Диск Эйнштейна

[epros]

SergeyGubanov в сообщении #989323 писал(а):

http://www.dissercat.com/content/negolonomnye-giperpoverkhnosti-vrashcheniya-v-trekhmernom-i-chetyrekhmernom-evklidovykh-pros#ixzz3UB4I4bLZ
...
Этот термин использовали после него и другие авторы (см., например, [26]), понимая, что "неголономная поверхность" не является поверхностью

О, спасибо. Это просто песня. Я самообразовался от души. И вот эту "неголономную поверхность", которая даже и не поверхность, Вы пытаетесь нам втюхать в качестве гиперповерхности одновременности для вращающейся СО?

SergeyGubanov в сообщении #989323 писал(а):

Никакого другого времени кроме собственного не существует.

Это какая-то бессмысленная игра в слова. Время существует ровно такое, как мы определим. Например, в спутниках GPS часы специально подкручены таким образом, чтобы идти чуть быстрее собственного времени спутника. Тем не менее, то, что они показывают, это тоже время.

SergeyGubanov в сообщении #989323 писал(а):

epros в сообщении #989271 писал(а):

А что такое "эта" система отсчёта?

Вот эта:

SergeyGubanov в сообщении #982831 писал(а):

$$ e^{(0)} = \frac{c \, dt - \frac{v}{c} \, r \sin(\theta) \, d\varphi }{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}, \quad e^{(1)} = dr, \quad e^{(2)} = r \, d\theta, \quad e^{(3)} = \frac{r \sin(\theta) \, d\varphi - v \, dt}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}. $$

Это выражение, которое Вы именуете СО, вообще никакого системного времени не определяет. И как быть?

[SergeyGubanov]

schekn в сообщении #989422 писал(а):

Длину окружности.

Вычисляем длину окружности $\ell$ в системе отсчёта:

$$ e^{(0)} = \frac{c \, dt - \frac{v}{c} \, r \sin(\theta) \, d\varphi }{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}, \quad e^{(1)} = dr, \quad e^{(2)} = r \, d\theta, \quad e^{(3)} = \frac{r \sin(\theta) \, d\varphi - v \, dt}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}. \eqno(1) $$

Уравнение окружности $x^{\mu}(\ell)$:

$$dx^{\mu} = \frac{dx^{\mu}}{d \ell} \, d\ell, \quad e^{(0)} = 0, \quad e^{(1)} = 0, \quad e^{(2)} = 0, \quad e^{(3)} = d\ell. \eqno(2) $$

В явном виде:

$$ \frac{dt}{d\ell} = \frac{v}{c^2} \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}, \quad \frac{dr}{d\ell} = 0, \quad \frac{d\theta}{d\ell} = 0, \quad \frac{d \varphi}{d \ell} = \frac{1}{r \sin(\theta)} \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}. \eqno(3) $$

Уравнение мировой линии $x^{\mu}(s)$:

$$dx^{\mu} = \frac{dx^{\mu}}{d s} \, ds, \quad e^{(0)} = ds, \quad e^{(1)} = 0, \quad e^{(2)} = 0, \quad e^{(3)} = 0. \eqno(4) $$

В явном виде:

$$ \frac{dt}{ds} = \frac{1}{c} \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}, \quad \frac{dr}{ds} = 0, \quad \frac{d\theta}{ds} = 0, \quad \frac{d \varphi}{d s} = \frac{1}{r \sin(\theta)} \frac{v}{c} \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}. \eqno(5) $$

Надо найти два решения системы уравнений (5), то есть найти две мировых линии. Первая мировая линия проходит через точку $t=0$, $\varphi=0$. Вторая мировая линия проходит через точку $t=0$, $\varphi=2 \pi$. Расстояние между этими двумя мировыми линиями вычисленное вдоль линии окружности (3) и есть искомая длина окружности $\ell$. Собственно это всё.

Доведу расчёт до конца для стационарного осесиметричного случая, то есть когда скорость $v(r, \theta)$ не зависит от $t$ и не зависит от $\varphi$.

