После несколько занудливых оценок всех этих потенциалов у меня получился следующий сухой остаток. (Отмечу, что выкладки не выходят за рамки простого матанализа и не требуют специфических знаний из урматов)
Пусть дана игла - отрезок

и задано

. Сосиска - точки на расстоянии не более

от иглы. Далее, фиксируется некая константа

и рассматривается цилиндр с осью

и радиусом

. Ясно, что он вложен внутрь сосиски и его торцы в точности проходят через концы иглы.

- произвольное тело содержащееся внутри сосиски и содержащее цилиндр. Мы считаем, что оно обладает "приличной" формой (без всяких там экзотических паталогий) и всеми нужными свойствами для разрешимости внешней задачи Дирихле для уравнения Лапласа. Линейный заряд

Ясно, что в самом общем случае это будет монотонно возрастающая, непрерывная справа функция. Возможные разрывы связаны с устройством границы, когда сечение границы плоскостью

имеет ненулевую меру. Для такого тела имеем следующие оценки (константы зависят от

и не зависят от конкретной формы тела)

В частности,

. Для цилиндра - это заряд на левом торце. Для сосиски - заряд полусферы. Как мы видим, этот заряд гарантировано убывает с уменьшением

.

Из этой формулы вытекает, что средняя линейная плотность заряда "равна"

. В точках разрыва заряд может скакнуть на величину порядка

. Вблизи концов линейная
плотность заряда имеет порядок не более

.
Ранее, я получал оценку для точечных зарядов на игле. Там тоже фигурировал множитель не более логарифма от характерного расстояния между зарядами. Так что результаты выглядят схожими.