Распределение заряда на иголке.

[drug39]

Munin в сообщении #986765 писал(а):

И оператор стоит перед ней в немом изумлении, и пытается поднять челюсть.

Ну вот это уже кое-что. А то говорили, что "... уже сразу всё ясно"...

Munin в сообщении #985225 писал(а):

Всё-таки феерия.

Немного поясню. На дельта-функцию здесь следует смотреть в простом (инженерном) определении с учётом её формы. Например, бессмысленно пихать в этот оператор строго прямоугольную дельта-функцию. Если считать дельта-функцию, например, гауссоидальной, то можно получить $\int\limits_{-1}^{1}\frac{\delta(y)}{(x-y)|x-y|}dy=C_2\frac 1 {x|x|}+C_4\frac 1 {x|x|^3}+C_6\frac 1 {x|x|^5}+...$ , что в в целом антисимметричный ряд Лорана. Причем основной вклад даст минус вторая степень. Если дельта-функция несимметрична, то ряд Лорана будет содержать все степени, начиная с $\frac 1 x$. Можно ведь и заложить в дельта-функцию колебания, тогда ряд Лорана будет вовсе небезобидный... Поэтому я и сказал, что получиться может чуть ли не что угодно. Как я уже сказал, ядро $\frac{1}{(x-y)|x-y|}$ есть предельный случай, из которого ещё можно что-то выжать, среди ядер Рисса $\frac{1}{(x-y)|x-y|^\alpha}$. Поэтому, чтобы вычислительно что-то проверять, нужно принять $\alpha$ немного меньше единицы.
Теперь, если дельта-функция имеет профиль прямоугольного треугольника, то действовать этим оператором на нее можно только с одной стороны. И соответственно результат действия будет определён только с одной стороны.
Можно с возмущением спросить: ну и дадут две дельта-функции на отрезке нечто... , как же занулится общее значение?.. Ответ прост, если понимать соотношение (1). Главное, что это нечто - не бесконечность, и важно, какая степень в ряде Лорана основная.

drug39 в сообщении #984545 писал(а):

$$\int\frac{\rho(y)}{(x-y)|x-y|}dy=-\lim\limits_{w\to+0}\frac 1 w \frac{d}{dx}\rho(x). \quad \quad \ecno (1)$$

Помните, сколько пытал меня Red_Herring вопросом как понимать интеграл. Выдал соотношение (1) и он замолчал. Странно... Другой персонаж вообще заявил, что не желает понимать соотношение (1). Остаётся обратится, Munin, к Вам. Если можно, прокомментируйте.
И ещё одно замечание для тех, кто исповедует дискретный подход. Я ведь не против. Даже если вы результат получите, нужно понимать следующее. Ищется воображаемый отрезок, который эквивалентен телу иголки. Вы же ищите сам отрезок (с точечными зарядами) или, как писал один автор, "стержень с бусинками". А такого стержня (с большим количеством зарядов) в природе нет. Поэтому для физики такая постановка задачи не интересна.

Pphantom:

Просьба иметь в виду, что выделение красным зарезервировано для нужд модерирования. Цвет исправлен.

[Red_Herring]

drug39 в сообщении #989101 писал(а):

Помните, сколько пытал меня Red_Herring вопросом как понимать интеграл. Выдал соотношение (1) и он замолчал. Странно..

1) Не заслужил я царского пурпура.
2) Не замолчал, а отчаялся получить от Вас нечто математически осмысленное

[sup]

Red_Herring в сообщении #989103 писал(а):

отчаялся получить от Вас нечто математически осмысленное

Я думаю, что нам здесь предлагают этакий самобытный нестандартный анализ. С актуальными бесконечно малыми/большими.
Понятное дело, без всяких там мерзопакостных ультрафильтров, но зато с изрядной долей физической интуиции. Вот, например,

drug39 в сообщении #989101 писал(а):

И ещё одно замечание для тех, кто исповедует дискретный подход. Я ведь не против. Даже если вы результат получите, нужно понимать следующее. Ищется воображаемый отрезок, который эквивалентен телу иголки. Вы же ищите сам отрезок (с точечными зарядами) или, как писал один автор, "стержень с бусинками". А такого стержня (с большим количеством зарядов) в природе нет. Поэтому для физики такая постановка задачи не интересна.

