2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21  След.
 
 Re: Распределение заряда на иголке.
Сообщение17.03.2015, 08:33 
Аватара пользователя


08/12/08
303

(Оффтоп)

И в прошлой теме подобных доказательств много было. Один автор даже обижался, что я не прокомментировал...
imho, слабое место вот в чём. Нужно найти воображаемый отрезок, который дает поле тела чуть ли не во всём внешнем пространстве. Здесь же рассуждения идут о некой "линейной плотности заряда вдоль тела". Кстати, Red_Herring сосиську ненатурально нарисовал. Если брать эллипсоид, то такой отрезок для него фокальный, следовательно, длина отрезка стремится к большой оси эллипсоида. Поэтому длина отрезка на рисунке должна быть больше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на иголке.
Сообщение17.03.2015, 08:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
9938
Hogtown
Я разбираю решение sup и сосиска там согласное его спецификациям.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на иголке.
Сообщение17.03.2015, 08:41 
Заслуженный участник


22/11/10
1153

(Оффтоп)

sup в сообщении #991226 писал(а):
Пусть $v$ - потенциал какого нибудь отрезка или точки с зарядом $Q$ внутри тела $\Omega$.

Только сейчас до меня дошла двусмысленность этой фразы. Я то имел в виду произвольный заряженный объект со своим потенциалом, геометрически расположенный внутри области $\Omega$. А можно понять эту фразу так, что отрезок это именно что часть тела $\Omega$. :shock:
Прав Дж. Литтлвуд.
Цитата:
Если ваша фраза допускает двоякое толкование, то в достаточно большой аудитории обязательно найдется человек, который поймет вас неправильно.

Да все происходит во внешности области $\Omega$. Там справедливы уравнения
$$\Delta \varphi =0$$
$$\Delta v =0$$
Потенциалы "как надо" убывают. Умножаем и интегрируем по частям (с точностью до обозначений производной по внешней или внутренней нормали)
$$0 = \int \limits_{R^3 \setminus \Omega}(v\Delta \varphi  - \varphi \Delta v)dxdydz = \int \limits_{\Gamma} (\varphi_n v - \varphi v_n)d\Gamma$$

-- Вт мар 17, 2015 11:45:43 --

Что касается эллипсоида, то совершенно аналогично можно дать оценку заряда на концах. В оценке, что я привел выше, фигурирует только максимальное расстояние от иглы до границы тела. Подставляем и получаем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на иголке.
Сообщение17.03.2015, 09:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
9938
Hogtown
Если потенциал $\varphi$ убывает на бесконечности то мы не можем назначить его на $\Gamma$ но можем оценить его используя $v$ с $a=1$?

drug39 Ваша сосиска огурець, заказывали?
\begin{tikzpicture}
\shadedraw[shading=axis,shading angle=45,left color=green,right color= lime] (2.5,0) ellipse (2.54950975679639 and .5);
\draw[ultra thick, red] (0,0)--(5,0)
\end{tikzpicture}

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на иголке.
Сообщение17.03.2015, 10:04 
Заслуженный участник


22/11/10
1153
Red_Herring в сообщении #991375 писал(а):
мы не можем назначить его на $\Gamma$

Виноват, может я увлекся?
В трехмерном случае, задача Дирихле для уравнения Лапласа во внешности области. Почему ее нельзя решать?
Вот я заглянул в
Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике. стр. 192 теорема 5.14
Внешняя задача Дирихле
$$\Delta u = 0 $$
$$u|_S = f$$
имеет классическое (регулярное на бесконечности) решение при любой непрерывной функции $f$. Ранее, доказывалась и единственность. Там же обсуждается и формула Грина (то самое интегрирование по частям).

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на иголке.
Сообщение17.03.2015, 11:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
9938
Hogtown
sup в сообщении #991389 писал(а):
В трехмерном случае, задача Дирихле для уравнения Лапласа во внешности области. Почему ее нельзя решать?

Можно. Но тогда нам неизвестен полный заряд $\Gamma$: $\int_\Gamma \sigma\,d\Gamma=$?

М.б. он в дальнейшем и не нужен. Буду читать дальше.

sup в сообщении #991226 писал(а):
Аналогично оцениваются и другие два интеграла. Остается интеграл по среднему куску. На нем потенциал $v$ "почти постоянный".