Из (3) находим окружность проходящую через точку $t=0$, $\varphi=0$:

$$ t(\ell) = \frac{\ell v}{c^2} \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}, \quad r(\ell) = \operatorname{const}, \quad \theta(\ell) = \operatorname{const}, \quad \varphi(\ell) = \frac{\ell}{r \sin(\theta)} \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}. \eqno(6) $$

Из (5) находим мировую линию проходящую через точку $t=0$, $\varphi=2\pi$:

$$ t(s) = \frac{s}{c} \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}, \quad r(s) = \operatorname{const}, \quad \theta(s) = \operatorname{const}, \quad \varphi(s) = 2\pi + \frac{v s}{c \, r \sin(\theta)} \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}. \eqno(7) $$

Находим точку пересечения линии (6) с линией (7):

$$ \ell = \frac{2\pi r \sin(\theta)}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}, \quad s = \frac{v}{c} \frac{2\pi r \sin(\theta)}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}. \eqno(8) $$

epros в сообщении #989625 писал(а):

Время существует ровно такое, как мы определим.

Это бред.

epros в сообщении #989625 писал(а):

Это выражение, которое Вы именуете СО, вообще никакого системного времени не определяет. И как быть?

Бесконечно малый промежуток времени там обозначен символом $e^{(0)}$. А как быть известно: надо учиться, учиться и ещё раз учиться.

[epros]

SergeyGubanov в сообщении #989694 писал(а):

Бесконечно малый промежуток времени там обозначен символом $e^{(0)}$. А как быть известно: надо учиться, учиться и ещё раз учиться.

Вот-вот, идите-ка учиться, прежде, чем нести здесь всякий бред. А то заморочили себе голову чистой математикой, а к чему она относится, не фига не поняли:
1) И одновременность у Вас определяется такой гиперповерхностью, которая и не гиперповерхность вовсе.
2) И время у Вас перепутано с бесконечно малым "промежутком" собственного времени (цитата выше).
3) И при расчёте длины окружности (в предыдущем посте) Вы фиг знает что несёте. Вы хоть понимаете, к какому именно моменту времени относится Ваше значение длины окружности? Вот Вам конкретизация условий задачи: Карусель раскручивается относительно лабораторной ИСО с постоянным угловым ускорением $1000 s^{-2}$, в СО карусели найти зависимость длины окружности с заданным радиусом $1000 m$ от показаний находящихся на ней часов, запущенных в момент начала раскрутки карусели. Второй вопрос: Записать уравнение той гиперповерхности, измерение вдоль которой даст значение длины этой окружности вдвое больше, чем $2\pi r$.

[SergeyGubanov]

epros в сообщении #990942 писал(а):

SergeyGubanov в сообщении #989694 писал(а):

Бесконечно малый промежуток времени там обозначен символом $e^{(0)}$. А как быть известно: надо учиться, учиться и ещё раз учиться.

Вот-вот, идите-ка учиться, прежде, чем нести здесь всякий бред. А то заморочили себе голову чистой математикой, а к чему она относится, не фига не поняли:
1) И одновременность у Вас определяется такой гиперповерхностью, которая и не гиперповерхность вовсе.
2) И время у Вас перепутано с бесконечно малым "промежутком" собственного времени (цитата выше).
3) И при расчёте длины окружности (в предыдущем посте) Вы фиг знает что несёте. Вы хоть понимаете, к какому именно моменту времени относится Ваше значение длины окружности?

epros в сообщении #990942 писал(а):

Вот Вам конкретизация условий задачи: Карусель раскручивается относительно лабораторной ИСО с постоянным угловым ускорением $1000 s^{-2}$, в СО карусели найти зависимость длины окружности с заданным радиусом $1000 m$ от показаний находящихся на ней часов, запущенных в момент начала раскрутки карусели. Второй вопрос: Записать уравнение той гиперповерхности, измерение вдоль которой даст значение длины этой окружности вдвое больше, чем $2\pi r$.

Приучайте себя формулировать условие задачи точно. То что Вы написали можно истолковать так:

$$v(t, r, \theta) = \begin{cases} 0 \quad \text{при} \quad t \le 0 \\ \varepsilon \, t \, r \sin(\theta) \quad \text{при} \quad 0 \le t \le \frac{c}{\varepsilon r \sin(\theta)} \\ c \quad \text{при} \quad t \ge \frac{c}{\varepsilon r \sin(\theta)}. \end{cases}$$

Что физически нереализуемо: $v=c$ при $t \ge \frac{c}{\varepsilon r \sin(\theta)}$.

