2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 21  След.
 
 Распределение заряда на иголке.
Сообщение19.02.2015, 02:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
3862
ФТИ им. Иоффе СПб
Есть такие электростатические из серии "must have". Одна из них - задача о статическом распределении заряда металлического тела. Ответ известен практически всем. Заряд распределится по поверхности, объемный заряд - ноль, а поверхностное распределение заряда определяется интегральным уравнением, приведенным в некоторых учебниках. Менее известна задача о том, как распределится заряд на 2D поверхности. Для бесконечной полоски конечной ширины каждый сам может его найти, а особо продвинутые - вспомнить в этом месте решение граничной задачи Гильберта. Для прямоугольной полоски задача, насколько я помню, эквивалентна задаче Прандаля об обтекании прямоугольного крыла конечного размаха, т.е. решение существует, но не известно.

Казалось бы, то, с чего эта деятельность должна начинаться - учебная задача для дебилов и олигофренов о распределении заряда на одномерной иголке. Я ее сформулирую. Имеется металлический отрезок $[-1,1]$. На него положили заряд $Q$. Как распределится заряд? Т.е. какая будет функция $\rho(x)$, ограниченная условием $$\int\limits_{-1}^{1}\rho(x)dx=Q.$$
Я угробил на эту задачку некоторое количество времени, но ответа не получил и, пока, свои измышления не покажу. Хотелось бы узнать мнение знающих и опытных, если таковые этой ерундой заинтересуются.

PS Модераторам. Не знал, где разместить. Перенесите, пожалуйста, по своему усмотрению вплоть до Пургатория включительно.
 i  Pphantom:
Все правильно, пусть тут и остается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на иголке.
Сообщение19.02.2015, 02:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
71261

(Оффтоп)

По-моему, такие обсуждения как раз подходят для корневого раздела.


Как насчёт задачки попроще (imho)? Возьмём бесконечный конус (однополостной), может, на нём можно найти распределение заряда? А потом устремить угол раствора к нулю. Другой подход к иголке - взять предел от эллипсоида. Они могут быть неэквивалентными, в том смысле, что соответствуют разным "распределениям бесконечно малой толщины вдоль длины".

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на иголке.
Сообщение19.02.2015, 03:05 


09/02/15
37
Я не знающий и не опытный, но могу накидать ссылок (это из википедии, из статьи про электрическую емкость):

Maxwell, J. C. (1878). «On the electrical capacity of a long narrow cylinder and of a disk of sensible thickness». Proc. London Math. Soc. IX: 94–101
Vainshtein, L. A. (1962). «Static boundary problems for a hollow cylinder of finite length. III Approximate formulas». Zh. Tekh. Fiz. 32: 1165–1173.
Jackson, J. D. (2000). «Charge density on thin straight wire, revisited». Am. J. Phys 68 (9): 789–799

В последней работе якобы показывается, что распределение в пределе нулевой толщины не зависит от формы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на иголке.
Сообщение19.02.2015, 03:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
3862
ФТИ им. Иоффе СПб
Munin в сообщении #980048 писал(а):
Другой подход к иголке - взять предел от эллипсоида

Получится $\rho=\operatorname{const}$. Согласитесь, странноватый ответ, и с другими не согласуется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на иголке.
Сообщение19.02.2015, 03:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
71261
Хм. Ещё предложение. Возьмём цепочку точечных зарядов, соединённых между собой через пружинки. И найдём их равновесное положение. Потом предел $n\to\infty,$ и потом предел, в котором жёсткость пружинок стремится к нулю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на иголке.
Сообщение19.02.2015, 03:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
3862
ФТИ им. Иоффе СПб
Munin в сообщении #980057 писал(а):
Возьмём цепочку точечных зарядов, соединённых между собой через пружинки.

А тут, наверно, и пружинки не нужны. Просто насыпаем заряды и ищем положение равновесия. Только конфигурация резко меняется в зависимости от того, четное или нечетное число зарядов. Эту задачу я не знаю как решать, хотя золотой ключик наверняка здесь. Можно написать континуальный предел, но я пока не хочу, поскольку, боюсь, начнется обсуждение возможных решений этого уравнения, а я не уверен, что оно правильное, и надеюсь, что вдруг кто-то что-то другое напишет.

-- 19.02.2015, 03:40 --

odelschwank в сообщении #980051 писал(а):
ackson, J. D. (2000). «Charge density on thin straight wire, revisited». Am. J. Phys 68 (9): 789–799

Спасибо, не видел. Гляну.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на иголке.
Сообщение19.02.2015, 03:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
71261
amon в сообщении #980061 писал(а):
А тут, наверно, и пружинки не нужны. Просто насыпаем заряды и ищем положение равновесия.

Ну, пружинки были введены для того, чтобы сделать задачу более "хорошего поведения". Если без них решается - то и замечательно.

amon в сообщении #980061 писал(а):
Только конфигурация резко меняется в зависимости от того, четное или нечетное число зарядов.