Но теперь $v$ уже потенциал, порожденный зарядом $b-a$ размазанном равномерно по отрезку $a\le x\le b$. И почему он почти равномерный без оценки минимума расстояния от $\Gamma$ до иглы? Ваша приписка:

sup в сообщении #991373 писал(а):
В оценке, что я привел выше, фигурирует только максимальное расстояние от иглы до границы тела. Подставляем и получаем.


В остальном всё хорошо: действительно, мы не предполагаем что мы знаем полный заряд а получаем его асимптотику: $\int_\Gamma \sigma\,d\Gamma=1+O(1/\ln \varepsilon)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на иголке.
Сообщение17.03.2015, 11:45 
Заслуженный участник


22/11/10
1153
Да, полный заряд неизвестен. Можно лишь оценить, что он между 1 и 2. Но потом выяснится, что стремится к 1.
Red_Herring в сообщении #991400 писал(а):
И почему он почти равномерный без оценки минимума расстояния от $\Gamma$ до иглы

А там условие $d(z) \geqslant A\varepsilon$ и вылазит

$v = 2\ln \varepsilon + O(1) + O(\ln d)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на иголке.
Сообщение17.03.2015, 11:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
9938
Hogtown
sup в сообщении #991405 писал(а):
А там условие $d(z) \geqslant A\varepsilon$ и вылазит

Но тогда для эллипсоида софокусного игле, саму иглу надо чуть укорачивать (на $\varepsilon$ с каждой стороны)

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на иголке.
Сообщение17.03.2015, 11:54 
Заслуженный участник


22/11/10
1153
Кстати, вот здесь можно оценку здорово усилить. Слагаемое от левого куска я оценил очень грубо $O(1/d)$. На самом деле его можно оценить куда лучше, коль скоро уже есть "хорошая" оценка на
$Q(y) = \int \limits_{x < y} \sigma d\Gamma = y(1 + \frac {O(1)}{\ln \varepsilon})$
Надо лишь воспользоваться монотонностью $v(x,0)$
$$\int \limits_{x < a-d} \sigma v d\Gamma \leqslant \int \limits_{x < a-d} \sigma v(x,0) d\Gamma =Q(a-d)v(a-d,0) - \int \limits_{x < a-d} Q(x) v'(x,0) d\Gamma $$
Подставляем сюда оценку на $Q$ и получаем очень хорошую оценку для этого куска. В результате можно здорово уменьшить $d$

-- Вт мар 17, 2015 14:57:39 --

Ну да, для получения оценок мы не обязаны ограничивать себя предельным размером иглы. А выбираем ее динамически оптимально, с точки зрения минимума и максимума расстояния до границы. Желательно, чтобы они были уравновешены.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на иголке.
Сообщение18.03.2015, 11:39 
Заслуженный участник


22/11/10
1153
После несколько занудливых оценок всех этих потенциалов у меня получился следующий сухой остаток. (Отмечу, что выкладки не выходят за рамки простого матанализа и не требуют специфических знаний из урматов)
Пусть дана игла - отрезок $(0,1)$ и задано $\varepsilon > 0$. Сосиска - точки на расстоянии не более $\varepsilon$ от иглы. Далее, фиксируется некая константа $0 < A \leqslant 1$ и рассматривается цилиндр с осью $(0,1)$ и радиусом $A\varepsilon$. Ясно, что он вложен внутрь сосиски и его торцы в точности проходят через концы иглы.
$\Omega$ - произвольное тело содержащееся внутри сосиски и содержащее цилиндр. Мы считаем, что оно обладает "приличной" формой (без всяких там экзотических паталогий) и всеми нужными свойствами для разрешимости внешней задачи Дирихле для уравнения Лапласа. Линейный заряд
$$ Q_a = \int \limits_{x \leqslant a} \sigma d\Gamma$$
Ясно, что в самом общем случае это будет монотонно возрастающая, непрерывная справа функция. Возможные разрывы связаны с устройством границы, когда сечение границы плоскостью $x = x_0$ имеет ненулевую меру. Для такого тела имеем следующие оценки (константы зависят от $A$ и не зависят от конкретной формы тела)
$$Q_a \leqslant  -2\ln \varepsilon \frac {a}{\ln (1 + \frac{a}{\varepsilon})}, \quad a > 0$$
В частности, $Q_0 \leqslant  -2\varepsilon \ln \varepsilon$. Для цилиндра - это заряд на левом торце. Для сосиски - заряд полусферы. Как мы видим, этот заряд гарантировано убывает с уменьшением $\varepsilon$.
$$Q_b - Q_a =  l \left (1 +O \left  (\frac {1 + |\ln l|}{|\ln \varepsilon|} \right ) \right ) + O(\varepsilon \ln \varepsilon), \quad 0 \leqslant a < b \leqslant 1,  \, l = b-a $$
Из этой формулы вытекает, что средняя линейная плотность заряда "равна" $1$. В точках разрыва заряд может скакнуть на величину порядка $\varepsilon \ln \varepsilon$. Вблизи концов линейная плотность заряда имеет порядок не более $\ln \varepsilon$.
Ранее, я получал оценку для точечных зарядов на игле. Там тоже фигурировал множитель не более логарифма от характерного расстояния между зарядами. Так что результаты выглядят схожими.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на иголке.
Сообщение18.03.2015, 11:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
9938
Hogtown
sup в сообщении #991894 писал(а):
Вблизи концов линейная плотность заряда имеет порядок не более $\ln \varepsilon$.