Вот так будет сильно лучше:

$$v(t, r, \theta) = \begin{cases} 0 \quad \text{при} \quad t \le 0 \\ \varepsilon \, t \, r \sin(\theta) \quad \text{при} \quad 0 \le t \le \frac{v_{\max}}{\varepsilon r \sin(\theta)}, \quad v_{\max} < c \\ v_{\max} \quad \text{при} \quad t \ge \frac{v_{\max}}{\varepsilon r \sin(\theta)}, \quad v_{\max} < c. \end{cases}$$

Согласны?

[epros]

SergeyGubanov в сообщении #990960 писал(а):

Приучайте себя формулировать условие задачи точно. То что Вы написали можно истолковать так:

Приучайте себя внимательно читать то, что сформулировано точно, и не домысливать то, что не сформулировано. Условия задачи невозможно истолковать двояко. Касательно того, что физически нереализуемо: Никто не заставляет Вас лезть в эти области. То бишь, нигде не сказано, что карусель бесконечного радиуса или что её ускоренная раскрутка будет продолжаться бесконечно долго.

Меня, собственно, интересует только одно: Каким образом Вы определите "момент", в который измерена длина окружности. Т.е. как Вы определите соответствующую гиперповерхность. Сразу предупреждаю, что незамкнутый отрезок спирали за гиперповерхность не сойдёт, нужна именно гиперповерхность.

[SergeyGubanov]

epros в сообщении #990996 писал(а):

Меня, собственно, интересует только одно: Каким образом Вы определите "момент", в который измерена длина окружности. Т.е. как Вы определите соответствующую гиперповерхность. Сразу предупреждаю, что незамкнутый отрезок спирали за гиперповерхность не сойдёт, нужна именно гиперповерхность.

Гиперповерхность постоянного времени на которой измеряется длина окружности определяется системой уравнений (2).

Обозначим $R = r \sin(\theta)$, $v_{\max} = \omega R$.

Из системы уравнений (5) находим первую и вторую мировые линии:

$$ t(\varphi) = \begin{cases} \sqrt{\frac{2 \varphi }{\varepsilon}}, \quad \text{при} \quad \varphi \le \frac{\omega^2}{2 \varepsilon} \\ \frac{\omega}{2 \varepsilon} + \frac{\varphi}{\omega}, \quad \text{при} \quad \varphi \ge \frac{\omega^2}{2 \varepsilon} \end{cases} $$

$$ t(\varphi) = \begin{cases} \sqrt{\frac{2 (\varphi - 2 \pi) }{\varepsilon}}, \quad \text{при} \quad \varphi - 2 \pi \le \frac{\omega^2}{2 \varepsilon} \\ \frac{\omega}{2 \varepsilon} + \frac{\varphi - 2 \pi}{\omega}, \quad \text{при} \quad \varphi - 2 \pi \ge \frac{\omega^2}{2 \varepsilon} \end{cases} $$

Выглядят они примерно так (по вертикальной оси $t$, по горизонтальной $\varphi$):

Из системы уравнений (3) находим семейство гиперповерхностей постоянного времени (гиперповерхности нумеруется параметром $\alpha$):

$$ t(\varphi) = \begin{cases} \frac{\omega}{\varepsilon} \exp \left( \frac{\varepsilon R^2}{c^2} (\varphi - \alpha) \right), \quad \text{при} \quad \varphi \le \alpha \\ \frac{\omega}{\varepsilon} + \frac{\omega R^2}{c^2} (\varphi - \alpha), \quad \text{при} \quad \varphi \ge \alpha \end{cases} $$

Выглядят они примерно так (зелёные линии):

Интересующая нас длина окружности есть интеграл от $e^{(3)}$ взятый между двумя красными линиями вдоль зелёной линии (линии, разумеется, в пространстве Минковского).

Посколько интеграл громоздкий, а уравнения на нахождение точек пересечения красных и зелёных линий трансцендентные, то до конца расчёт довести затрудняюсь, можете попробовать сами...

