2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 ... 21  След.
 
 Re: Распределение заряда на иголке.
Сообщение14.03.2015, 14:40 
Заслуженный участник


22/11/10
1147
Сразу-то и не заметил. По теореме Гаусса
$$\int \limits_{\partial \Omega} v_n d\Gamma = 4\pi Q_l$$
где $Q_l$ - заряд маленького отрезка. Отсюда уже все быстро следует. Как я уже говорил, рассмотрим на иголке произвольный отрезок длины $l$ с зарядом $Q_l = l$. Для определенности будем считать, что на оси $x$ это отрезок $(0,l)$. Непосредственным вычислением получаем, что
$$v(x,r) = \begin{cases} 
O(1),&\text{если $x< -\delta$ или $x> l +\delta$}\\
O(1) - A\ln r,&\text{если $\delta < x < l - \delta$;}\\
O(1) + O(\ln r),&\text{во всех остальных случаях.}
\end{cases}$$
Следовательно, потенциал, в известном смысле, стремится к ступеньке. При стягивании тела к иголке на границе тела имеем $\ln r = \ln \varepsilon + O(1)$. Таким образом, поделив на единый нормировочный множитель $-A\ln \varepsilon$, для предельного распределения заряда $q(x)$ получаем
$$\int \limits_0^l q(x)dx = \operatorname{const} \cdot l$$
Форма тела в этом рассуждении не важна (в пределах разумного :-) ). Важно лишь соотношение $\ln r = \ln \varepsilon + O(1)$ на границе тела. Так что даже некое подобие исходной форме можно не сохранять.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на иголке.
Сообщение14.03.2015, 17:21 


31/07/14
520
Я понял, но не врубился.
Каков же результат этой магии для стянутого эллипсоида? Распределение заряда больше не равномерно??

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на иголке.
Сообщение14.03.2015, 17:33 
Заслуженный участник


22/11/10
1147
:shock:
Дык вроде показал, что константа.
sup в сообщении #990216 писал(а):
$$\int \limits_0^l q(x)dx = \operatorname{const} \cdot l$$

В силу произвольности $l$ плотность постоянна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на иголке.
Сообщение14.03.2015, 18:01 


31/07/14
520
Я понял, но не врубился.
А если две дельта-функции на концах? Или, скажем, полторы посередине?

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на иголке.
Сообщение14.03.2015, 18:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
8049
То есть, для нахождения потенциала заряженного отрезка мы использовали потенциал равномерно заряженного отрезка и получили, что отрезок заряжен равномерно. Я ничего не упустил?

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на иголке.
Сообщение14.03.2015, 18:29 
Заслуженный участник


22/11/10
1147
Утундрий в сообщении #990301 писал(а):
То есть, для нахождения потенциала заряженного отрезка мы использовали потенциал равномерно заряженного отрезка и получили, что отрезок заряжен равномерно. Я ничего не упустил?

Ну да. Оказалась удобная вещь. Потенциал вблизи отрезка имеет ступенчатый вид.
Уточню. Получили не то, что отрезок заряжен равномерно, а что предел стремится к константе. $q(x)$ - предельное распределение.

chislo_avogadro в сообщении #990299 писал(а):
А если две дельта-функции на концах? Или, скажем, полторы посередине?

Не понял вопрос. Продифференцируем равенство по $l$ и получим плотность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на иголке.
Сообщение14.03.2015, 18:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
9408
Hogtown
sup завуаировал, но смысл кажется такой: если мы хотим, чтобы на поверхности потенциал был постоянным, то линейная плотность д.б. постоянной с точностью до б.м. в интегральном смысле. Т.е. $\int _0^l \rho(x)\,dx=\mathrm{const}\cdot l +o(1)$. Разумеется это не исключает, что на концах плотность выше; моё вполне спекулятивное предположение (но согласующееся с моими нестрогими рассуждениями выше)
$$
\rho(x) \approx   2c \left(2- \frac{\ln (d(x)}{\ln (\varepsilon) }\right)^{-1} 
$$
где $d(x)\gg \varepsilon$ –– расстояние до конца.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на иголке.
Сообщение14.03.2015, 18:58 
Заслуженный участник


