Распределение заряда на иголке.

[drug39]

(Оффтоп)

И в прошлой теме подобных доказательств много было. Один автор даже обижался, что я не прокомментировал...

imho, слабое место вот в чём. Нужно найти воображаемый отрезок, который дает поле тела чуть ли не во всём внешнем пространстве. Здесь же рассуждения идут о некой "линейной плотности заряда вдоль тела". Кстати, Red_Herring сосиську ненатурально нарисовал. Если брать эллипсоид, то такой отрезок для него фокальный, следовательно, длина отрезка стремится к большой оси эллипсоида. Поэтому длина отрезка на рисунке должна быть больше.

[Red_Herring]

Я разбираю решение sup и сосиска там согласное его спецификациям.

[sup]

(Оффтоп)

sup в сообщении #991226 писал(а):

Пусть $v$ - потенциал какого нибудь отрезка или точки с зарядом $Q$ внутри тела $\Omega$.

Только сейчас до меня дошла двусмысленность этой фразы. Я то имел в виду произвольный заряженный объект со своим потенциалом, геометрически расположенный внутри области $\Omega$. А можно понять эту фразу так, что отрезок это именно что часть тела $\Omega$.
Прав Дж. Литтлвуд.

Цитата:

Если ваша фраза допускает двоякое толкование, то в достаточно большой аудитории обязательно найдется человек, который поймет вас неправильно.

Да все происходит во внешности области $\Omega$. Там справедливы уравнения

$$\Delta \varphi =0$$

$$\Delta v =0$$

Потенциалы "как надо" убывают. Умножаем и интегрируем по частям (с точностью до обозначений производной по внешней или внутренней нормали)

$$0 = \int \limits_{R^3 \setminus \Omega}(v\Delta \varphi - \varphi \Delta v)dxdydz = \int \limits_{\Gamma} (\varphi_n v - \varphi v_n)d\Gamma$$

-- Вт мар 17, 2015 11:45:43 --

Что касается эллипсоида, то совершенно аналогично можно дать оценку заряда на концах. В оценке, что я привел выше, фигурирует только максимальное расстояние от иглы до границы тела. Подставляем и получаем.

[Red_Herring]

Если потенциал $\varphi$ убывает на бесконечности то мы не можем назначить его на $\Gamma$ но можем оценить его используя $v$ с $a=1$?

drug39 Ваша сосиска огурець, заказывали?

\begin{tikzpicture} \shadedraw[shading=axis,shading angle=45,left color=green,right color= lime] (2.5,0) ellipse (2.54950975679639 and .5); \draw[ultra thick, red] (0,0)--(5,0) \end{tikzpicture}

[sup]

Red_Herring в сообщении #991375 писал(а):

мы не можем назначить его на $\Gamma$

Виноват, может я увлекся?
В трехмерном случае, задача Дирихле для уравнения Лапласа во внешности области. Почему ее нельзя решать?
Вот я заглянул в
Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике. стр. 192 теорема 5.14
Внешняя задача Дирихле

$$\Delta u = 0 $$

$$u|_S = f$$

имеет классическое (регулярное на бесконечности) решение при любой непрерывной функции $f$. Ранее, доказывалась и единственность. Там же обсуждается и формула Грина (то самое интегрирование по частям).

[Red_Herring]

sup в сообщении #991389 писал(а):

В трехмерном случае, задача Дирихле для уравнения Лапласа во внешности области. Почему ее нельзя решать?

Можно. Но тогда нам неизвестен полный заряд $\Gamma$: $\int_\Gamma \sigma\,d\Gamma=$?

М.б. он в дальнейшем и не нужен. Буду читать дальше.

sup в сообщении #991226 писал(а):

Аналогично оцениваются и другие два интеграла. Остается интеграл по среднему куску. На нем потенциал $v$ "почти постоянный".