[epros]

SergeyGubanov в сообщении #991044 писал(а):

Интересующая нас длина окружности есть интеграл от $e^{(3)}$ взятый между двумя красными линиями вдоль зелёной линии

Да ну? Всё таки Вы мне пытаетесь подсунуть отрезок спирали. Напоминаю, что мне нужна не линия, а гиперповерхность. Чтобы можно было говорить не только о длине этой окружности, но и о длине радиуса, и о длине других окружностей, и о длине вообще любых линий трёхмерия в этот момент времени. А по Вашему отрезку нельзя даже судить о том, к какому именно моменту времени относится его длина: На левом конце -- одни показания часов, а на правом -- другие. Хотя сами часы на обоих концах одни и те же?

[SergeyGubanov]

epros в сообщении #991057 писал(а):

Да ну? Всё таки Вы мне пытаетесь подсунуть отрезок спирали. Напоминаю, что мне нужна не линия, а гиперповерхность. Чтобы можно было говорить не только о длине этой окружности, но и о длине радиуса, и о длине других окружностей, и о длине вообще любых линий трёхмерия в этот момент времени.

Система уравнений для вычисления длин вообще любых линий:

$$ \begin{cases} e^{\bf (0)} = 0, \\ d \ell^2 = \left( e^{\bf (1)} \right)^2 + \left( e^{\bf (2)} \right)^2 + \left( e^{\bf (3)} \right)^2. \end{cases} $$

Аналогично, 2-формы $e^{\bf (1)} \wedge e^{\bf (2)}$, $e^{\bf (1)} \wedge e^{\bf (3)}$, $e^{\bf (2)} \wedge e^{\bf (3)}$ взятые при $e^{\bf (0)} = 0$ являются бесконечно малыми элементами вообще любой двумерной поверхности в этой системе отсчёта.

Аналогично, 3-форма $e^{\bf (1)} \wedge e^{\bf (2)} \wedge e^{\bf (3)}$ взятая при $e^{\bf (0)} = 0$ является бесконечно малым элементом вообще любого трёхмерного объёма в этой системе отсчёта.

Да, кстати, длина радиуса: $\ell = r$.

epros в сообщении #991057 писал(а):

А по Вашему отрезку нельзя даже судить о том, к какому именно моменту времени относится его длина: На левом конце -- одни показания часов, а на правом -- другие. Хотя сами часы на обоих концах одни и те же?

Относятся к одному и тому же моменту времени по той простой причине, что вдоль окружности $e^{\bf (0)} = 0$.

Что касается "скачка" времени:

SergeyGubanov в сообщении #989694 писал(а):

$$\ell = \frac{2\pi r \sin(\theta)}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}, \quad s = \frac{v}{c} \frac{2\pi r \sin(\theta)}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}. \eqno(8) $$

то это известный эффект Саньяка. Дело в том, что любая неинерциальная система отсчёта имеет ограниченную область действия. В частности, вращающаяся система отсчёта ограничена не только в пространстве, но и во времени:

$$ - \frac{v}{c^2} \frac{2\pi r \sin(\theta)}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} < \tau < +\frac{v}{c^2} \frac{2\pi r \sin(\theta)}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}. $$

Там где происходит скачок времени там этой системы отсчёта уже нет, её область действия заканчивается чуть раньше.

[epros]

SergeyGubanov в сообщении #991105 писал(а):

Аналогично, 3-форма $e^{\bf (1)} \wedge e^{\bf (2)} \wedge e^{\bf (3)}$ взятая при $e^{\bf (0)} = 0$ является бесконечно малым элементом вообще любого трёхмерного объёма в этой системе отсчёта.

Мне нужны не "бесконечно малые элементы", из которых ничего невозможно сложить, а гиперповерхность. Знаете, это такая штука, которую можно определить формулой вида $f (t, r, \theta, \varphi) = 0$.

SergeyGubanov в сообщении #991105 писал(а):

Относятся к одному и тому же моменту времени по той простой причине, что вдоль окружности $e^{\bf (0)} = 0$.

О ужас, ужас. Воистину:

epros в сообщении #990942 писал(а):

2) И время у Вас перепутано с бесконечно малым "промежутком" собственного времени

Я не зря в условии задачи просил Вас найти длину окружности как функцию показаний часов: чтобы Вы не пудрили нам мозги своими нестандартными определениями времени. Есть часы, запущенные в момент начала раскрутки карусели, и в некий данный момент они показывают конкретное значение, которое называется "время".

