2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21  След.
 
 Re: Распределение заряда на иголке.
Сообщение16.03.2015, 15:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
09/12/19
71257
sup в сообщении #990928 писал(а):
Ну почему так пессимистично. Классическая теория ведь рассматривает, скажем диполи. При этом интересуются полем на "большом" расстоянии от диполя, а не внутри диполя. Внутри ничего хорошего не получится.

На самом деле, это не совсем так. Есть и рассмотрение "внутри" диполя, то есть слагаемое дельта-функционального вида. Это называется "контактное взаимодействие Ферми" (не путать со слабым 4-фермионным взаимодействием Ферми), и соответственно член.

Более того, есть два вида такого взаимодействия: "электрическо-дипольный" и "магнитно-дипольный" (очевидно, что удовлетворяет также и любая их линейная комбинация).

Этот член не имеет значения в классической механике, потому что пробная частица никогда не залетает "внутрь" диполя. Но начинает работать в квантовой механике, поскольку волновая функция может в начале координат уже не обнуляться.

Хороших ссылок на литературу у меня нет, но см.
http://en.wikipedia.org/wiki/Fermi_contact_interaction
http://en.wikipedia.org/wiki/Dipole#Field_of_a_static_magnetic_dipole
http://en.wikipedia.org/wiki/Dipole#Field_from_an_electric_dipole
http://en.wikipedia.org/wiki/Magnetic_dipole#Internal_magnetic_field_of_a_dipole

-- 16.03.2015 15:37:35 --

Благодаря чтению текста sup, у меня произошёл insight: новый взгляд, привлекающий несколько иную физическую интуицию.

Итак, не будем рассуждать о самом отрезке, который слишком тонкий и неудобный. О самом отрезке запомним только одно: он проводящий. А будем рассуждать об эквипотенциальных поверхностях, охватывающих этот отрезок. Эти поверхности каждая находятся при каком-то конечном потенциале. И в то же время, они должны в пределе стремиться к этому отрезку. Интуитивно мы знаем, что эти поверхности наиболее "неровные" около зарядов, а чем дальше, тем больше они сглаживаются. И в то же время, они стремятся к отрезку, который тоже в каком-то смысле "эквипотенциален", пусть его потенциал и бесконечность. Значит, неровность этих эквипотенциальных поверхностей должна быть "не хуже" неровности отрезка, и поэтому, они цилиндрические. Приближаться к цилиндру (по мере приближения к отрезку) им повод есть, а удаляться от цилиндра им повода нет.

-- 16.03.2015 15:58:31 --

Я сейчас начну велосипед изобретать, так что скажите мне сразу, какое в математике дифференциальное уравнение описывает разные эквипотенциальные поверхности? Нужно что-то вида:
$$\dfrac{d(\text{эквипотенциальной поверхности})}{d(\text{потенциала})}=F(\text{формы эквипотенциальной поверхности}).$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на иголке.
Сообщение16.03.2015, 16:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
3861
ФТИ им. Иоффе СПб
Munin в сообщении #991031 писал(а):
Я сейчас начну велосипед изобретать

Я помогу ;). IMHO: Эквипотенциальная поверхность: $\varphi(x,y,z)=\varphi_0$, производная: $\frac{\partial\varphi}{\partial\varphi_0}(x,y,z)=1$. В нашем случае уравнение поверхности: $\int\limits_{0}^{l}\frac{\rho(x')dx'}{\sqrt{(x-x')^2+y^2+z^2}}=\varphi_0$ и аналогичное уравнение для производной. Вне иголки с интегралами ok.

Я уже говорил, но напомню, что преобразованием Кельвина иголку можно растянуть в полубесконечную нить (задачи о распределении на иголке и полубесконечной нити эквивалентны). Вдруг это кому-то поможет (мне не помогло).

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на иголке.
Сообщение16.03.2015, 20:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
09/12/19
71257
amon
Нет, я имел в виду не уравнение поверхности через заданные заряды, а дифгеометрическое какое-то уравнение через известную формул этой же самой эквипотенциальной поверхности. Через радиусы кривизны этой поверхности, или что-то в этом духе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на иголке.
Сообщение16.03.2015, 20:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
8045
Любопытно, куда в этом подходе подевалась "самоуравновешенность" иголки?

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на иголке.
Сообщение16.03.2015, 22:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
09/12/19
71257
А что это, и где оно раньше было?