Странно, почему? Заряды одного знака, я подразумевал. Два заряда на концах отрезка зафиксированы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на иголке.
Сообщение19.02.2015, 04:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
9408
Hogtown
Проблема в том, что "непосредственно" эта задача смысла не имеет. Действительно, в такой наивной постановке нам следовало бы минимизировать энергию $\frac{1}{2}\iint_{0}^{1}\rho(x)\rho(y)|x-y|^{-1}\,dxdy$ при условии $\int_0^1 \rho(y)\,dy=Q$, что должно бы привести к задаче о постоянстве потенциала $\int_0^1 \rho(y)|x-y|^{-1}\,dy = c$. К сожалению, все одномерные интегралы содержащие $|x-y|^{-1}$ расходятся логарифмически при $x=y$. Тогда, если мы рассмотрим задачу как предел трехмерной (или двумерной) с толщиной порядка $\varepsilon \to +0$ то регуляризованная таким образом энергия будет $D(\rho) |\log\varepsilon|+O(1)$ с $D= \int_0^1 \rho^2(x)\,dx $ причём вне зависимости от формы тела (лишь бы оно сохраняло её утончаясь). Тогда естественно стараться минимизировать $D(\rho)$ и стараться доказать что результат сходится именно к этому. Но здесь действительно минимайзером $D(\rho)$ при $\int_0^1 \rho(y)\,dy=Q$ будет $\rho=Q$

Вот резюме статьи Джексона (вообще, он же писал в том же журнале на ту тему раньше, и другие тоже).

Цитата:
The question of the equilibrium linear charge density on a charged straight conducting “wire” of finite length as its cross-sectional dimension becomes vanishingly small relative to the length is revisited in our didactic presentation. We first consider the wire as the limit of a prolate spheroidal conductor with semi-minor axis a and semi-major axis c when a/c<<1. We then treat an azimuthally symmetric straight conductor of length 2c and variable radius r(z) whose scale is defined by a parameter a. A procedure is developed to find the linear charge densityλ(z) as an expansion in powers of 1/Λ, where Λ≡ln(4c2/a2), beginning with a uniform line charge densityλ0. We show, for this rather general wire, that in the limit Λ>>1 the linear charge density becomes essentially uniform, but that the tiny nonuniformity (of order 1/Λ) is sufficient to produce a tangential electric field (of order Λ0) that cancels the zeroth-order field that naively seems to belie equilibrium. We specialize to a right circular cylinder and obtain the linear charge density explicitly, correct to order 1/Λ2 inclusive, and also the capacitance of a long isolated charged cylinder, a result anticipated in the published literature 37 years ago. The results for the cylinder are compared with published numerical computations. The second-order correction to the charge density is calculated numerically for a sampling of other shapes to show that the details of the distribution for finite 1/Λ vary with the shape, even though density becomes constant in the limit Λ→∞. We give a second method of finding the charge distribution on the cylinder, one that approximates the charge density by a finite polynomial in z2 and requires the solution of a coupled set of linear algebraic equations. Perhaps the most striking general observation is that the approach to uniformity as a/c→0 is extremely slow.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на иголке.
Сообщение19.02.2015, 07:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
9408
Hogtown
Если делать дискретную модель, то такую: в точках $x_n=nh$ заряды $\rho_n h$, чтобы $\sum_n \rho_n h= Q$ и $J:=\frac{1}{2}\sum_{m\ne n}\rho_m \rho_n |m-n|^{-1} h$ была минимальной. Опять-таки, предполагая что $|\rho_m-\rho_n|=O((|m-n|h)^\delta)$ можно полазать, что $J=\sum_m \rho_n^2h|\log h| +O(1)$ и тогда $\rho_n\to Q$ при $h\to 0$.

В этой модели и в модели сжатия поверхности в иглу прямизна иглы несущественна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на иголке.
Сообщение19.02.2015, 10:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
71261
Заряды-"сообщающиеся сосуды"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на иголке.
Сообщение19.02.2015, 11:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
9408
Hogtown
Munin в сообщении #980114 писал(а):
Заряды-"сообщающиеся сосуды"?


Ну да, в "дискретной модели". Но зато с фиксированными позициями

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на иголке.
Сообщение19.02.2015, 13:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
3862
ФТИ им. Иоффе СПб
Все-таки напишу "свое" уравнение. Обсуждать готов буду позже. $$VP\int\limits_{-1}^{1}\frac{\rho(y)}{(x-y)|x-y|}dy=0$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на иголке.
Сообщение19.02.2015, 15:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
16903
Москва
Эта задача, по-моему, обсуждалась: Заряженная жидкость на линейке.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на иголке.
Сообщение19.02.2015, 16:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
9408
Hogtown
Someone в сообщении #980216 писал(а):
Эта задача, по-моему, обсуждалась: Заряженная жидкость на линейке.
Ну да, обсуждалась. На первой странице писались расходящиеся интегралы причём без разъяснения как их понимать, на остальных больше ругались. Впрочем кто-то поминал о расходимости интегралов и необходимости регуляризовать, но это сводилось к вычитанию самодействия на стр 8 что при логарифмической расходимости как мертвому припарки.

И задача изначально была другая: конечное число точечных зарядов, что снимает вопрос трактовки, но делает сложнее решение. Должен отметить, что в той статье Amer. J. Phys. (судя по реферату) не просто находится предел, но также и поправки (а в них и форма иглы и форма окружающей трубки—равномерной ли толщины или нет и.т.д.) играют роль.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на иголке.
Сообщение19.02.2015, 21:25 
Аватара пользователя


08/12/08
302
Не могу не заметить, что тема ещё обсуждалась здесь.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 308 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 21  След.

Модераторы: Jnrty, whiterussian, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group