Так вот, я хочу знать, какому времени соответствует зелёная линия: Тому, что эти часы показывают на левом её конце или на правом её конце. Если Вам вопрос непонятен, то мне останется только усомниться в том, что я сейчас общаюсь с мыслящим человеком.

SergeyGubanov в сообщении #991105 писал(а):

Что касается "скачка" времени:

SergeyGubanov в сообщении #989694 писал(а):

$$\ell = \frac{2\pi r \sin(\theta)}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}, \quad s = \frac{v}{c} \frac{2\pi r \sin(\theta)}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}. \eqno(8) $$

то это известный эффект Саньяка. Дело в том, что любая неинерциальная система отсчёта имеет ограниченную область действия. В частности, вращающаяся система отсчёта ограничена не только в пространстве, но и во времени:

$$ - \frac{v}{c^2} \frac{2\pi r \sin(\theta)}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} < \tau < +\frac{v}{c^2} \frac{2\pi r \sin(\theta)}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}. $$

Там где происходит скачок времени там этой системы отсчёта уже нет, её область действия заканчивается чуть раньше.

Это хорошо, что Вы правильно вспомнили название эффекта. Может быть Вы даже вспомните принцип устройства лазерного гироскопа. Увы, это не избавляет нас от того, что в остальном Вы несёте пургу. Разумеется, система отсчёта определена не обязательно везде. Но на всей измеряемой окружности в момент измерения она определена -- никаких разрывов там нет. И то, что у Вас получается разная длина этой окружности в зависимости от того, измеряете ли Вы её по направлению вращения или против, это проблема только Ваших "кривых рук"

[SergeyGubanov]

epros в сообщении #991181 писал(а):

SergeyGubanov в сообщении #991105 писал(а):

Аналогично, 3-форма $e^{\bf (1)} \wedge e^{\bf (2)} \wedge e^{\bf (3)}$ взятая при $e^{\bf (0)} = 0$ является бесконечно малым элементом вообще любого трёхмерного объёма в этой системе отсчёта.

Мне нужны не "бесконечно малые элементы", из которых ничего невозможно сложить, а гиперповерхность. Знаете, это такая штука, которую можно определить формулой вида $f (t, r, \theta, \varphi) = 0$.

Видите ли в чём дело, для интегрирования длины нужно знать бесконечно малый элемент длины. Для интегрирования площади нужно знать бесконечно малый элемент площади. А для интегрирования объёма нужно знать бесконечно малый элемент объёма. Вижу для Вас это является новостью.

Теперь что касается гиперповерхности постоянного времени. Видите ли в чём дело, в общем случае она не может быть задана таким простым уравнением: $f (t, r, \theta, \varphi) = 0$, а задаётся она более сложным уравнением: $e^{\bf (0)} = 0$. Вижу и это тоже для Вас является новостью несмотря на то, что мы с Вами об этом говорим уже несколько недель.

epros в сообщении #991181 писал(а):

SergeyGubanov в сообщении #991105 писал(а):

Относятся к одному и тому же моменту времени по той простой причине, что вдоль окружности $e^{\bf (0)} = 0$.

О ужас, ужас. Воистину:

epros в сообщении #990942 писал(а):

2) И время у Вас перепутано с бесконечно малым "промежутком" собственного времени

Я не зря в условии задачи просил Вас найти длину окружности как функцию показаний часов: чтобы Вы не пудрили нам мозги своими нестандартными определениями времени. Есть часы, запущенные в момент начала раскрутки карусели, и в некий данный момент они показывают конкретное значение, которое называется "время".

Так вот, я хочу знать, какому времени соответствует зелёная линия: Тому, что эти часы показывают на левом её конце или на правом её конце. Если Вам вопрос непонятен, то мне останется только усомниться в том, что я сейчас общаюсь с мыслящим человеком.