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на иголке.
Сообщение16.03.2015, 22:42 
Заслуженный участник


22/11/10
1147

(Оффтоп)

Munin в сообщении #991031 писал(а):
На самом деле, это не совсем так. Есть и рассмотрение "внутри" диполя, то есть слагаемое дельта-функционального вида. Это называется "контактное взаимодействие Ферми" (не путать со слабым 4-фермионным взаимодействием Ферми), и соответственно член.

Более того, есть два вида такого взаимодействия: "электрическо-дипольный" и "магнитно-дипольный" (очевидно, что удовлетворяет также и любая их линейная комбинация).

Ну я попал ... :D Вот ведь пытался обойти "острые углы", а все равно вляпался. Хотя, наверное, вот то самое, что я имел в виду
Munin в сообщении #991031 писал(а):
Этот член не имеет значения в классической механике, потому что пробная частица никогда не залетает "внутрь" диполя.

Так. Ниже я намерен кратенько, но более или менее строго обосновать заявленные результаты.
Иголка - отрезок $(0,1)$. Параметр $\varepsilon$ - характеризует степень стягивания. Для каждого $\varepsilon$ имеем $\Omega_{\varepsilon}$ - тело, содержащее иголку. Обычно понятно о чем идет речь, поэтому индекс будем опускать и писать просто $\Omega$. $\Gamma$ - граница тела. Цилиндрические координаты $(x,r,\varphi)$. Но я буду пользоваться только $(x,r)$. Если кого-то это напрягает, считайте что речь идет об осесимметричном теле.
Надо сказать несколько слов о том, какие тела мы рассматриваем. В принципе, похоже, что можно почти что угодно. Но я не очень люблю заниматься блохоловством, поэтому будем считать, что тело - это нечто навроде сосиски, границy которого можно задать функцией вида $F(x,r,\varphi)$. Основное предположение. Для некоторых констант $A,B > 0$ расстояние от любой точки границы $z \in \partial \Omega$ до иголки зажато между двумя значениями $A\varepsilon \leqslant d(z)  \leqslant B\varepsilon$. Таким образом, цилиндр с торцами в точках $0$ и $1$ не рассматривается (это можно сделать. я потом скажу пару слов).
Далее, $\sigma$ - поверхностная плотность заряда. В силу предположения на форму тела, можно говорить о линейной плотности заряда вдоль тела. Линейный заряд
$$ Q_{ab} = \int \limits_{a\leqslant x \leqslant b} \sigma d\Gamma$$
Ну вот, приготовились. Для решения задачи напомним, что заряды распределяются так, чтобы поверхность тела стала эквипотенциалью. Обозначим потенциал вне тела через $\varphi$. Тогда по теореме Гаусса плотность заряда выражается через нормальную производную $ 4\pi \sigma = -\varphi_n$. Забегая вперед, сразу же назначим потенциал поверхности $-2 \ln \varepsilon$. Таким образом, во внешности тела $\Omega$ возникает задача
$$\Delta \varphi = 0$$ $$\varphi|_{\Gamma} = -2 \ln \varepsilon$$
Мы будем ее изучать с помощью следующего соображения. Пусть $v$ - потенциал какого нибудь отрезка или точки с зарядом $Q$ внутри тела $\Omega$. Тогда интегрируя по частям и применяя теорему Гаусса получим
$$\int \limits_{\Gamma}\sigma v d\Gamma = -2 Q\ln \varepsilon $$
Метод крайне прост. Оценивая потенциал $v$ на границе снизу и вынося из под интеграла, получаем оценку на линейный заряд цилиндроида. Вот простой пример. Рассмотрим отрезок $(0,a)$. Его заряд - $Q = a$. Значит
$$ \int \limits_{x \leqslant a} \sigma vd\Gamma \leqslant -2a \ln \varepsilon $$
По условию, все точки границы лежат не дальше $B\varepsilon$ от иглы. Значит на границе $v \geqslant \ln (a+B\varepsilon) - \ln B\varepsilon$. Подставляем в интеграл и получаем при $a >> \varepsilon$
$$ \int \limits_{x \leqslant a} \sigma d\Gamma \leqslant  C_0 \left (1 + \frac {|\ln a|}{|\ln \varepsilon|} \right ) a$$
Отсюда немедленно следует, что в окрестности левого конца иголки заряд не скапливается. Перекос, конечно, может быть, но дельта-функция не образуется. Аналогично получаем оценку и на правом конце. Теперь рассмотрим отрезок $(a,b)$ внутри иглы. Как и раньше легко получаем оценку сверху при $(b - a) >> \varepsilon$
$$Q_{ab} \leqslant  C_1 \left (1 + \frac {|\ln (b - a)|}{|\ln \varepsilon|} \right ) (b - a)$$
Теперь уже можно получить хорошую интегральную оценку на среднюю линейную плотность. Пусть $(b - a) >> d >> \varepsilon$
Тогда точки $a-d, a+d, b-d, b+d$ разбивают область интегрирования на 5 кусков. Из предыдущих оценок следует
$$ \int \limits_{x \leqslant a - d}\sigma vd\Gamma \leqslant \frac {C(a-d)}{d} = O(1/d)$$
$$ \int \limits_{a-d \leqslant x \leqslant a + d}\sigma vd\Gamma \leqslant Cd|\ln \varepsilon| $$
Аналогично оцениваются и другие два интеграла. Остается интеграл по среднему куску. На нем потенциал $v$ "почти постоянный". В результате получаем
$$ (-2\ln \varepsilon + O(1))\int \limits_{a+d \leqslant x \leqslant b- d}\sigma d\Gamma = -2(b-a)\ln \varepsilon +O(1/d) + O(d|\ln \varepsilon|)$$
Выбираем $d \sim 1/\sqrt {|\ln \varepsilon|}$ и получаем
$$\int \limits_{a \leqslant x \leqslant b}\sigma d\Gamma = (b-a)(1 + O(1/\sqrt {|\ln \varepsilon|}))$$
Итак, мы видим, что линейный заряд стремится к равномерному распределению. Сходимость - порядка корень из логарифма. Не слишком быстро. Но ведь мы практически никак не ограничиваем форму тела. Легко видеть, что такая техника может быть применена и к цилиндру. Надо только отходить от концов иголки на некое расстояние $d$, как мы это делали в последней оценке. Наверняка можно рассматривать и более сложные формы тела, с загибами и прочей ерундой. Там могут возникать некие технические затруднения с корректным определением линейного заряда, когда тело имеет ступенчатую форму. Но все это именно блохоловство. На основании данного подхода надо бы еще доказать асимптотику линейной плотности а не заряда. Но это в предположении гладкой границы. Надеюсь руки дойдут - продемонстрирую.
А вот еще интересный вопрос возник экспромтом. А что, если тело обвивает иголку как змеевик? Что там будет? Наверное все то же самое. Но надо проверять.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на иголке.
Сообщение16.03.2015, 23:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
9407
Hogtown