А можно и по старинке: бесконечно малая/большая величина, это вовсе и не величина, а последовательность, куда-то-там стремящаяся.
Если принять такую гипотезу, то многое становится ясным. И целый зоопарк дельта-функций (уже и гауссовидная прибавилась. Тут уже недалеко и до ластоногой козы или африканской бородатой выхухоли ). И странное равенство интеграла пределу, формально равному $\infty$. И др.
Это всего лишь мое предположение. Так что "если что", то упорствовать в ереси не стану.

[Red_Herring]

sup
Так и я о том же

Red_Herring в сообщении #983691 писал(а):

В данном случае я бы не судил так строго. Ну путает он $\delta$–функцию и $\delta$-образную последовательность.

[Munin]

drug39 в сообщении #989101 писал(а):

Ну вот это уже кое-что. А то говорили, что "... уже сразу всё ясно"...

Как раз ясно, что оператор, определённый на обычных функциях, неприменим к обобщённой функции. Вы пытаетесь засунуть в мясорубку табуретку. Или даже ещё хуже: вы пытаетесь засунуть в мясорубку нематериальную теорему Пифагора.

drug39 в сообщении #989101 писал(а):

Немного поясню. На дельта-функцию здесь следует смотреть в простом (инженерном) определении с учётом её формы.

А зачем, если (1) можно нормально, и (2) простое - вообще не определение?

sup в сообщении #989143 писал(а):

Я думаю, что нам здесь предлагают этакий самобытный нестандартный анализ. С актуальными бесконечно малыми/большими.
Понятное дело, без всяких там мерзопакостных ультрафильтров, но зато с изрядной долей физической интуиции.

Ну, часто такое работает, но хорошо бы всё-таки познакомиться с тем, как это всё называют нормальные математики, и вообще понимать, что самобытные подходы ломаются часто и в самом неожиданном месте. И интуиция их не спасает - потому что она вообще для другого.

[sup]

Red_Herring в сообщении #989175 писал(а):

Так и я о том же

Ну да. Я как-то уже и подзабыл.

(Оффтоп)

Скажу откровенно, я не вполне понимаю все эти попытки придать смысл данному интегралу (применительно к данной задаче).

Цитата:

Шерсти мало, а визгу много.

Какой смысл придумывать какую-то вундер-регуляризацию, когда сама задача и есть та самая регуляризация. Надо как-то изучать возникающую систему. Но это скучно . Совсем другое дело заняться вопросом: что было бы, если бы ничего не было.

[drug39]

Red_Herring в сообщении #983691 писал(а):

В данном случае я бы не судил так строго. Ну путает он $\delta$–функцию и $\delta$-образную последовательность.

Хорошо, хорошо, дельта-образная последовательность функций. Вспомнил, было такое. Просто сбивает с толку, когда одну функцию называют последовательностью. Может, называть ее просто дельта-образной функцией?

sup в сообщении #989143 писал(а):

И странное равенство интеграла пределу, формально равному $\infty$.

Только $\infty$, а неопределённость Вы не рассматриваете?

[Red_Herring]

drug39 в сообщении #989293 писал(а):

Просто сбивает с толку, когда одну функцию называют последовательностью.

С одной функцией у Вас реальные проблемы

[sup]

drug39 в сообщении #989293 писал(а):

Только $\infty$, а неопределённость Вы не рассматриваете?

У Вас какая-то странная манера изъясняться только путем вопросов. Вместо того, чтобы четко и ясно рассказать, что Вы, лично Вы, конкретно имеете в виду, Вы постоянно устраиваете конкурс на лучшего интерпретатора. Святой инквизиции это бы очень не понравилось.
Какая разница, что я рассматриваю или нет. Я, лично, вообще склонен считать, что в данной задаче этот вопрос не стоит выеденного яйца. Кроме того, с Вами довольно трудно общаться. У Вас какая-то своя собственная терминология. Вот и сейчас

drug39 в сообщении #989293 писал(а):

Хорошо, хорошо, дельта-образная последовательность функций. Вспомнил, было такое. Просто сбивает с толку, когда одну функцию называют последовательностью. Может, называть ее просто дельта-образной функцией?