Показания часов расположенных на геометрической фигуре определяемой системой уравнений (2) являются о д и н а к о в ы м и по той простой причине, что одно из уравнений системы уравнений (2) выглядит (буквально показываю пальцем) вот так: $e^{\bf (0)} = 0$. Расшифровываю: на геометрической фигуре определяемой системой уравнений (2) бесконечно малое изменение времени равно нулю, это означает одинаковость показаний часов.

epros в сообщении #991181 писал(а):

SergeyGubanov в сообщении #991105 писал(а):

Что касается "скачка" времени:

SergeyGubanov в сообщении #989694 писал(а):

$$\ell = \frac{2\pi r \sin(\theta)}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}, \quad s = \frac{v}{c} \frac{2\pi r \sin(\theta)}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}. \eqno(8) $$

то это известный эффект Саньяка. Дело в том, что любая неинерциальная система отсчёта имеет ограниченную область действия. В частности, вращающаяся система отсчёта ограничена не только в пространстве, но и во времени:

$$ - \frac{v}{c^2} \frac{2\pi r \sin(\theta)}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} < \tau < +\frac{v}{c^2} \frac{2\pi r \sin(\theta)}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}. $$

Там где происходит скачок времени там этой системы отсчёта уже нет, её область действия заканчивается чуть раньше.

Это хорошо, что Вы правильно вспомнили название эффекта. Может быть Вы даже вспомните принцип устройства лазерного гироскопа. Увы, это не избавляет нас от того, что в остальном Вы несёте пургу. Разумеется, система отсчёта определена не обязательно везде. Но на всей измеряемой окружности в момент измерения она определена -- никаких разрывов там нет. И то, что у Вас получается разная длина этой окружности в зависимости от того, измеряете ли Вы её по направлению вращения или против, это проблема только Ваших "кривых рук"

Чего-чего? Разная длина? Ну-ну...

[epros]

SergeyGubanov в сообщении #991510 писал(а):

Видите ли в чём дело, для интегрирования длины нужно знать бесконечно малый элемент длины. Для интегрирования площади нужно знать бесконечно малый элемент площади. А для интегрирования объёма нужно знать бесконечно малый элемент объёма. Вижу для Вас это является новостью.

Вы не слышите вопрос? Меня не интересуют Ваши объяснения способов интегрирования, я просил предъявить гиперповерхность.

SergeyGubanov в сообщении #991510 писал(а):

Теперь что касается гиперповерхности постоянного времени. Видите ли в чём дело, в общем случае она не может быть задана таким простым уравнением: $f (t, r, \theta, \varphi) = 0$, а задаётся она более сложным уравнением: $e^{\bf (0)} = 0$. Вижу и это тоже для Вас является новостью несмотря на то, что мы с Вами об этом говорим уже несколько недель.

Вы можете говорить об этом хоть несколько лет, но для меня это не новость, а глупость. Гиперповерхность -- это в первую очередь подмножество точек четырёхмерия. И будьте добры это подмножество однозначно определить. Кстати, "таким простым уравнением" может быть задано любое подмножество, которое даже и не гиперповерхность на самом деле.

SergeyGubanov в сообщении #991510 писал(а):

Показания часов расположенных на геометрической фигуре определяемой системой уравнений (2) являются о д и н а к о в ы м и по той простой причине, что одно из уравнений системы уравнений (2) выглядит (буквально показываю пальцем) вот так: $e^{\bf (0)} = 0$. Расшифровываю: на геометрической фигуре определяемой системой уравнений (2) бесконечно малое изменение времени равно нулю, это означает одинаковость показаний часов.

Меня не интересуют Ваши бредовые соображения о том, что Вы считаете "одинаковостью показаний часов". Просто озвучьте конкретную цифру этих показаний, в минутах и секундах.

SergeyGubanov в сообщении #991510 писал(а):

Чего-чего? Разная длина? Ну-ну...

Ну, выбирайте: разные варианты длины при заданных показаниях часов или разные показания часов при заданной длине. В зависимости от того, левый или правый конец зелёного отрезка Вы выберете.

[Munin]

epros в сообщении #991542 писал(а):

Гиперповерхность -- это в первую очередь подмножество точек четырёхмерия.

+1.

Уравнение $e^{(0)}=0$ вообще не относится к пространству-времени. (И нарушает нормировку $e^{(a)}e_{(b)}=\delta^a_b.$)

[telik]

Тут была ссылка.

[SergeyGubanov]

epros в сообщении #991542 писал(а):

Вы не слышите вопрос? Меня не интересуют Ваши объяснения способов интегрирования, я просил предъявить гиперповерхность.

