Распределение заряда на иголке.

[sup]

В этой задаче заряды могут быть произвольными, но их надо подобрать таким образом, чтобы они в равновесии расположились в узлах равномерной решетки. Для трех зарядов это можно организовать так. Два одинаковых заряда по краям, а один в центре. Ясно, что такое решение неединственно. Центральный заряд можно брать каким угодно. Geen предложил задавать заряд на левом краю, сумму всех зарядов и потребовать равенство нулю суммы сил в центре. Эти условия обеспечивают единственность выбора таких зарядов, но не обеспечивают устойчивость всей конструкции. Я привел пример.

[amon]

drug39 в сообщении #983238 писал(а):

Для решения задачи можно воспользоваться примером по-проще, который, надеюсь, рассмотрим.

Что бы двигаться дальше, давайте сосредоточимся на этом месте. Чему, по-Вашему, равен этот интеграл для, например, $\rho(y)=y$? (Или для какой-нибудь другой элементарной функции. Обобщенные давайте пока трогать не будем).

[Geen]

sup в сообщении #983403 писал(а):

Я же ориентировался на исходную задачу о распределении единичных зарядов.

Вообще-то, лучше если их сумма единичная

sup в сообщении #983403 писал(а):

И, кроме того, заряды обязательно должны быть одного знака.

Ну, если Вы посмотрите код - там это учтено - выводится диапазон возможных значений для $q_0$.

sup в сообщении #983403 писал(а):

В этой задаче есть соображения симметрии.

В симметричной по постановке задаче решение не обязано быть симметричным.

[sup]

Я предложил Вам пример. Три заряда. На левом конце задан заряд $2/3$. Сумма зарядов $1$. Какое будет решение?
Если оставшиеся два заряда положительные, то средний в центре располагаться не будет. Если же один из зарядов отрицательный, то вся эта конструкция развалится, если ее отпустить. Вот собственно и все мои соображения. Только это я и хотел сказать.

[drug39]

sup в сообщении #983368 писал(а):

Решений бесконечно много.

А найти нужно все!

amon в сообщении #983435 писал(а):

Что бы двигаться дальше, давайте сосредоточимся на этом месте. Чему, по-Вашему, равен этот интеграл для, например, $\rho(y)=y$?

$\infty$. Я ж писал, что далеко не всякая функция даст что-то определённое. Вот, еслиб Вы спросили какова должна быть $\rho(y)$, чтобы $\int\limits_{-1}^{1}\frac{\rho(y)}{(x-y)|x-y|}dy=1$. То это более содержательный вопрос. При некоторых оговорках решение существует. Но теория очень сложна. А задача уже поставлена так, что пример получается очень простым.
p.s. в предыдущем посте пример с дельта-функцией написал неправильно. Должно быть $\int\limits_{-1}^{1}\frac{\delta(y)}{(x-y)|x-y|}dy=\frac 1 {x|x|}$.

[Geen]

sup в сообщении #983428 писал(а):

Geen предложил задавать заряд на левом краю, сумму всех зарядов и потребовать равенство нулю суммы сил в центре.

Нет-нет. Равенство всех сил 0! (кроме крайних) - Вы же сами выписали систему уравнений.

sup в сообщении #983428 писал(а):

Эти условия обеспечивают единственность выбора таких зарядов, но не обеспечивают устойчивость всей конструкции.

Обеспечивают. Почти. Надо ещё минимизировать полную потенциальную энергию меняя концевой заряд.
Кстати, ранее я ошибся с этим.... - "забыл" что надо ещё раз на заряды умножить - соответственно концевой заряд надо всегда брать максимально возможный.
(надо тут, кстати, ещё одну вещь проверить)

sup в сообщении #983444 писал(а):

Я предложил Вам пример. Три заряда. На левом конце задан заряд $2/3$.

Это "неправильный" пример. Ограничение на концевой заряд при этом от 0 до 0.5.

[amon]

drug39 в сообщении #983455 писал(а):

Должно быть $\int\limits_{-1}^{1}\frac{\delta(y)}{(x-y)|x-y|}dy=\frac 1 {x|x|}$

Ну, слава богу.

drug39 в сообщении #983455 писал(а):

Вот, еслиб Вы спросили какова должна быть $\rho(y)$, чтобы $\int\limits_{-1}^{1}\frac{\rho(y)}{(x-y)|x-y|}dy=1$

Считайте, что спросил.

[drug39]

amon в сообщении #983467 писал(а):

Считайте, что спросил.