Сначала Вы согласились, что это последовательность, и тут же недоумеваете, как же это функцию называют последовательностью.
Да, я вполне допускаю, что у последовательности вообще может не быть предела. Я поверхностно знаком с нестандартным анализом, и меня такая абстракция не пугает. Но скажите на милость, а при чем тут распределение заряда на иголке? Попробуйте "продать" свои идеи какому-нибудь "практику". Он Вас спрашивает:
"Ну, и какие заряды надо разместить в этих точках?"
А Вы ему:
"Да не вопрос. Берешь гауссовидную дельта-функцию и стягиваешь носитель к 0".
Лично я, получив такой ответ, к Вам бы больше не приставал.

[Munin]

drug39 в сообщении #989293 писал(а):

Просто сбивает с толку, когда одну функцию называют последовательностью.

А то, когда одно число называют бесконечной десятичной дробью, вас не сбивает с толку?

[drug39]

Munin в сообщении #989394 писал(а):

А то, когда одно число называют бесконечной десятичной дробью, вас не сбивает с толку?

Нет, не сбивает. Если это Вы к тому, чтобы проверить, насколько строго я понимаю эти маттермины, то после того, что наговорил предыдущий оратор, желания нет поднимать этот вопрос, только если Вы будете настаивать. Но и Вы не ответили на мой вопрос. Конкретно, про соотношение (1). Как Вы его понимаете, откуда оно следует и как с его помощью можно найти общий вид решения.

[Munin]

drug39 в сообщении #989465 писал(а):

Если это Вы к тому, чтобы проверить, насколько строго я понимаю эти маттермины, то после того, что наговорил предыдущий оратор, желания нет поднимать этот вопрос

Вы про Red_Herring? А имхо, он прав.

Но я не к тому. Я к тому, что разница между последовательностью и её пределом в обоих случаях одинаковая.

drug39 в сообщении #989465 писал(а):

Но и Вы не ответили на мой вопрос. Конкретно, про соотношение (1).

Да, не ответил. Потому что никак не понимаю, я даже не вчитывался. Вашу ошибку нашли другие, и я вполне им доверяю.

[Red_Herring]

$\delta(x)$ на $\mathbb{R}$ одна (как степень свежести). Но в числе разных последовательностей слабо сходящейся к ней будут например $\varepsilon^{-1}\phi (x/\varepsilon)$ с $\varepsilon\to 0$ и $\int_{\mathbb{R}}\phi\,dx=1$ и $\phi$ м.б. колоколообразная или треугольная

[sup]

drug39 в сообщении #989465 писал(а):

после того, что наговорил предыдущий оратор

Похоже, что это камень в мой огород.
Попробую объяснить свою позицию.
Тема, если кто подзабыл, началась с попытки бросить точечные заряды на отрезок и посмотреть как они там улягутся. Физическую сторону дела с правомерностью рассматривать идеальный одномерный отрезок я опускаю.
Задачу можно сформулировать в двух вариантах: одинаковые заряды в неких точках или точки фиксированы, но заряды разные. Главное, чтобы система находилась в равновесии.
Разумеется, крайне желательно найти непрерывный аналог этой задачи. Отмечу, что совершенно очевидно, этот аналог должен в каком-то виде содержать параметр $N$ - количество зарядов. Либо как большой параметр, либо как малый параметр $h \sim 1/N$ характерное расстояние между точками. Интегральные уравнения, хотя бы и сингулярные, дают надежду на получение асимптотических формул. Однако тут же возникла проблема. Формальный интеграл имеет квадратичную особенность. Поэтому просто в смысле главного значения его понимать нельзя. И вот тут-то и началось. А как его понимать можно? Поймите правильно. Я не против этой увлекательной деятельности. Но при чем тут задача? И, кроме того, а где здесь малый или большой параметр? Что толку написать сумму константы и пары дельта-функций? Младенцу ясно, что ничего другого в пределе в принципе получиться не может.
Вот все говорят Кремль, Кремль регуляризация. Да нет ничего проще.