Гиперповерхность постоянного времени задаётся уравнением $e^{\bf (0)} = 0$, а вовсе не формулой $f(x) = 0$. Дифференциальная форма времени вращающейся системы отсчёта была мной предъявлена в первом сообщении:

SergeyGubanov в сообщении #982831 писал(а):

В явном виде:

$$ e^{(0)} = \frac{c \, dt - \frac{v}{c} \, r \sin(\theta) \, d\varphi }{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}, \quad e^{(1)} = dr, \quad e^{(2)} = r \, d\theta, \quad e^{(3)} = \frac{r \sin(\theta) \, d\varphi - v \, dt}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}. $$

В этой системе отсчёта дифференциальная форма времени $e^{(0)}$ неголономна $e^{(0)} \ne d T$, более того, она даже не может быть сведена к голономной домножением на интегрирующий множитель $e^{(0)} \ne N d T$. То есть в обычном смысле гиперповерхностей постоянного времени $T=\operatorname{const}$ не существует (не существует функции $T$).

epros в сообщении #991542 писал(а):

Вы можете говорить об этом хоть несколько лет, но для меня это не новость, а глупость. Гиперповерхность -- это в первую очередь подмножество точек четырёхмерия. И будьте добры это подмножество однозначно определить. Кстати, "таким простым уравнением" может быть задано любое подмножество, которое даже и не гиперповерхность на самом деле.

Глупости значит? Ну хорошо. Вот Вам уравнение гиперповерхности постоянного времени

$$\frac{c \, dt - \frac{v}{c} \, r \sin(\theta) \, d\varphi }{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} = 0$$

запишите его решение в виде $f(x) = 0$. Вот прикол-то будет.

epros в сообщении #991542 писал(а):

SergeyGubanov в сообщении #991510 писал(а):

Показания часов расположенных на геометрической фигуре определяемой системой уравнений (2) являются о д и н а к о в ы м и по той простой причине, что одно из уравнений системы уравнений (2) выглядит (буквально показываю пальцем) вот так: $e^{\bf (0)} = 0$. Расшифровываю: на геометрической фигуре определяемой системой уравнений (2) бесконечно малое изменение времени равно нулю, это означает одинаковость показаний часов.

Меня не интересуют Ваши бредовые соображения о том, что Вы считаете "одинаковостью показаний часов". Просто озвучьте конкретную цифру этих показаний, в минутах и секундах.

Всё что я мог сосчитать по этой задачке я уже написал в сообщении post991044.html#p991044. И, кстати, если уж Вам нужны показания конкретных часов, то не забывайте такой момент. Если несколько часов были синхронизированы друг с другом в одной системе отсчёта, то это не означает, что они так и останутся синхронизироваными когда система отсчёта поменяется. То есть, с моей стороны, более правильно было бы утверждать, что зелёные линии показывают как должны быть синхронизированы часы для того чтобы показывать одно и то же время во вращающейся системе отсчёта.

epros в сообщении #991542 писал(а):

SergeyGubanov в сообщении #991510 писал(а):

Чего-чего? Разная длина? Ну-ну...

Ну, выбирайте: разные варианты длины при заданных показаниях часов или разные показания часов при заданной длине. В зависимости от того, левый или правый конец зелёного отрезка Вы выберете.

Вы спороли чушь про разную длину, а мне ещё и выбирать?

Munin в сообщении #991550 писал(а):

epros в сообщении #991542 писал(а):

Гиперповерхность -- это в первую очередь подмножество точек четырёхмерия.

+1.

Уравнение $e^{(0)}=0$ вообще не относится к пространству-времени. (И нарушает нормировку $e^{(a)}e_{(b)}=\delta^a_b.$)

Э-э-э....

$$e^{(a)}e_{(b)}=\delta^a_b \quad \tex{???}$$

По определению имеем

$$e^{(a)} = e^{(a)}_{\mu} dx^{\mu}$$

$$e_{(b)} = e_{(b)}^{\mu} \frac{\partial}{\partial x^{\mu}}$$

Подставляем, получаем:

$$e^{(a)}_{\mu} e_{(b)}^{\nu} \, dx^{\mu} \, \frac{\partial}{\partial x^{\nu}} = \delta^a_b \quad \tex{???}$$

Munin, а не объясните чего это за бессмысленный набор символов?

