Диск Эйнштейна

[schekn]

Someone в сообщении #983067 писал(а):

По-моему, там ясно сказано: координата $r$ фиксирована.

Было бы интересно построить вращающуюся систему отсчета во всем пространстве Минковского или по крайней мере в той ее части , где вращается жесткий диск. Насколько я понял
SergeyGubanov это пытается сделать.

[Someone]

schekn в сообщении #983264 писал(а):

Насколько я понял
SergeyGubanov это пытается сделать.

Совершенно ясно, что он пытается сделать что-то другое.

[epros]

schekn в сообщении #983264 писал(а):

Было бы интересно построить вращающуюся систему отсчета во всем пространстве Минковского

Во всём пространстве Минковского жёсткую вращающуюся СО построить нельзя по очевидным причинам.

-- Пн мар 02, 2015 18:39:47 --

SergeyGubanov в сообщении #982831 писал(а):

То есть в обычном смысле гиперповерхностей постоянного времени $T=\operatorname{const}$ не существует (не существует функции $T$).

Я не понимаю Вашей терминологии. Какое бы мы ни выбрали координатное время, "гиперповерхности постоянного времени" в этих координатах будут существовать. Причём координатное время вращающейся СО можно выбрать таким образом, что $g_{00}=1$. И для этих координат (как и для любых) определяется голономный базис. Разумеется, это не означает синхронности этих координат.

[Munin]

epros в сообщении #984703 писал(а):

Во всём пространстве Минковского жёсткую вращающуюся СО построить нельзя по очевидным причинам.

...денег не хватит.

[schekn]

epros в сообщении #984703 писал(а):

о всём пространстве Минковского жёсткую вращающуюся СО построить нельзя по очевидным причинам.

Разумеется. Про жесткую вращающуюся СО речь не идет.

[epros]

schekn в сообщении #984789 писал(а):

Про жесткую вращающуюся СО речь не идет.

А про какую идёт? Нежёсткие вращающиеся СО вообще-то довольно экзотичны.

[schekn]

epros в сообщении #984798 писал(а):

А про какую идёт? Нежёсткие вращающиеся СО вообще-то довольно экзотичны.

Ну вообще-то в литературе я видел такую попытку (скажем у Родичева), хотя не скажу , что мне все понятно.
А то, что написано в ЛЛ-2 пар 89, это все таки не совсем переход во вращающуюся СО. Скорее это вращающаяся система координат, то есть перенумерация точек пространства Минковского. А переход в другую СО это все таки немного другое.

[epros]

schekn в сообщении #984805 писал(а):

Ну вообще-то в литературе я видел такую попытку (скажем у Родичева), хотя не скажу , что мне все понятно.

Мне, например, понятно одно: Если тело отсчёта будет вращаться таким образом, чтобы скорость его периферийных частей относительно лабораторной СО не превышала скорость света, то проведённый радиус рано или поздно совьётся в такую спираль, что на радиус это будет совсем не похоже.

schekn в сообщении #984805 писал(а):

А то, что написано в ЛЛ-2 пар 89, это все таки не совсем переход во вращающуюся СО. Скорее это вращающаяся система координат, то есть перенумерация точек пространства Минковского. А переход в другую СО это все таки немного другое.

Полагаете, что разница так уж принципиальна? По моим понятиям, система отсчёта задаётся телом отсчёта и способом определения "одновременности" в разных его точках. Координатная сетка вполне способна определить и то, и другое. Для получения полного удовольствия можно, конечно, на эту физику навесить некую математику в виде тетрады. Однако не всякая тетрада может быть сопоставлена координатной сетке.

[SergeyGubanov]

epros в сообщении #984703 писал(а):

SergeyGubanov в сообщении #982831 писал(а):

То есть в обычном смысле гиперповерхностей постоянного времени $T=\operatorname{const}$ не существует (не существует функции $T$).

