уже давно существует. Но основывается она на неклассической логике. На эту тему есть книги, в т.ч. и на русском. Известная статья А.Н.Колмогорова по интуиционистской математике написана в середине 20-х.

[ПАКЕТ]

Цитата:

Ответьте, пожалуйста, что Вы имеете виду под словосочетанием «закон логики»?

Системообразующие факторы логики, то есть те принципы по которым функционирует логика.

Цитата:

Попытайтесь, пожалуйста, сформулировать в языке классической (пропозициональной или первопорядковой) логики «закон достаточного основания».

Ловите небольшое рассуждение о законе достаточного основания.
Закон достаточного основания
Важное место среди формально-логических законов мышления занимает закон
достаточного основания. Он тоже находится в не­разрывной связи с остальными.
И действительно, если мысль об­ладает определенностью (закон тождества), то
это открывает воз­можность для установления ее истинности или ложности во
взаи­моотношениях с другими мыслями (закон противоречия и закон исключенного
третьего). Само же установление истинности или ложности мысли невозможно без
соответствующего обоснования.
Отсюда — действие закона достаточного основания. Им обус­ловлена еще одна
коренная черта правильного мышления наряду с определенностью и
последовательностью, непротиворечивостью — его обоснованность,
доказательность.
http://works.tarefer.ru/46/100062/index.html

Цитата:

Ответьте, пожалуйста, что, по-Вашему, значит для той или иной логической системы быть «истинной».

1) не иметь внутренних противоречий.
2) не иметь внешних противоречий(соответствовать объективной реальности).

Цитата:

Поясните, что Вы имеете в виду под «абсурдностью». Противоречивость? Как это соотносится с тем, что закон непротиворечия и закон исключенного третьего — «разные законы»?

Абсурдность это сумма внутренней противоречивости и внешней противоречивости.

Добавлено спустя 1 минуту 45 секунд:

Цитата:

Почему будет? Она уже давно существует. Но основывается она на неклассической логике. На эту тему есть книги, в т.ч. и на русском. Известная статья А.Н.Колмогорова по интуиционистской математике написана в середине 20-х.

Астрология, нумерология и хиромантика тоже когда то считались науками, полагаю, что конструктивискую математику ждёт таже участь.

[Кардановский]

Как известно, Бертран Рассел был философом,логиком,математиком.Чем больше-сказать трудно,однако,во все перечисленные дисциплины он внес весьма фундаментальные вклады.Как,совершенно справедливо,отметил Yuri Gendelman, своим парадоксом брадобрея,Б.Рассел вскрыл внутренюю противоречивость первоначального ,как его теперь называют "наивного",варианта теории множеств Кантора.Это произошло около 100 лет назад.Мы сейчас пока топчемся у этой исторической вехи математики и логики,уточняя формулировки и пытаясь разрешить парадокс Рассела и,тем самым,подспудно, пытаясь,все же, как то спасти "наивную" теорию множеств Кантора.Но делать это уже поздно,поскольку,Б.Рассел,убедившись и убедив других во внутренней противоречивости первоначальной теории множеств Кантора,создал внутренне непротиворечивую АКСИОМАТИЧЕСКУЮ ТЕОРИЮ МНОЖЕСТВ,где парадокс брадобрея таковым уже не выглядит.Это произошло давно-задолго до нашего с вами рождения! Поэтому,выяснив теперь,что парадокс брадобрея давно уже преодолен созданием следующего этапа развития теории множеств(Аксиоматич.теорией мн.,например),действительно,как было замечено выше,стоит ли нам дальше ломать копья над парадоксом Рассела?.Ведь это уже история математики!

Добавлено спустя 10 минут 38 секунд:

ПАКЕТ! КЛАССИЧЕСКАЯ ЛОГИКА,законы которой здесь цитируются,на сегодня не является единственной логикой. Осюда- не всеобщая универсальность этих законов,хотя,для кого то,это обстоятельсво и может оказаться шоковым или интеллектуально неперевариваемым.

[luitzen]

ПАКЕТ писал(а):

те принципы по которым функционирует логика

Почему бы не отнести к ним какой-нибудь modus ponens? Без него неудобно.

ПАКЕТ писал(а):

http://works.tarefer.ru/46/100062/index.html

Этот форум носит название научного. Здесь такие ссылки выглядят неуместно.

ПАКЕТ писал(а):

1) не иметь внутренних противоречий

В порядке просвещения: можно исхитриться и сделать так, что в логической системе будут одновременно выводимы некоторая формула и её отрицание, но не будет выводимо «все, что угодно».