22/11/10
1147
Ничего не понимаю :shock:
1. Вот с этим утверждением кто-нибудь спорит?
Заряд на границе пропорционален нормальной производной $\varphi_n$. Рассмотрим произвольную пробную функцию $v$ такую, что $\Delta v = 0$. Тогда
$$ \int \limits_{\partial \Omega} v\varphi_n d\Gamma = \int \limits_{\partial \Omega} v_n\varphi d\Gamma = \int \limits_{\partial \Omega} v_n d\Gamma$$
2. Если никто не спорит, то могу ли я подставить в это равенство в качестве $v$ потенциал маленького заряженного отрезка?
3. Если могу, то кто-нибудь спорит с моей оценкой потенциала этого отрезка, вблизи оси иглы (которую я приводил выше)? Там получается нечто похожее на функцию-индикатор отрезочка, с логарифмическим множителем. Поделив на него, мы задавим все константы типа $O(1)$.
4. Если применить теорему Гаусса и подставить оценку в формулу, кто нибудь будет сомневаться, что слева в качестве главного слагаемого возникнет интеграл от линейной плотности заряда цилиндроида, а справа константа?
5. Наконец, после сокращения на фиксированную константу и перехода к пределу получим то, что я написал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на иголке.
Сообщение14.03.2015, 19:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
8049
Но если у нас в самом начале есть потенциал маленького заряженного отрезка, зачем что-то ещё делать? Просто растянем его во сколько там нужно раз и получим решение задачи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на иголке.
Сообщение14.03.2015, 19:18 
Заслуженный участник


22/11/10
1147
Мы же решаем задачу для распределения заряда по поверхности тела $\Omega$. Это не отрезок и даже не цилиндр или эллипсоид. Это вообще может быть что угодно.
Для решения этой задачи я привлек задачу Дирихле во внешности этой области. Не знаю как Вам, а мне было совсем не очевидно, как там устроена нормальная производная решения этой задачи. Поначалу, мне казалось, что получится лишь некая приблизительная оценка. Но, к счастью, получилось даже больше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на иголке.
Сообщение15.03.2015, 03:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
3862
ФТИ им. Иоффе СПб
sup в сообщении #990318 писал(а):
Рассмотрим произвольную пробную функцию $v$ такую, что $\Delta v = 0$. Тогда
$$ \int \limits_{\partial \Omega} v\varphi_n d\Gamma = \int \limits_{\partial \Omega} v_n\varphi d\Gamma = \int \limits_{\partial \Omega} v_n d\Gamma$$

Чего-то я туплю. Возмем $v=2$. Получим $2\int \limits_{\partial \Omega} \varphi_n d\Gamma=0$, или опять маразм?
sup в сообщении #990216 писал(а):
$$\int \limits_0^l q(x)dx = \operatorname{const} \cdot l$$
Пусть наша $q(x)$ константа везде, кроме отрезков длиной $\frac{l}{n}$ вблизи концов ($n>2$ - фиксированное число). На этих отрезках $q(x)=\rho(x\frac{n}{l})$, где $\rho(x)$ - любая фиксированная функция. Тогда $\int \limits_0^\frac{l}{n}\rho(x\frac{n}{l})dx=\frac{l}{n}\int \limits_0^1\rho(t)dt$, и $\int \limits_0^l q(x)dx = \operatorname{const} \cdot l$

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на иголке.
Сообщение15.03.2015, 04:21 
Заслуженный участник


22/11/10
1147
Да, я не упомянул. Надо еще и убывание на бесконечности. Иначе при интегрировании по частям возникнут следы.