Я не понимаю Вашей терминологии. Какое бы мы ни выбрали координатное время, "гиперповерхности постоянного времени" в этих координатах будут существовать. Причём координатное время вращающейся СО можно выбрать таким образом, что $g_{00}=1$. И для этих координат (как и для любых) определяется голономный базис. Разумеется, это не означает синхронности этих координат.

Да там всё проще пареной репы. Мировые линии тел задающих систему отсчёта определяются векторным полем $e^{\mu}_{\bf (0)} (x)$ согласно уравнению:

$$ \frac{dx^{\mu}}{ds} = e^{\mu}_{\bf (0)} (x) $$

В данном случае (напоминаю, что здесь $v$ не констатнта, а произвольная функция $v(t, r, \theta, \varphi)$):

$$ e^{\bf (0)} = e^{\bf (0)}_{\mu} dx^{\mu} = \frac{1 }{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \left( c \, dt - \frac{v}{c} \, r \sin(\theta) \, d\varphi \right) $$

$$ e_{\bf (0)} = e_{\bf (0)}^{\mu} \frac{\partial}{\partial x^{\mu}} = \frac{1 }{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \left( \frac{1}{c} \, \frac{\partial}{\partial t} + \frac{v}{c} \, \frac{1}{r \sin(\theta)} \frac{\partial}{\partial\varphi} \right) $$

Далее всё просто. Сказать, что дифференциальная форма $e^{\bf (0)}$ неголономна это всё равно что сказать, что векторное поле $e_{\bf (0)}$ вихревое.

А дальше ещё проще. Если векторное поле определяющее касательные к мировым линиям тел вихревое, то не существует такой функции $T$ градиент которой определял бы эти же самые касательные:

$$ e^{\bf (0)} \ne \frac{\partial T}{\partial x^{\mu}} dx^{\mu} \equiv d T. $$

[epros]

SergeyGubanov в сообщении #984991 писал(а):

Если векторное поле определяющее касательные к мировым линиям тел вихревое, то не существует такой функции $T$ градиент которой определял бы эти же самые касательные:

А какой Мировой Судия постановил, что касательные к мировым линиям (частей тела отсчёта) обязаны быть градиентами функции $T$?

[SergeyGubanov]

epros в сообщении #985023 писал(а):

SergeyGubanov в сообщении #984991 писал(а):

Если векторное поле определяющее касательные к мировым линиям тел вихревое, то не существует такой функции $T$ градиент которой определял бы эти же самые касательные:

А какой Мировой Судия постановил, что касательные к мировым линиям (частей тела отсчёта) обязаны быть градиентами функции $T$?

Странный вопрос. Нет такой обязанности. Более того, у всех неинерциальных систем отсчёта векторное поле $e^{\mu}_{\bf (0)}$ вихревое.

Желание заполучить функцию $T(x)$ вызвано лишь тягой к красоте формулы гиперповерхностей постоянного времени:

$$T(x) = \operatorname{const}.$$

В случае же произвольной системы отсчёта соответствующая сущность задаётся чуть менее красивой формулой:

$$e^{\bf (0)}_{\mu} dx^{\mu} = 0,$$

и не является гиперповерхностью в обычном смысле.

[epros]

SergeyGubanov в сообщении #985029 писал(а):

Желание заполучить функцию $T(x)$ вызвано лишь тягой к красоте формулы гиперповерхностей постоянного времени:

$$T(x) = \operatorname{const}.$$

Это желание легко удовлетворить, выбрав любое координатное время.

SergeyGubanov в сообщении #985029 писал(а):

В случае же произвольной системы отсчёта соответствующая сущность задаётся чуть менее красивой формулой:

$$e^{\bf (0)}_{\mu} dx^{\mu} = 0,$$

и не является гиперповерхностью в обычном смысле.

Это уравнение не задаёт никакую сущность, а является всего лишь условием синхронности координатного времени. И для вращающегося тела отсчёта это условие нереализуемо.

