Распределение заряда на иголке.

[amon]

drug39 в сообщении #984545 писал(а):

Отсюда на отрезке $[-1, 1]$ получим

$$\rho(y)=C_0+C_1\delta_{-}(y+1)+C_2\delta_{+}(y-1),$$

Не катит. Написанная $\rho$ состоит из кусков, которые могут быть проинтегрированы, и ответ будет

$$\rho(x)=\frac{2x(1+x^2-C)}{1-x^4}$$

($C_0$ можно класть единицей, и показать, что либо $C_1=C_2,$ либо решение неоднозначно (с условием нормировки), что нехорошо для уравнения). Никаких констант и бесконечностей при этом не возникает. Какие либо уравнения типа (1) готов обсуждать после предъявления хоть какого решения какого-нибудь интегрального уравнения, содержащего $\int\frac{\rho(y)}{(x-y)|x-y|}dy$, отличного от константы и $\delta$-функции.

[drug39]

amon в сообщении #984785 писал(а):

Написанная $\rho$ состоит из кусков, которые могут быть проинтегрированы...

C чего Вы взяли, что дельта-функцию можно так запросто интегрировать. Пример $\int\limits_{-1}^{1}\frac{\delta(y)}{(x-y)|x-y|}dy=\frac 1 {x|x|}$ следует из физических соображений. Но без специальных оговорок может получиться чуть ли не что угодно.

amon в сообщении #984785 писал(а):

Какие либо уравнения типа (1) готов обсуждать после предъявления хоть какого решения какого-нибудь интегрального уравнения, содержащего $\int\frac{\rho(y)}{(x-y)|x-y|}dy$, отличного от константы

Так приводил же простой пример $\int\limits_{-1}^{1}\frac{\rho(y)}{(x-y)|x-y|}dy=1,\quad\rho(y)=-y\cdot\alpha,$ где $\alpha\to+0$. Ну и зря Вы не хотите понять соотношение (1), оно в раз даёт общий вид решения. Там в правой части, чтобы получилось что-то, не $\pm\infty$, необходима неопределённость типа "нуль делить на нуль". Отсюда $d\rho/dy\to0$ на отрезке $(-1, 1)$.

amon в сообщении #984785 писал(а):

... либо решение неоднозначно (с условием нормировки), что нехорошо для уравнения

Если краевые условия правильно учесть, будет одно решение.

[Munin]

drug39 в сообщении #985130 писал(а):

C чего Вы взяли, что дельта-функцию можно так запросто интегрировать. Пример $\int\limits_{-1}^{1}\frac{\delta(y)}{(x-y)|x-y|}dy=\frac 1 {x|x|}$ следует из физических соображений. Но без специальных оговорок может получиться чуть ли не что угодно.

Всё-таки феерия.

Это ничего, что дельта-функция - понятие математическое, а не физическое?

[drug39]

Munin в сообщении #985225 писал(а):

Это ничего, что дельта-функция - понятие математическое, а не физическое?

Так вот и докажите тогда $\int\limits_{-1}^{1}\frac{\delta(y)}{(x-y)|x-y|}dy=\frac 1 {x|x|}$ из математических соображений.

[upgrade]

(Оффтоп)

неужели так все сложно?
разве отрезок не является, например прутком малого диаметра, вырезанным из шара, при этом известно, что заряд шара распределен по поверхности. То есть заряд для отрезка будет дискретно не непрерывно сосредоточен на его концах, для прутка зависеть от формы прутка, а для круга без толщины распределен по краю круга

[amon]

drug39 в сообщении #985230 писал(а):

Так вот и докажите тогда $\int\limits_{-1}^{1}\frac{\delta(y)}{(x-y)|x-y|}dy=\frac 1 {x|x|}$ из математических соображений.

$\int \delta(y) F(y)dy=F(0)$ - определение дельта-функции. Используем его для формулы выше. Потрясает, что Вы, не черта не зная, периодически пишете правильные формулы.

[drug39]

amon в сообщении #985246 писал(а):

$\int \delta(y) F(y)dy=F(0)$ - определение дельта-функции.

Здесь $F(y)$, а там $ F(x, y)$...

[amon]

drug39 в сообщении #985259 писал(а):

Здесь $F(y)$, а там $ F(x, y)$...

И чему это мешает? Зафиксируйте $x$. При каждом фиксированном $x$ примените определение и объедините результаты. Получите Вашу формулу.

[Munin]

amon в сообщении #985285 писал(а):

И чему это мешает? Зафиксируйте $x$.

Я бы сказал: "зафиксируйте $x\ne 0$".

[amon]

(Оффтоп)

Oleg Zubelevic, подключайтесь, по-моему, хорошая задача. Дискуссию с drug39'ом беру на себя.

[drug39]

amon в сообщении #985246 писал(а):

$\int \delta(y) F(y)dy=F(0)$ - определение дельта-функции.

Я бы не сказал, что это определение дельта-функции. Это следствие из определения. И это следствие справедливо только для гладкой функции $ F(y)$. А что, если $F(y)=\theta(y)$ или, чего доброго, сама содержит дельта-функции при $y\to0$?...

[amon]

drug39 в сообщении #985337 писал(а):

Я бы не сказал, что это определение дельта-функции.

А такое утверждение - признак недостатка образования. Дельта-функция это т.наз. обобщенная функция, которая определяется как линейный функционал, действующий на обычные функции. По последней причине $ F(y)$ не может быть обобщенной функцией (например, $\delta$ или $\theta$-функцией). Определение дельта-функции я привел.

[drug39]

amon в сообщении #985342 писал(а):

Дельта-функция это т.наз. обобщенная функция, которая определяется как линейный функционал, действующий на обычные функции.

Какая жалость, в нашем случае, он действует как раз на необычную функцию $\frac{1}{(x-y)|x-y|}$, т.е. на сингулярную функцию. И возникает вопрос: чья сингулярность "круче"?...

Munin в сообщении #985323 писал(а):

Я бы сказал: "зафиксируйте $x\ne 0$".

Но отрезок интегрирования $[-1, 1]$ содержит $x=0$.

[amon]

drug39 в сообщении #985352 писал(а):

Какая жалость, в нашем случае, он действует как раз на необычную функцию $\frac{1}{(x-y)|x-y|}$

И чего же в этой функции такого необычного. Функция как функция с особенностью в точке $x=y$. График нарисовать можно.

С определением спорить бессмысленно - оно в справочнике написано. Если у Вас другое определение, то и объект надо по-другому называть, что бы народ не путать. Однако, Ваш результат $\int\limits_{-1}^{1}\frac{\delta(y)}{(x-y)|x-y|}dy=\frac 1 {x|x|}$ в точности совпадает с тем, что следует из определения $\delta$-функции. Посему есть сильное подозрение, что Ваш объект и стандартная $\delta$-функция суть одно и тоже.

[Geen]

amon в сообщении #985353 писал(а):

Посему есть сильное подозрение, что Ваш объект и стандартная $\delta$-функция суть одно и тоже

Заглянул в Википедию.... там почему-то речь идёт не про "обычные" ф-ции, а бесконечно дифференцируемые.... (к сожалению, тонкостей всяких соответствующих теорем уже не помню)