Но теперь $v$ уже потенциал, порожденный зарядом $b-a$ размазанном равномерно по отрезку $a\le x\le b$. И почему он почти равномерный без оценки минимума расстояния от $\Gamma$ до иглы? Ваша приписка:

sup в сообщении #991373 писал(а):

В оценке, что я привел выше, фигурирует только максимальное расстояние от иглы до границы тела. Подставляем и получаем.

В остальном всё хорошо: действительно, мы не предполагаем что мы знаем полный заряд а получаем его асимптотику: $\int_\Gamma \sigma\,d\Gamma=1+O(1/\ln \varepsilon)$.

[sup]

Да, полный заряд неизвестен. Можно лишь оценить, что он между 1 и 2. Но потом выяснится, что стремится к 1.

Red_Herring в сообщении #991400 писал(а):

И почему он почти равномерный без оценки минимума расстояния от $\Gamma$ до иглы

А там условие $d(z) \geqslant A\varepsilon$ и вылазит

$v = 2\ln \varepsilon + O(1) + O(\ln d)$

[Red_Herring]

sup в сообщении #991405 писал(а):

А там условие $d(z) \geqslant A\varepsilon$ и вылазит

Но тогда для эллипсоида софокусного игле, саму иглу надо чуть укорачивать (на $\varepsilon$ с каждой стороны)

[sup]

Кстати, вот здесь можно оценку здорово усилить. Слагаемое от левого куска я оценил очень грубо $O(1/d)$. На самом деле его можно оценить куда лучше, коль скоро уже есть "хорошая" оценка на
$Q(y) = \int \limits_{x < y} \sigma d\Gamma = y(1 + \frac {O(1)}{\ln \varepsilon})$
Надо лишь воспользоваться монотонностью $v(x,0)$

$$\int \limits_{x < a-d} \sigma v d\Gamma \leqslant \int \limits_{x < a-d} \sigma v(x,0) d\Gamma =Q(a-d)v(a-d,0) - \int \limits_{x < a-d} Q(x) v'(x,0) d\Gamma $$

Подставляем сюда оценку на $Q$ и получаем очень хорошую оценку для этого куска. В результате можно здорово уменьшить $d$

-- Вт мар 17, 2015 14:57:39 --

Ну да, для получения оценок мы не обязаны ограничивать себя предельным размером иглы. А выбираем ее динамически оптимально, с точки зрения минимума и максимума расстояния до границы. Желательно, чтобы они были уравновешены.

[sup]

После несколько занудливых оценок всех этих потенциалов у меня получился следующий сухой остаток. (Отмечу, что выкладки не выходят за рамки простого матанализа и не требуют специфических знаний из урматов)
Пусть дана игла - отрезок $(0,1)$ и задано $\varepsilon > 0$. Сосиска - точки на расстоянии не более $\varepsilon$ от иглы. Далее, фиксируется некая константа $0 < A \leqslant 1$ и рассматривается цилиндр с осью $(0,1)$ и радиусом $A\varepsilon$. Ясно, что он вложен внутрь сосиски и его торцы в точности проходят через концы иглы.
$\Omega$ - произвольное тело содержащееся внутри сосиски и содержащее цилиндр. Мы считаем, что оно обладает "приличной" формой (без всяких там экзотических паталогий) и всеми нужными свойствами для разрешимости внешней задачи Дирихле для уравнения Лапласа. Линейный заряд

$$ Q_a = \int \limits_{x \leqslant a} \sigma d\Gamma$$

Ясно, что в самом общем случае это будет монотонно возрастающая, непрерывная справа функция. Возможные разрывы связаны с устройством границы, когда сечение границы плоскостью $x = x_0$ имеет ненулевую меру. Для такого тела имеем следующие оценки (константы зависят от $A$ и не зависят от конкретной формы тела)

$$Q_a \leqslant -2\ln \varepsilon \frac {a}{\ln (1 + \frac{a}{\varepsilon})}, \quad a > 0$$