(TeX)

Есть специальные макро \ll и \gg\lll и \ggg):
$\ll$, $\gg$, $\lll$, $\ggg$


-- 16.03.2015, 16:05 --

Чтобы избежать бесконечного цитирования по кускам, я цитирую все и синим вставляю свои вопросы

Так. Ниже я намерен кратенько, но более или менее строго обосновать заявленные результаты.
Иголка - отрезок $(0,1)$. Параметр $\varepsilon$ - характеризует степень стягивания. Для каждого $\varepsilon$ имеем $\Omega_{\varepsilon}$ - тело, содержащее иголку. Обычно понятно о чем идет речь, поэтому индекс будем опускать и писать просто $\Omega$. $\Gamma$ - граница тела. Цилиндрические координаты $(x,r,\varphi)$. Но я буду пользоваться только $(x,r)$. Если кого-то это напрягает, считайте что речь идет об осесимметричном теле.
Надо сказать несколько слов о том, какие тела мы рассматриваем. В принципе, похоже, что можно почти что угодно. Но я не очень люблю заниматься блохоловством, поэтому будем считать, что тело - это нечто навроде сосиски, границy которого можно задать функцией вида $F(x,r,\varphi)$. Основное предположение. Для некоторых констант $A,B > 0$ расстояние от любой точки границы $z \in \partial \Omega$ до иголки зажато между двумя значениями $A\varepsilon \leqslant d(z)  \leqslant B\varepsilon$. Таким образом, цилиндр с торцами в точках $0$ и $1$ не рассматривается (это можно сделать. я потом скажу пару слов).

\begin{tikzpicture}
\filldraw[blue, fill=blue!20] (0,.5)--(5,.5) arc (90:-90:.5)--(0,-.5) arc (270:90:.5);
\draw [ultra thick,blue] (0,0)--(5,0);
\end{tikzpicture}



