2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 17, 18, 19, 20, 21
 
 Re: Распределение заряда на иголке.
Сообщение25.03.2015, 00:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
2869
amon в сообщении #995236 писал(а):
Для нечетного числа в середину можно, наверно, вставить почти что угодно

У меня получалось, тупым нахождением обратной матрицы для (силового) равновесия зарядов, что чётная и нечётная компоненты "живут" "независимо" (без фиксации концовых зарядов). А требование минимальности суммарной энергии приводит к их расхождению. Т.е., ф-ция (плотность заряда), вообще говоря, не получается непрерывной...
Может быть, я просто где-то тривиально ошибся. Очень не хватает времени перепроверить....

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на иголке.
Сообщение25.03.2015, 01:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
9710
Geen в сообщении #995246 писал(а):
чётная и нечётная компоненты "живут" "независимо"

Так а что удивительного? Принцип суперпозиции же...

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на иголке.
Сообщение25.03.2015, 01:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
4161
ФТИ им. Иоффе СПб
Geen в сообщении #995246 писал(а):
(без фиксации концовых зарядов)

А так на равномерной сетке, по-моему, нельзя, поскольку тогда есть решение заряды на концах, и кирдык.
Утундрий в сообщении #995251 писал(а):
Так а что удивительного? Принцип суперпозиции же...

Так это, не поле ищем, а равновесие, а это вроде как нелинейная задача, и суперпозиции нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на иголке.
Сообщение25.03.2015, 06:21 
Заслуженный участник


22/11/10
1153
amon в сообщении #995254 писал(а):
Так это, не поле ищем, а равновесие, а это вроде как нелинейная задача, и суперпозиции нет.

В данном случае задача линейная. Мы решаем систему линейных уравнений относительно неизвестных зарядов в узлах решетки. Нелинейная задача возникает, когда все заряды одинаковые, но не известно их расположение.
Geen в сообщении #995246 писал(а):
У меня получалось, тупым нахождением обратной матрицы для (силового) равновесия зарядов, что чётная и нечётная компоненты "живут" "независимо"

Не знаю что и сказать. Я, разумеется, руками эту систему не решал. "Нечетный" случай мне кажется вырожденным (в центр можно помещать "что угодно"). Поэтому я его не рассматривал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на иголке.
Сообщение25.03.2015, 10:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
2869
sup в сообщении #995266 писал(а):
"Нечетный" случай мне кажется вырожденным (в центр можно помещать "что угодно"). Поэтому я его не рассматривал.

У меня получалось, что в " чётном" случае симметрию выгодно нарушить.
Попробую попозже подробнее написать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на иголке.
Сообщение26.03.2015, 13:57 
Заслуженный участник