[SergeyGubanov]

epros в сообщении #985060 писал(а):

SergeyGubanov в сообщении #985029 писал(а):

Желание заполучить функцию $T(x)$ вызвано лишь тягой к красоте формулы гиперповерхностей постоянного времени:

$$T(x) = \operatorname{const}.$$

Это желание легко удовлетворить, выбрав любое координатное время.

Выбор в качестве координатного времени $x^0$ чего душе угодно никоим образом не влияет на существование или несуществование функции $T(x^0, x^1, x^2, x^3)$.

epros в сообщении #985060 писал(а):

SergeyGubanov в сообщении #985029 писал(а):

В случае же произвольной системы отсчёта соответствующая сущность задаётся чуть менее красивой формулой:

$$e^{\bf (0)}_{\mu} dx^{\mu} = 0,$$

и не является гиперповерхностью в обычном смысле.

Это уравнение не задаёт никакую сущность, а является всего лишь условием синхронности координатного времени. И для вращающегося тела отсчёта это условие нереализуемо.

Посмотрите повнимательнее на формулу: все тензорные индексы там свёрнуты друг с другом, с точки зрения преобразования координат там записан скаляр. Это уравнение (точнее эта дифференциальная связь) от системы координат вообще не зависит.

[epros]

SergeyGubanov в сообщении #985075 писал(а):

Выбор в качестве координатного времени $x^0$ чего душе угодно никоим образом не влияет на существование или несуществование функции $T(x^0, x^1, x^2, x^3)$.

Да будет Вам известно, что каждая из координат $x^i$ является функцией от точек многообразия.

SergeyGubanov в сообщении #985075 писал(а):

Посмотрите повнимательнее на формулу: все тензорные индексы там свёрнуты друг с другом, с точки зрения преобразования координат там записан скаляр. Это уравнение (точнее эта дифференциальная связь) от системы координат вообще не зависит.

Я знаю как записывается скалярное произведение и знаю, что оно инвариантно. Вы записали условие, согласно которому вектор с координатами $dx^{\mu}$ ортогонален к нулевому вектору некоего базиса. И что дальше? Очевидно, Вы хотите, чтобы этот вектор лежал на некой гиперповерхности, т.е. чтобы гиперповерхность была ортогональна к полю $e^{(0)}$. Ортогональность гиперповерхности $x^0 = const$ к направлению оси времени -- это и есть синхроность координатного времени.

[SergeyGubanov]

epros в сообщении #985102 писал(а):

SergeyGubanov в сообщении #985075 писал(а):

Выбор в качестве координатного времени $x^0$ чего душе угодно никоим образом не влияет на существование или несуществование функции $T(x^0, x^1, x^2, x^3)$.

Да будет Вам известно, что каждая из координат $x^i$ является функцией от точек многообразия.

$x^0$ и $T$ друг к другу никакого отношения не имеют.

epros в сообщении #985102 писал(а):

SergeyGubanov в сообщении #985075 писал(а):

Посмотрите повнимательнее на формулу: все тензорные индексы там свёрнуты друг с другом, с точки зрения преобразования координат там записан скаляр. Это уравнение (точнее эта дифференциальная связь) от системы координат вообще не зависит.

Я знаю как записывается скалярное произведение и знаю, что оно инвариантно. Вы записали условие, согласно которому вектор с координатами $dx^{\mu}$ ортогонален к нулевому вектору некоего базиса. И что дальше? Очевидно, Вы хотите, чтобы этот вектор лежал на некой гиперповерхности, т.е. чтобы гиперповерхность была ортогональна к полю $e^{(0)}$. Ортогональность гиперповерхности $x^0 = \operatorname{const}$ к направлению оси времени -- это и есть синхроность координатного времени.

Уравнение $e^{(0)} = 0$ общековариантно, координата $x^0$ тут вообще не при чём.