Далее, $\sigma$ - поверхностная плотность заряда. В силу предположения на форму тела, можно говорить о линейной плотности заряда вдоль тела. Линейный заряд
$$ Q_{ab} = \int \limits_{a\leqslant x \leqslant b} \sigma d\Gamma$$
Ну вот, приготовились. Для решения задачи напомним, что заряды распределяются так, чтобы поверхность тела стала эквипотенциалью. Обозначим потенциал вне тела через $\varphi$. Тогда по теореме Гаусса плотность заряда выражается через нормальную производную $ 4\pi \sigma = -\varphi_n$. Забегая вперед, сразу же назначим потенциал поверхности $-2 \ln \varepsilon$. Таким образом, во внешности тела $\Omega$ возникает задача
$$\Delta \varphi = 0$$ $$\varphi|_{\Gamma} = -2 \ln \varepsilon$$

So far so good

Мы будем ее изучать с помощью следующего соображения. Пусть $v$ - потенциал какого нибудь отрезка или точки с зарядом $Q$ внутри тела $\Omega$. потенциал создаваемый каким нибудь отрезком или точкой ….?

Тогда интегрируя по частям и применяя теорему Гаусса получим
$$\int \limits_{\Gamma}\sigma v d\Gamma = -2 Q\ln \varepsilon $$
Метод крайне прост. Оценивая потенциал $v$ на границе снизу и вынося из под интеграла, получаем оценку на линейный заряд цилиндроида. Вот простой пример. Рассмотрим отрезок $(0,a)$. Его заряд - $Q = a$. Значит
$$ \int \limits_{x \leqslant a} \sigma vd\Gamma \leqslant -2a \ln \varepsilon $$

Это в предположении что $Q = a$—только в виде примера? Это даже не так, потому что на концах заряды слегка скапливаются, и это не доказано


По условию, все точки границы лежат не дальше $B\varepsilon$ от иглы. Значит на границе $v \geqslant \ln (a+B\varepsilon) - \ln B\varepsilon$. Почему? I am lost

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на иголке.
Сообщение17.03.2015, 00:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
2469
sup в сообщении #991226 писал(а):
Забегая вперед, сразу же назначим потенциал поверхности $-2 \ln \varepsilon$.

А это не чересчур сильное требование?...

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на иголке.
Сообщение17.03.2015, 01:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
9407
Hogtown
Geen в сообщении #991277 писал(а):
А это не чересчур сильное требование?...

Поскольку поверхность эквипотенциальна, можно "назначить" любую константу

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на иголке.
Сообщение17.03.2015, 01:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
2469
Вопрос не в константе, а в "зависимости от эпсилон". А то кажется, что получается
Утундрий в сообщении #990301 писал(а):
То есть, для нахождения потенциала заряженного отрезка мы использовали потенциал равномерно заряженного отрезка и получили, что отрезок заряжен равномерно. Я ничего не упустил?

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на иголке.
Сообщение17.03.2015, 01:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
9407
Hogtown
Geen в сообщении #991291 писал(а):
Вопрос не в константе, а в "зависимости от эпсилон". А то кажется, что получается
Утундрий в сообщении #990301 писал(а):
То есть, для нахождения потенциала заряженного отрезка мы использовали потенциал равномерно заряженного отрезка и получили, что отрезок заряжен равномерно. Я ничего не упустил?

Эта константа может зависеть от $\epsilon$ (но не координат). Вопрос Утундрий не об этом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на иголке.
Сообщение17.03.2015, 06:56 
Заслуженный участник


22/11/10
1147

(Оффтоп)

Red_Herring в сообщении #991240 писал(а):
Есть специальные макро \ll и \gg (и \lll и \ggg):
$\ll$, $\gg$, $\lll$, $\ggg$

Спасибо. Писал уже глубоко заполночь и поленился искать.