ПАКЕТ писал(а):

2) не иметь внешних противоречий (соответствовать объективной реальности)

Это можно назвать корректностью — когда всё выводимое имеется и в «модели» (про «объективную реальность» лучше молчать).
Есть ещё полнота — это когда наоборот: всё, имеющееся в модели, выводимо. Это тоже в порядке просвещения.

Серьезные же вопросы могли бы быть таковы.

Во-первых, почему существует интуиционистская математика, но не существует содержательных математических теорий, основанных на паранепротиворечивых логических системах.

Во-вторых, как бы так покороче объяснить, почему существуют утверждения конструктивной математики, противоречащие утверждениям классической, несмотря на то, что первая получается из последней как бы отбрасыванием чего-то, и поэтому резонно ожидать, что доказуемое «конструктивно» является собственным подмножеством доказуемого «классически».

ПАКЕТ писал(а):

Астрология, нумерология и хиромантика тоже когда то считались науками, полагаю, что конструктивискую математику ждёт таже участь.

Ничего, Гильберт высказывался и похлеще.

[ПАКЕТ]

Цитата:

ПАКЕТ! КЛАССИЧЕСКАЯ ЛОГИКА,законы которой здесь цитируются,на сегодня не является единственной логикой. Осюда- не всеобщая универсальность этих законов,хотя,для кого то,это обстоятельсво и может оказаться шоковым или интеллектуально неперевариваемым.

Дело в том Владимир, что физической реальности в которой мы все пребываем и элементами которой мы все являемся адекватна именно классическая логика со всеми вытекающими.

Добавлено спустя 9 минут 44 секунды:

Цитата:

Почему бы не отнести к ним какой-нибудь modus ponens? Без него неудобно.

А потому, что не стоит без необходимости умножать сущности.

Цитата:

Этот форум носит название научного. Здесь такие ссылки выглядят неуместно.

Увы, найти, что либо касающееся этого закона непросто.

Цитата:

В порядке просвещения: можно исхитриться и сделать так, что в логической системе будут одновременно выводимы некоторая формула и её отрицание, но не будет выводимо «все, что угодно».

Можно исхитрится и сделать всё, что угодно благо современная математика позволяет совершать любые фокусы, главное суметь подобрать подходящую аксиоматику.

Цитата:

Это можно назвать корректностью — когда всё выводимое имеется и в «модели» (про «объективную реальность» лучше молчать).
Есть ещё полнота — это когда наоборот: всё, имеющееся в модели, выводимо. Это тоже в порядке просвещения.

Поправка принята.

Цитата:

Во-первых, почему существует интуиционистская математика, но не существует содержательных математических теорий, основанных на паранепротиворечивых логических системах.
Во-вторых, как бы так покороче объяснить, почему существуют утверждения конструктивной математики, противоречащие утверждениям классической, несмотря на то, что первая получается из последней как бы отбрасыванием чего-то, и поэтому резонно ожидать, что доказуемое «конструктивно» является собственным подмножеством доказуемого «классически».

А ещё интересно применяется ли конструктивиская математика где- то вне сферы чистой математики? В какой либо науке либо в инженерно конструкторском деле.
То, что классическая математика применяется повсеместно есть факт, а вот насчёт конструктивиской? Не знаю.

[luitzen]

ПАКЕТ писал(а):

…физической реальности в которой мы все пребываем и элементами которой мы все являемся адекватна именно классическая логика со всеми вытекающими.

Не факт. Вот, по слухам, в довольно респектабельной совокупности логических систем, носящих совместное название “quantum logic”, есть какие-то проблемы с ипликацией.
Да и взаимоотношениям нас, конечных субъектов, с этой физической реальностью, возможно, адекватна иная «логика», чем та, которая адекватна ей самой.

ПАКЕТ писал(а):

Цитата:

Почему бы не отнести к ним какой-нибудь modus ponens? Без него неудобно.

А потому, что не стоит без необходимости умножать сущности.

Не совсем Вас понял.

ПАКЕТ писал(а):

Можно исхитрится и сделать всё, что угодно благо современная математика позволяет совершать любые фокусы, главное суметь подобрать подходящую аксиоматику.

Думаю, что не любые. Вот, к примеру, подобрать аксиоматику, в которой бы содержалась арифметика и которая бы была одновременно непротиворечивой и полной, пока никому не удалось.

ПАКЕТ писал(а):

А ещё интересно, применяется ли конструктивиская математика где-то вне сферы чистой математики? В какой либо науке либо в инженерно-конструкторском деле.
То, что классическая математика применяется повсеместно есть факт, а вот насчёт конструктивиской? Не знаю.