-- Вс мар 15, 2015 07:30:40 --

amon в сообщении #990488 писал(а):
Пусть наша $q(x)$ константа везде, кроме отрезков длиной $\frac{l}{n}$ вблизи концов ($n>2$ - фиксированное число). На этих отрезках $q(x)=\rho(x\frac{n}{l})$, где $\rho(x)$ - любая фиксированная функция. Тогда $\int \limits_0^\frac{l}{n}\rho(x\frac{n}{l})dx=\frac{l}{n}\int \limits_0^1\rho(t)dt$, и $\int \limits_0^l q(x)dx = \operatorname{const} \cdot l$

Вот это рассуждение не понял.
$q(x)$ - это уже предельное распределение. Из предыдущего вытекает ( в силу произвольности расположения отрезка и его длины), что везде внутри иглы плотность заряда постоянна. В принципе, надо посмотреть, можно ли брать маленький отрезок прямо на конце иглы. Но, пусть там проблемы.
Единственное, что еще возможно, это скопление заряда на концах иглы, что приведет к возникновению дельта-функций. Но для этого нет лишнего заряда!
Полученная плотность не зависит от формы тела, стягиваемого к игле. А мы уже знаем, что для эллиптических тел заряд не скапливается. Значит произведение плотности на длину и есть полный заряд. Значит он не скапливается и для других игл. Это объяснение так, на пальцах. Наверняка можно предложить и более серьезное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на иголке.
Сообщение15.03.2015, 05:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
3862
ФТИ им. Иоффе СПб
sup в сообщении #990493 писал(а):
Вот это рассуждение не понял.

Я пытался показать, что из того, что $\int \limits_0^l q(x)dx = \operatorname{const} \cdot l$ для любого $l$ не следует, что $q(x)=\operatorname{const}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на иголке.
Сообщение15.03.2015, 06:16 
Заслуженный участник


22/11/10
1147
Можно дать простое доказательство того, что заряд не может скапливаться на концах. И даже больше того.
Действительно. Возьмем произвольный отрезок $[a,b]$ на иголке. Можно где-то внутри, можно прямо на краю. Положим $l = b-a$. Прямым вычислением получаем, что при $a \leqslant x \leqslant b$ имеем оценку снизу
$$C_0 + \ln \frac {l}{r} \leqslant v(x,r)$$
Пусть точка $z$ лежит на границе $\partial \Omega$. Ее координаты $(x,r(x))$. Здесь я для простоты изложения не отслеживаю все 3 координаты (как в осесимметричном случае). Обозначим $d = \min \limits_{a\leqslant x \leqslant b} r(x)$. Положим $q(x)$ - линейная плотность заряда нашего тела. Тогда из той оценки снизу сразу же следует
$$(C_0 + \ln \frac {l}{d})\int \limits_a^b q(x)dx \leqslant \operatorname{const} \cdot l$$
Ясно, что $\ln d = \ln \varepsilon + O(1)$. Константа в правой части сама пропорциональна $\ln \varepsilon$. Отсюда получаем оценку снизу на произвольном отрезке. Но тогда на дополнительном отрезке получится оценка сверху!
В результате имеем
$$\frac {1}{b-a}\int \limits_a^b q(x)dx = \operatorname{const} \cdot \frac {|\ln \varepsilon|}{O(1) + |\ln (b-a)| + |\ln \varepsilon|}$$
Ну а теперь, когда мы имеем такую хорошую интегральную оценку, можно уже получить и оценку на саму $q(x)$. Для этого в качестве $v$ берем потенциал не отрезка, а просто точечного заряда. Пара пассов и получится формула (я ее чуть-чуть подправил)
Red_Herring в сообщении #990314 писал(а):
$$
\rho(x) =   2c \left(2- \frac{\ln d(x) + O(1)}{\ln (\varepsilon) }\right)^{-1} 
$$


Вот, как-то так (если ничего не упустил из виду).

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на иголке.
Сообщение15.03.2015, 08:01 
Аватара пользователя


08/12/08
302
Когда Munin предлагал задачу: возьмём два заряженные шарика и соединим их тонкой проволокой..., возможно, он имел ввиду следующее. Часть заряда утекёт в проволоку, а часть то останется... И если в предельном случае на это взглянуть, то, вроде как, на концах отрезка нечто дельта-видное есть. Но чтобы сделать такой вывод, думаю, нужно обладать интуицией выше среднего. Другой пример цилиндр, на мой взгляд, даже предпочтительней, поскольку он более удобен для счета.

(Оффтоп)

В целом, продолжаю наблюдать попытки нестрогих доказательств при упорном нежелании разбираться с краевыми условиями.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 308 ]  На страницу Пред.  1 ... 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 ... 21  След.

Модераторы: Jnrty, whiterussian, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group