Red_Herring в сообщении #991240 писал(а):
Метод крайне прост. Оценивая потенциал $v$ на границе снизу и вынося из под интеграла, получаем оценку на линейный заряд цилиндроида. Вот простой пример. Рассмотрим отрезок $(0,a)$. Его заряд - $Q = a$. Значит
$$ \int \limits_{x \leqslant a} \sigma vd\Gamma \leqslant -2a \ln \varepsilon $$

Рассмотрим равномерно заряженный отрезок $(0,a)$. Его линейная плотность - 1, а заряд - $a$. Его потенциал $v$. Отсюда, интегрируя по частям (я уже упоминал об этом),
$$ \int \limits_{\Gamma } \sigma vd\Gamma = -2a \ln \varepsilon $$
Все члены знакоопределенные, поэтому откинув кусок границы получим неравенство
$$ \int \limits_{x \leqslant a} \sigma vd\Gamma \leqslant -2a \ln \varepsilon $$
Потенциал $v(y,r)$ этого отрезка в точке $(y,r)$ дается интегралом
$$v = \int \limits_0^a \frac{dx}{\sqrt{(x-y)^2 + r^2}}$$
Далее, произвольная точка границы $z \in \partial \Omega$ лежит на расстоянии $d(z) \leqslant B\varepsilon$. Нам нужна оценка снизу на этот интеграл. Потенциал в точке на расстоянии $d$ от отрезка принимает минимум на оси и равен
$$v_0 = \int \limits_0^a \frac{dx}{x + d} = \ln (a + d) - \ln d$$
Для его дальнейшего уменьшения полагаем $d = B\varepsilon$. Отсюда оценка
$$ (\ln (a + B\varepsilon) - \ln B\varepsilon)\int \limits_{x \leqslant a} \sigma d\Gamma \leqslant -2a \ln \varepsilon  $$
$$ \int \limits_{x \leqslant a} \sigma d\Gamma \leqslant \frac {-2 \ln \varepsilon}{\ln (a + B\varepsilon) - \ln B\varepsilon}a $$
При условии $a \gg \varepsilon$ множитель в правой части легко привести к виду
$$ C\left ( 1 + \frac{O(\ln a) + O(1) }{\ln \varepsilon} \right )$$

-- Вт мар 17, 2015 10:21:06 --

sup в сообщении #991226 писал(а):
В результате получаем
$$ (-2\ln \varepsilon + O(1))\int \limits_{a+d \leqslant x \leqslant b- d}\sigma d\Gamma = -2(b-a)\ln \varepsilon +O(1/d) + O(d|\ln \varepsilon|)$$

А вот здесь слегка проврался. Слева множитель $(-2\ln \varepsilon + O(\ln d))$. Но на результат это вроде бы не влияет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на иголке.
Сообщение17.03.2015, 07:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
9407
Hogtown
Да, Вы упоминали, но было неясно, что такое $v$.

sup в сообщении #991347 писал(а):
Отсюда, интегрируя по частям (я уже упоминал об этом),
$$ \int \limits_{\Gamma } \sigma vd\Gamma = -2a \ln \varepsilon $$


Поскольку $\sigma = -\frac{1}{4\pi}\varphi_n$, $\Delta\varphi=\Delta v=0$ вне сосиски, мы получим что левый интеграл равен $ -\frac{1}{4\pi}\int_\Gamma \varphi v_n $. Теперь вытаскиваем $\varphi=-2\ln \varepsilon$ и получаем внутри по Гауссу $4\pi a$ т.е. он будет как раз правой части. Так?

Но чтобы это все прошло , потенциал $\varphi$ должен стремиться к $0$ на бесконечности, а мы его назначили на $\Gamma$. Но наверно, если назначить $\varphi=0$ на бесконечности, то можно оценить $\varphi$ на $\Gamma$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на иголке.
Сообщение17.03.2015, 08:03 
Заслуженный участник


22/11/10
1147
А я там как раз с константами вроде бы все подогнал. Интегральное тождество и теорема Гаусса:
$$\int \varphi_n v d\Gamma = \int \varphi v_n d\Gamma = 2 \ln \varepsilon (4\pi G)$$
Ну а теперь $4 \pi \sigma = -\varphi_n$. После этого $4\pi$ сокращается.
Там наверняка можно лучше получить оценки. Я вообще хотел только лишь оценить заряд на краю, а потом решил и некую асимтотику для отрезка написать. Огрехи, возможно, есть, но не думаю, что принципиальные. Все равно надо уточнять, что скрывается за всеми этими $\gg$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на иголке.
Сообщение17.03.2015, 08:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
9407
Hogtown
$\varphi$ он вне сосиски?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 308 ]  На страницу Пред.  1 ... 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21  След.

Модераторы: Jnrty, whiterussian, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group