Отсутствие непосредственной применимости — довольно опасный аргумент. На таком основании пришлось бы порубить большую часть классической математики. Не очень, понятно, к примеру, что соответствует в инженерно-конструкторском деле хотя бы различию между рациональными и иррациональными числами.

А про конструктивную математику можно сказать, что она в большей степени удовлетворяет «конструкторским» идеалам, чем классическая. В отличие от последней, в ней не имеют места чистые доказательства существования, от которых инженеров в пот бросает. Докажешь им в двадцать слов, что, к примеру, любой многочлен нечетной степени имеет хотя бы один действительный корень, а они чем-то недовольны.

Ещё можно говорить о каких-то влияниях в цепочке «конструктивная математика – теория алгоритмов – анализ алгоритмов – программирование».

[ПАКЕТ]

Цитата:

Не факт. Вот, по слухам, в довольно респектабельной совокупности логических систем, носящих совместное название “quantum logic”, есть какие-то проблемы с ипликацией.
Да и взаимоотношениям нас, конечных субъектов, с этой физической реальностью, возможно, адекватна иная «логика», чем та, которая адекватна ей самой.

Вот только давайте обойдёмся без квантовой логики ибо мы с вами находимся не на квантовом уровне, а на макроуровне.

[luitzen]

ПАКЕТ писал(а):

Вот только давайте обойдёмся без квантовой логики ибо мы с вами находимся не на квантовом уровне, а на макроуровне.

Товарищ Сталин говорил: «У каждой вещи (курсив мой — luitzen) своя логика». Этим он хотел указать нам на тот факт, что многое зависит от «уровня нахождения» не только нас, но и вещи.

Или Вы желали сказать, что логика — это какая-то надстройка над средствами межчеловеческой коммуникации? Математизированная риторика, так сказать? Что пропозиции — это скорее высказывания, чем положения дел? Тут можно опять вспомнить одного моего тезку .

«Эта физическая реальность» из второго моего абзаца, процитированного Вами, вполне может быть и реальностью макромира. Я хотел сказать, что логические законы, которым в определенном смысле подчинено наше мышление о ней, могут не совпадать с законами, которым подчинено наше мышление об этом мышлении.

[ПАКЕТ]

Цитата:

Или Вы желали сказать, что логика — это какая-то надстройка над средствами межчеловеческой коммуникации? Математизированная риторика, так сказать?

Логику можно назвать инструментом структурирования и проверки рассуждений.

[Кардановский]

ПАКЕТ: Не могу согласиться с утверждением,что именно Классическая логика,которая развивалась со времен Аристотеля около двух тысяч лет и,по-сути, завершила свое развитие к началу 20 века, является наиболее адекватной в познании человеческим мозгом окружающего нас физического мира.Как это уже было замечено-сие не есть факт доказанный! Наш мозг- есть инструмент познания,мышления,анализа,в том числе, окружающего физического мира,.Логика-есть некий свод правил правильной работы этого инструмента. Этот свод правил-есть обобщение прошлого тысячелетнего челочеческого опыта мышления.Но,нельзя же наперед утверждать категорично,что у человечества не может появиться в будущем НОВОГО ОПЫТА мышления или,что человечество БУДЕТ ВСЕГДА пользоваться только тем мозгом-нструментом мышления,который ему дала природа,а НЕ БОЛЕЕ СОВЕРШЕННЫМ! Отсюда следует вполне логичный(хоть в канонах классической логики,хоть в другой какой) вывод: НАКОПЛЕНИЕ НОВОГО ОПЫТА МЫШЛЕНИЯ И ПОЯВЛЕНИЕ УСОВЕРШЕНСТВОВАННОГО МОЗГА(хотя бы с помощью неких внешних устройств) НЕИЗБЕЖНО ПРИВЕДЕТ И К НОВОЙ ЛОГИКЕ(т.е.к новому своду правил правильной работы мозга)

[ПАКЕТ]

Кардановский писал(а):