Если Вы забыли, то, вообще-то, тетрада удовлетворяет следующим уравнениям:

$$ e^{(a)}_{\mu} e_{(b)}^{\mu} = \delta^{(a)}_{(b)} $$

$$ e^{(a)}_{\mu} e_{(a)}^{\nu} = \delta^{\nu}_{\mu} $$

$$ \eta_{(a) (b)} e^{(a)}_{\mu} e^{(b)}_{\nu} = g_{\mu \nu} $$

$$ g_{\mu \nu} e_{(a)}^{\mu} e_{(b)}^{\nu} = \eta_{(a) (b)} $$

Идём далее.

Запись $e^{\bf (0)} = 0$ обозначает дифференциальную связь:

$$ e^{\bf (0)}_0 dx^0 + e^{\bf (0)}_1 dx^1 + e^{\bf (0)}_2 dx^2 + e^{\bf (0)}_3 dx^3 = 0 $$

Для линии $x^{\mu}(\ell)$ эта дифференциальная связь превращается в обыкновенное дифференциальное уравнение:

$$ e^{\bf (0)}_0 \frac{dx^0}{d\ell} + e^{\bf (0)}_1 \frac{dx^1}{d\ell} + e^{\bf (0)}_2 \frac{dx^2}{d\ell} + e^{\bf (0)}_3 \frac{dx^3}{d\ell} = 0 $$

Для двумерной поверхности $x^{\mu}(\ell^1, \ell^2)$ она превращается в систему уравнений в частных производных:

$$ e^{\bf (0)}_0 \frac{\partial x^0}{\partial \ell^1} + e^{\bf (0)}_1 \frac{\partial x^1}{\partial \ell^1} + e^{\bf (0)}_2 \frac{\partial x^2}{\partial \ell^1} + e^{\bf (0)}_3 \frac{\partial x^3}{\partial \ell^1} = 0, $$

$$ e^{\bf (0)}_0 \frac{\partial x^0}{\partial \ell^2} + e^{\bf (0)}_1 \frac{\partial x^1}{\partial \ell^2} + e^{\bf (0)}_2 \frac{\partial x^2}{\partial \ell^2} + e^{\bf (0)}_3 \frac{\partial x^3}{\partial \ell^2} = 0. $$

Для трёхмерного тела $x^{\mu}(\ell^1, \ell^2, \ell^3)$ она превращается в следующую систему уравнений в частных производных:

$$ e^{\bf (0)}_0 \frac{\partial x^0}{\partial \ell^1} + e^{\bf (0)}_1 \frac{\partial x^1}{\partial \ell^1} + e^{\bf (0)}_2 \frac{\partial x^2}{\partial \ell^1} + e^{\bf (0)}_3 \frac{\partial x^3}{\partial \ell^1} = 0, $$

$$ e^{\bf (0)}_0 \frac{\partial x^0}{\partial \ell^2} + e^{\bf (0)}_1 \frac{\partial x^1}{\partial \ell^2} + e^{\bf (0)}_2 \frac{\partial x^2}{\partial \ell^2} + e^{\bf (0)}_3 \frac{\partial x^3}{\partial \ell^2} = 0, $$

$$ e^{\bf (0)}_0 \frac{\partial x^0}{\partial \ell^3} + e^{\bf (0)}_1 \frac{\partial x^1}{\partial \ell^3} + e^{\bf (0)}_2 \frac{\partial x^2}{\partial \ell^3} + e^{\bf (0)}_3 \frac{\partial x^3}{\partial \ell^3} = 0. $$

Компактная запись:

$$ e^{\bf (0)}_{\mu} \frac{\partial x^{\mu}}{ \partial \ell^i} d \ell^i = 0 $$

Ещё более компактная запись (без конкретизации зависимости $x^{\mu}$ от $\ell^i$, эта зависимость подразумевается, но явно не выписывается):

$$ e^{\bf (0)}_{\mu} d x^{\mu} = 0 $$

Самая компактная запись:

$$ e^{\bf (0)} = 0 $$

[Pphantom]

telik - - недельный бан за антинаучный спам.