Я не думаю, что это точная оценка. По крайней мере мои спекулятивные рассуждения намекают что д.б. оценка без логарифма. Вполне возможно, что на основании того, что доказано sup можно обосновать мои аргументы.


А что говорят численные расчёты?

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на иголке.
Сообщение18.03.2015, 12:23 
Заслуженный участник


22/11/10
1153
Red_Herring в сообщении #991897 писал(а):
что д.б. оценка без логарифма

Хм, надо бы уточнить. Я боролся со всякими там $\gg$ и "здесь достаточно малое", а "тут достаточно большое" и мог в погоне за универсальностью этот логарифм упустить. Может через какое-то время уточню. Прямо сейчас нет времени.

-- Ср мар 18, 2015 15:27:36 --

А что говорит Ваша интуиция для случая малых $l$. Ну скажем $l = \varepsilon \ln^2 \varepsilon$?
Дело в том, что в моем рассуждении тело может быть довольно "сложным". Например, берем длинный цилиндр и змейкой складываем много раз. Да еще и на границе всякие ступеньки. Такое безобразие не может повлиять на результат?

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на иголке.
Сообщение18.03.2015, 14:06 


31/07/14
541
Я понял, но не врубился.
sup в сообщении #991226 писал(а):
Надо сказать несколько слов о том, какие тела мы рассматриваем. В принципе, похоже, что можно почти что угодно.
sup в сообщении #991226 писал(а):
Наверняка можно рассматривать и более сложные формы тела, с загибами и прочей ерундой. ... Но все это именно блохоловство.
Возьмём из чисто "зоологического" интереса фигуру, здесь уже упоминавшуюся - два шара, соединённые тонким проводом. Применима Ваша теорема к этой частной конструкции? Здесь шары должны иметь больший погонный заряд, чем провод, поскольку это уменьшает энергию поля. И вроде не видно причин, почему это должно измениться при стягивании, если $\varepsilon$ не зависит от $z$...

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на иголке.
Сообщение18.03.2015, 14:25 
Заслуженный участник


22/11/10
1153
chislo_avogadro в сообщении #991978 писал(а):
Применима Ваша теорема к этой частной конструкции?

Применима. Но при условии, что отношение радиуса шара и радиуса проволоки остается ограниченным :-) . Я выставлял условие на тело, что максимальное расстояние от границы до иглы и минимальное расстояние должны быть "сравнимы". Поэтому при стягивании эта конструкция начнет "деградировать". Как если все радиусы не меняются, а вот длина проволоки растет. Взаимодействие шаров ослабевает и заряду уже становится выгодно с них убегать на проволоку. В результате все выравнивается.

-- Ср мар 18, 2015 17:27:37 --

По поводу логарифма в оценке - Red_Herring прав. Его там быть не должно. Я там в оценках вместе с водой еще кое-что выплеснул. Надо бы вернуть. Зато должен появиться логарифм расстояния до конца иглы. Что-то такое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на иголке.
Сообщение18.03.2015, 14:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
(Стоило немного отвлечься, и тема убежала вперёд, даже не оглянувшись на мой вопрос и предложение...)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 308 ]  На страницу Пред.  1 ... 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21  След.

Модераторы: photon, Aer, whiterussian, Jnrty, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group