22/11/10
1153
Я обещал доказать соотношение $q_k \sim \frac {1}{\sqrt {\ln (k+2)}}$. Не думаю, что всем так уж интересно продираться сквозь все эти технические выкладки. Но проще не получается.
В целом, все аналогично предыдущему. Главную роль играет следующее утверждение (частный случай леммы Гронуолла). Пусть $A, C_0 \geqslant 0$, $a > 1$ и при $x \geqslant 0$
$$ 2q(x)(A+\ln (a+x))  \leqslant C_0 + \int \limits_0^x \frac {q(t)}{a+t}dt$$
Тогда
$$q(x) \leqslant \frac {C_1}{\sqrt {A + \ln (a+x)}}$$
Для доказательства достаточно поделить обе части неравенства на $(a+x) (A+\ln (a+x))^{3/2}$ и проинтегрировать. Аналогично этому можно рассматривать и обратное неравенство. Рассуждения абсолютно аналогичные. Эти результаты обобщаются и на дискретный случай. Только интегрирование надо заменить на суммирование. Детали я опускаю.
Далее. Сначала доказывается неравенство, характеризующее "непрерывность" заряда $q_k$. Для $m > k$
$$q_k - q_m = O \left ( \frac {\ln m - \ln k}{ (1 + \ln (m - k ))} \right )$$
Полагая $l = m-k$ получаем
$$q_k - q_{k + l} = O \left ( \frac {l}{ k (1+ \ln l )} \right )$$
Доказательство я не привожу. Оно аналогично предыдущему. Рассматриваем соответствующий диагональный минор и "тупо" оцениваем.
Ну а теперь выберем некое $l \leqslant n/2$ и просуммируем уравнения $(1)$ при $1 \leqslant k \leqslant l$ (заряды правой половины иглы мы грубо оцениваем сверху как $1$)
$$\sum \limits_{k=1}^{l} \left (\sum \limits_{0 \leqslant j < k}\frac {q_j}{(k-j)^2} - \sum \limits_{k < j \leqslant  n}\frac {q_j}{(j -k)^2} \right ) = O(1/n)$$
Сейчас мы займемся преобразованиями. Но для понимания дальнейшего я приведу неформальный, но более наглядный непрерывный аналог
$$C + \int \limits_1^l q(x)\left (\frac{1}{x} - \frac{1}{l-x} \right )dx \approx Cq(l) + \int \limits_{x > l} q(x) \left (\frac{1}{x-l} - \frac{1}{x} \right )dx$$
В нем уже просматриваются контуры равенства
$$C + \int \limits_0^l \frac{q(x)}{x}dx \approx 2q(l) \ln l$$
Надо лишь оценить все "лишнее". Ну а затем применим лемму Гронуолла. Всюду ниже можно мысленно заменять $S_j$ на $\frac 1j$ и сравнивать с тем наглядным выражением, что я написал выше.
Преобразуем
$$(S_1 - S_{l+1})q_0 + \sum \limits_{1 \leqslant j < l} q_j(S_{j+1} - S_{l+1-j}) = (S_1 - S_{l+1})q_l + \sum \limits_{l < j \leqslant  n}q_j(S_{j+1- l} - S_{j+1}) + O(1/n)$$
Сумму в правой части можно еще преобразовать так
$$ \sum \limits_{l < j \leqslant  n}q_j(S_{j+1- l} - S_{j+1}) = \sum \limits_{i = 1}^l q_{l+i}S_{i+1} - \sum \limits_{l < j \leqslant  n} S_{j+1}(q_j - q_{j+l}) $$
Эти неравенства можно использовать для оценок и сверху и снизу. Напомним, что $S_j \sim 1/j$. А значит их сумма ведет себя как логарифм плюс константа плюс что-то малое. Для оценки снизу отбросим справа отрицательную сумму и получим
$$(S_1 - S_{l+1})q_0 + \sum \limits_{1 \leqslant j < l} q_j(S_{j+1} - S_{l+1-j}) \leqslant (S_1 - S_{l+1})q_l + \sum \limits_{i = 1}^l q_{l+i}S_{i+1} + O(1/n)$$
Пользуясь монотонностью $q_k$ правую часть можно еще усилить, заменив $q_{l+j}$ на $q_{l}$. В результате
$$O(1/n) + (S_1 - S_{l+1})q_0 + \sum \limits_{1 \leqslant j < l} q_jS_{j+1} \leqslant q_l\sum \limits_{i = 1}^l S_i + \sum \limits_{1 \leqslant j < l} q_jS_{l+1-j}$$
Применим к сумме в правой части неравенство непрерывности
$$\sum \limits_{1 \leqslant j < l} q_jS_{l+1-j} = q_l\sum \limits_{1 \leqslant j < l} S_{1+j} + \sum \limits_{1 \leqslant j < l} S_{1+j}(q_{l-j}-q_l)  \leqslant q_l\sum \limits_{1 \leqslant j < l} S_{1+j}  + \varepsilon + C(\varepsilon)O(\frac {1}{\ln l})$$
После чего, наконец-то, получаем
$$2q_l\sum \limits_{i = 1}^l S_i \geqslant (S_1 - \varepsilon)q_0 - C(\varepsilon)O(1/\ln l) + \sum \limits_{1 \leqslant j < l} q_jS_{j+1} $$
Теперь осталось только выбрать $l \geqslant a$ так, чтобы константа в правой части стала положительной (иначе получим "неинтересное" неравенство). При этом $a$ не зависит от $n$. После чего применяем дискретный аналог леммы Гронуолла.
Оценка сверху получается аналогично.
Если не проврался, то имеем по порядку величины $q_k \sim \frac {1}{\sqrt {\ln (k+2)}}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на иголке.
Сообщение26.03.2015, 16:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
2869
Изложение моих стараний :-)