$$f(x) = \int \limits_0^1 \frac{g(y) dy}{(x-y)|x-y|}$$

Судя по всему, drug39 пользуется примерно следующей схемой. Наверняка утверждать не могу, поскольку он сам упорно не сообщает подробностей (не важно, не хочет или не получается до нас донести). Прежде всего, совершенно элементарно определить этот интеграл для гладких финитных функций. Основное формальное соотношение

$$ \frac{1}{(x-y)|x-y|} = \frac {d^2}{dy^2}\operatorname{sign} (y - x)\ln |y - x| = G''(y-x)$$

Следовательно, для финитных $g$ просто "нагло" интегрируем два раза по частям и дело в шляпе.

$$ f(x) = \int \limits_0^1 g''(y)G(y-x)dy $$

Теперь уже ясно, что таким образом определено отображение $F : \mathring{W}_p^2(0,1) \to L_p(0,1)$. Но ведь нам хочется большего - без финитности. Требует - примем.
Рассмотрим пространство $Q_3(0,1)$ кубических полиномов на отрезке $(0,1)$. Разбиваем $W_p^2(0,1)$ в сумму $\mathring{W}_p^2(0,1)$ и $Q_3(0,1)$. На $Q_3(0,1)$ определяем отображение как в голову взбредет. После этого линейно продолжаем его на все $W_p^2(0,1)$. А как определить отображение на $Q_3(0,1)$? Я думаю, в этот момент и начинаются пляски с бубном физического смысла. Однако и это еще не все. Реальность нас подталкивает к тому, чтобы засунуть в это дело еще и распределения типа дельта-функций. Как мы видели, все очень просто. Для них тоже принудительно объявляем некие значения отображения. Вот и вся проблема. Более того, а почему это мы действуем в $L_p(0,1)$? Хотелось бы и тут иметь возможность вводить всякие дельта-функции и прочие безобразия. Да не вопрос. Достаточно разрешить отображению иметь в качестве значения распределения. Вот и все. Например, для $g(y) = \delta(y)$ полагаем $f(x) = \frac {1}{x|x|}$. Да, это уже не суммируемая функция. Ну и ладно. Это же функционал над финитными - достаточно.
Как говорит один наш остроумный коллега: нравится? нет? почему?
Дальше можно сколько угодно ломать копья по поводу того, какой выбор произвольных констант и функций более или менее соответствует физическому смыслу. Например, для определения отображения $F$ на дельта-функции, приближаем ее гладкими и смотрим, что там происходит. Вот это, наверное, и есть то самое

Цитата:

Поэтому я и сказал, что получиться может чуть ли не что угодно

Но даже в этой схеме я начисто не понимаю

drug39 в сообщении #984545 писал(а):

что касается уравнения $\int\limits_{-1}^{1}\frac{\rho(y)}{(x-y)|x-y|}dy=1$, то оно не из пальца. Это уравнение возникает в задаче о продольной поляризуемости проводящего отрезка. Вы ответ просили. Вот $\rho(y)=-\alpha y$, где $\alpha\to+0$. Правда в этой задаче важно как именно $\alpha$ стремится к нулю. Но этот результат хорошо известен для предельно вытянутого эллипсоида в продольном поле.

Вот что это за решение $\rho(y)=-\alpha y$, где $\alpha\to+0$ - для меня полная загадка. Что это за объект? Функция, распределение? Последовательность функций?
В сущности вся эта кухня (скорее всего), это просто ЗАВУАЛИРОВАННЫЙ предельный переход от цилиндра, эллипсоида и прочих хренпоймичегоидов. А оно нам надо?

[Red_Herring]

sup в сообщении #989621 писал(а):

В сущности вся эта кухня (скорее всего), это просто ЗАВУАЛИРОВАННЫЙ предельный переход от цилиндра, эллипсоида и прочих хренпоймичегоидов. А оно нам надо?

Я думаю что надо, но требуется доказать строго что если 3D-тело регулярно стягивалось к отрезку (ну скажем в цилиндрических координатах оно ограниченно поверхностью $r= \varepsilon \phi (z)$ с тем, чтобы тело было "хорошим", то при $\varepsilon \to +0$ мы бы всё получали в пределе, причём предел не зависел бы от $\phi$. Я думаю что это так, но это серьёзная задача, скорее всего выходящая за рамки форумного обсуждения.