ПАКЕТ: Не могу согласиться с утверждением,что именно Классическая логика,которая развивалась со времен Аристотеля около двух тысяч лет и,по-сути, завершила свое развитие к началу 20 века, является наиболее адекватной в познании человеческим мозгом окружающего нас физического мира.Как это уже было замечено-сие не есть факт доказанный! Наш мозг- есть инструмент познания,мышления,анализа,в том числе, окружающего физического мира,.Логика-есть некий свод правил правильной работы этого инструмента. Этот свод правил-есть обобщение прошлого тысячелетнего челочеческого опыта мышления.Но,нельзя же наперед утверждать категорично,что у человечества не может появиться в будущем НОВОГО ОПЫТА мышления или,что человечество БУДЕТ ВСЕГДА пользоваться только тем мозгом-нструментом мышления,который ему дала природа,а НЕ БОЛЕЕ СОВЕРШЕННЫМ! Отсюда следует вполне логичный(хоть в канонах классической логики,хоть в другой какой) вывод: НАКОПЛЕНИЕ НОВОГО ОПЫТА МЫШЛЕНИЯ И ПОЯВЛЕНИЕ УСОВЕРШЕНСТВОВАННОГО МОЗГА(хотя бы с помощью неких внешних устройств) НЕИЗБЕЖНО ПРИВЕДЕТ И К НОВОЙ ЛОГИКЕ(т.е.к новому своду правил правильной работы мозга)

Дело в том, что логика это можно так сказать арифметика умозаключений.
У меня есть размышления на эту тему.
Мышление это оперирование умозаключениями.
Умозаключения это:
1) суждения.
Посылки на основании которых конструируются заключения.
2) заключения.
Новые суждения сконструированные на основе посылок.
3) выводы.
Результаты сконструированные на основе заключений.
Умозаключения приемлемы если:
1) непротиворечивы.
Несодержат внутренних противоречий.
2) неабсурдны.
Несодержат абсурдов.
Умозаключения неприемлемы если:
1) противоречивы.
Содержат внутренние противоречия.
2) абсурдны.
Содержат абсурды.
1) внутренние противоречия?
Это противоречия элементов некого умозаключения друг - другу.
2) абсурды?
Это противоречия некого умозаключения априорным истинам.
1) выявление внутренних противоречий?
Внутренние противоречия выявляются с помощью сравнения элементов некого умозаключения друг с другом.
2) выявление абсурдов?
Абсурды выявляются с помощью сравнения некого умозаключения с априорными истинами.
Сравнение это операция выявления отличий.
Интуиция это умозаключения идущие с такой скоростью при которой 2-й пункт умозаключений не поддаётся фиксации сознанием.

[Кардановский]

ПАКЕТ, разберем по-порядку изложения, представленное на последнем посту. Итак,первое,что утверждается: "мышление-это оперирование умозаключениями". Представляется,что такое толкование мышления явно очень заужено.Куда,в таком случае,отнести,например восприятие информации(на лекции,в кино и пр.)?! Или некие творческо-интуитивные процессы,например в искусстве?! Представляется,также,что это толкование мышления не только заужено,но еще и содержит явное внутреннее противоречие,парадокс! Действительно,если мышление-это оперирование умозалючениями,то умозалючения,в свою очередь, априори, являются продуктами мышления.А как же иначе они появились!? Отсюда,в частности, вытекает следующее: без наличия продуктов мышления(умозаключений) мышление невозможно! Но без мышления невозможно и получение его продуктов(умозаключений)! Следовательно,либо все человечество изначально получило(от кого то) ,для своего мыслительного процесса на протяжении последующих тысячелетий своей истории, хотя бы пару начальных умозаключений,либо,все же, мышление не есть только оперирование умозаключениями!

[ПАКЕТ]

Кардановский писал(а):

ПАКЕТ, разберем по-порядку изложения, представленное на последнем посту. Итак,первое,что утверждается: "мышление-это оперирование умозаключениями". Представляется,что такое толкование мышления явно очень заужено.Куда,в таком случае,отнести,например восприятие информации(на лекции,в кино и пр.)?! Или некие творческо-интуитивные процессы,например в искусстве?! Представляется,также,что это толкование мышления не только заужено,но еще и содержит явное внутреннее противоречие,парадокс! Действительно,если мышление-это оперирование умозалючениями,то умозалючения,в свою очередь, априори, являются продуктами мышления.А как же иначе они появились!? Отсюда,в частности, вытекает следующее: без наличия продуктов мышления(умозаключений) мышление невозможно! Но без мышления невозможно и получение его продуктов(умозаключений)! Следовательно,либо все человечество изначально получило(от кого то) ,для своего мыслительного процесса на протяжении последующих тысячелетий своей истории, хотя бы пару начальных умозаключений,либо,все же, мышление не есть только оперирование умозаключениями!

Подумав вынужден согласится, да оперирование умозаключениями это не всё мышление, а лишь его часть ибо умозаключения берутся не сами по себе, а конструируются на фундаменте идей и образов.
С уважением, Денис.