Итак, возьмём отрезок длины $n$, разместим в точках от $0$ до $n$ (включительно) заряды и потребуем:
1) заряды неотрицательны;
2) для внутренних точек (от $1$ до $n-1$) сила, действующая на них со стороны остальных зарядов равна нулю;
3) суммарная потенциальная энергия минимальна

Для решения второго пункта составим систему линейных уравнений $$\mathbf A \mathbf q=\mathbf b$$ (где $\mathbf A$ квадратная матрица, а $\mathbf q$ и $\mathbf b$ столбцы; все размера $n+1$) следующим образом:
Возьмём $\mathbf A$ так, что диагональ нулевая, нижний треугольник положительный, верхний отрицательный, модуль значений элементов есть обратный квадрат расстояния (Манхеттеновского) до диагонали ($a_{ij}=\mathrm{sign}(i-j)\frac{1}{(i-j)^2}$);
заменим первую строку на $(1,0,\dots,0)$, а последнюю на $(1,1,\dots,1)$.
Столбец $\mathbf b$ нулевой за исключением первого элемента равного $p$ (неопределённый пока параметр) и последнего, равного 1 - суммарный заряд отрезка.
Найдём матрицу $\mathbf W$ обратную к $\mathbf A$. Решением будет сумма первого столбца этой матрицы с коэффициентом $p$ и последнего $\mathbf q(p)=\mathbf w_0 p+\mathbf w_n$.

Оба столбца знакопеременные и противоположны друг другу (по знаку). Поэтому, учёт первого пункта условия даёт ограничение на возможные значения $p$.

Таким образом получено однопараметрическое семейство решений с неотрицательными зарядами и равновесием внутренних.
В этом семействе надо выбрать какое-то решение с минимальной энергией.
В общем виде, эта энергия представима формулой $$\mathbf q(p)^T(\mathbf R+K\mathbf E)\mathbf q(p)$$, где матрица $\mathbf R$ представляет вклад взаимодействия зарядов (устроена аналогично матрице $\mathbf A$, только вся неотрицательна, а вместо квадрата стоит модуль $r_{ij}=\frac{\mathrm{sign}(i-j)}{i-j}$ (диагональ нулевая)), $\mathbf E$ - единичная матрица, $K$ - некий параметр.
При $K$ равном нулю мы полностью пренебрегаем самодействием, при бесконечности - взаимодействием зарядов.
В любом случае имеем полином второй степени относительно $p$.
В отсутствие самодействия имеем следующее выражение для энергии: $\mathbf w_0^T\mathbf R\mathbf w_0 p^2+2\mathbf w_0^T\mathbf R\mathbf w_np$ ($\mathbf w_n^T\mathbf R\mathbf w_n=0$). В этом выражении первое слагаемое отрицательно! Это означает, что $p$ надо выбирать на краю возможного диапазона (максимальное значение).
При пренебрежении взаимодействием просто имеем сумму квадратов зарядов (очевидно, что минимум достигается при значении $p$ лежащим внутри допустимого диапазона). Что может быть интересно, при чётном числе зарядов (нечётном $n$) экстремумы обоих выражений совпадают и соответствуют равенству зарядов на концах.

"Красивая" гладкая кривая распределения получается только при чётном числе зарядов и пренебрежении взаимодействием.

Если вдруг надо, код для Matlab/Scilab могу приложить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на иголке.
Сообщение26.03.2015, 17:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
2869
Небольшое добавление "о концах".
Рассматривая случай чётного числа зарядов с самодействием, можно определить конец отрезка, например, как расстояние, на котором заряд станет меньше среднего. Вроде бы получается, что эта точка вообще не зависит от $n$ и отстоит примерно на 0.1418 длины отрезка от края, а суммарный заряд этого конца при больших $n$ составляет 0.155....

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 308 ]  На страницу Пред.  1 ... 17, 18, 19, 20, 21

Модераторы: photon, Aer, whiterussian, Jnrty, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group