В частности, $Q_0 \leqslant -2\varepsilon \ln \varepsilon$. Для цилиндра - это заряд на левом торце. Для сосиски - заряд полусферы. Как мы видим, этот заряд гарантировано убывает с уменьшением $\varepsilon$.

$$Q_b - Q_a = l \left (1 +O \left (\frac {1 + |\ln l|}{|\ln \varepsilon|} \right ) \right ) + O(\varepsilon \ln \varepsilon), \quad 0 \leqslant a < b \leqslant 1, \, l = b-a $$

Из этой формулы вытекает, что средняя линейная плотность заряда "равна" $1$. В точках разрыва заряд может скакнуть на величину порядка $\varepsilon \ln \varepsilon$. Вблизи концов линейная плотность заряда имеет порядок не более $\ln \varepsilon$.
Ранее, я получал оценку для точечных зарядов на игле. Там тоже фигурировал множитель не более логарифма от характерного расстояния между зарядами. Так что результаты выглядят схожими.

[Red_Herring]

sup в сообщении #991894 писал(а):

Вблизи концов линейная плотность заряда имеет порядок не более $\ln \varepsilon$.

Я не думаю, что это точная оценка. По крайней мере мои спекулятивные рассуждения намекают что д.б. оценка без логарифма. Вполне возможно, что на основании того, что доказано sup можно обосновать мои аргументы.


А что говорят численные расчёты?

[sup]

Red_Herring в сообщении #991897 писал(а):

что д.б. оценка без логарифма

Хм, надо бы уточнить. Я боролся со всякими там $\gg$ и "здесь достаточно малое", а "тут достаточно большое" и мог в погоне за универсальностью этот логарифм упустить. Может через какое-то время уточню. Прямо сейчас нет времени.

-- Ср мар 18, 2015 15:27:36 --

А что говорит Ваша интуиция для случая малых $l$. Ну скажем $l = \varepsilon \ln^2 \varepsilon$?
Дело в том, что в моем рассуждении тело может быть довольно "сложным". Например, берем длинный цилиндр и змейкой складываем много раз. Да еще и на границе всякие ступеньки. Такое безобразие не может повлиять на результат?

[chislo_avogadro]

sup в сообщении #991226 писал(а):

Надо сказать несколько слов о том, какие тела мы рассматриваем. В принципе, похоже, что можно почти что угодно.

sup в сообщении #991226 писал(а):

Наверняка можно рассматривать и более сложные формы тела, с загибами и прочей ерундой. ... Но все это именно блохоловство.

Возьмём из чисто "зоологического" интереса фигуру, здесь уже упоминавшуюся - два шара, соединённые тонким проводом. Применима Ваша теорема к этой частной конструкции? Здесь шары должны иметь больший погонный заряд, чем провод, поскольку это уменьшает энергию поля. И вроде не видно причин, почему это должно измениться при стягивании, если $\varepsilon$ не зависит от $z$...

[sup]

chislo_avogadro в сообщении #991978 писал(а):

Применима Ваша теорема к этой частной конструкции?

Применима. Но при условии, что отношение радиуса шара и радиуса проволоки остается ограниченным . Я выставлял условие на тело, что максимальное расстояние от границы до иглы и минимальное расстояние должны быть "сравнимы". Поэтому при стягивании эта конструкция начнет "деградировать". Как если все радиусы не меняются, а вот длина проволоки растет. Взаимодействие шаров ослабевает и заряду уже становится выгодно с них убегать на проволоку. В результате все выравнивается.

-- Ср мар 18, 2015 17:27:37 --

По поводу логарифма в оценке - Red_Herring прав. Его там быть не должно. Я там в оценках вместе с водой еще кое-что выплеснул. Надо бы вернуть. Зато должен появиться логарифм расстояния до конца иглы. Что-то такое.

[Munin]

(Стоило немного отвлечься, и тема убежала вперёд, даже не оглянувшись на мой вопрос и предложение...)