Написал же, $\int\limits_{-1}^{1}\frac{y}{(x-y)|x-y|}dy=\infty$.

[amon]

Пока не завязывается диалог.

drug39 в сообщении #983470 писал(а):

Написал же, $\int\limits_{-1}^{1}\frac{y}{(x-y)|x-y|}dy=\infty$.

Я вообще - то другой вопрос задал, к которому, вроде как Вы меня подталкивали.

drug39 в сообщении #983455 писал(а):

Вот, еслиб Вы спросили какова должна быть $\rho(y)$, чтобы $\int\limits_{-1}^{1}\frac{\rho(y)}{(x-y)|x-y|}dy=1$. То это более содержательный вопрос.

Итак, я спросил ровно то, что написано выше и с интересом (реальным, не наигранным) жду Вашего ответа.

[drug39]

amon в сообщении #983484 писал(а):

drug39 в сообщении #983455 писал(а):

Вот, еслиб Вы спросили какова должна быть $\rho(y)$, чтобы $\int\limits_{-1}^{1}\frac{\rho(y)}{(x-y)|x-y|}dy=1$. То это более содержательный вопрос.

Итак, я спросил ровно то, что написано выше и с интересом (реальным, не наигранным) жду Вашего ответа.

Ну тут прежде всего нужно привесить к единичке особенность типа $-\Delta\varphi_1\lim\limits_{s\to0}\frac{{\theta}(-1-x+s)}{s}+\Delta\varphi_2\lim\limits_{s\to0}\frac{{\theta}(x-1+s)}{s}$, тогда можно рассуждать о решении. Я этот пример привел как очень сложный. Тут теории страниц на 10, публика не воспримет. В самой постановке задачи всё уже есть и почти всё нужное выше сказано, чтобы решить задачу практически в два действия. Беру небольшой таймаут, оставляю всем шанс выдать решение раньше.

[amon]

drug39 в сообщении #983502 писал(а):

Тут теории страниц на 10, публика не воспримет. ...Беру небольшой таймаут, оставляю всем шанс выдать решение раньше.

Уважаемый drug39, публика здесь разная. 10 страниц теории приводить не надо. Напишите конечную формулу. Пока все это напоминает чистый троллинг.

[sup]

amon в сообщении #983518 писал(а):

Напишите конечную формулу.

Вот уж воистину, спой светик, не стыдись ...
Зря стараетесь. Дело не в том, что Вы не дождетесь формулы, а в том, что толку от нее, скорее всего, не будет.
Ну, предположим, что я Вам дам какую-то формулу. Без конкретного метода регуляризации цена этой формуле понятно какая.
Но даже если и объясню, с помощью какого шаманства она получена, все равно без привязки к конечному количеству зарядов асимптотику Вы не получите. Ну, разве что, некая наводка, типа чего можно ожидать. К слову, я не очень-то и на формулу рассчитываю. Особенно, если там будет треугольная дельта-функция или предел $\lim \limits_{s \to 0} \frac 1s$. А, тэкскэть, признаки очень нехорошие ... Какая-то таинственность, очень сложно, не все поймут, подождем до понедельника ...

[Red_Herring]

sup в сообщении #983689 писал(а):

Особенно, если там будет треугольная дельта-функция

В данном случае я бы не судил так строго. Ну путает он $\delta$–функцию и $\delta$-образную последовательность.

[sup]

Да я не сужу. И не строго. Как мне представляется, речь идет о смеси строгих, полустрогих и совсем не строгих рассуждений. Ну и ладно. Если они помогут приблизиться к решению задачи - вообще отлично.
Проблема в другом. Как все эти рассуждения связаны с задачей о точечных зарядах? Ведь проблема то как раз в этом и заключается: грамотно перейти от дискретной задачи к непрерывной модели. Тогда уже появится возможность применять теорию с сингулярными интегралами итд.
А от какой-то там "магической" регуляризации (какая-бы она ни была) неких интуитивных интегралов никакого толку я не вижу.

[chislo_avogadro]

На этой задаче народу, как видно, уже немало полегло:
http://www.colorado.edu/physics/phys332 ... Needle.pdf
Из заключения

Цитата:

It is embarrassing to conclude that we still do not know what the charge density on a conducting needle is. We suspect that the problem is ill posed (in the sense that the answer depends on the model adopted), and even for those ("bead") models that seem to be approaching a common limit we cannot tell what the functional form of that limit might be --nor can we absolutely exclude the counterintuitive possibility that it is in fact a constant.