2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 ... 21  След.
 
 Re: Распределение заряда на иголке.
Сообщение04.03.2015, 02:49 
Аватара пользователя


08/12/08
302
amon в сообщении #985353 писал(а):
... Функция как функция... График нарисовать можно.
Ага, трёхмерный, хорошая мысль. Ну, представьте, дельта-функция в одной точке подпрыгивает с нуля в $+\infty$, а эта ж, зараза, с $-\infty$ в $+\infty$...
amon в сообщении #985353 писал(а):
С определением спорить бессмысленно - оно в справочнике написано.
Вот и гляньте, хотя бы, википедию (п. 1.1. Простое определение). Там ясно написано, что Ваше определение - следствие.
amon в сообщении #985353 писал(а):
Однако, Ваш результат...
amon, не я первый в этой теме упомянул про $\int\frac{\delta(y)}{(x-y)|x-y|}dy$. Я только сказал, что результат может быть таким или другим. А Вы утверждаете, что он только такой. Поэтому лучше сказать, что это Ваш результат.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на иголке.
Сообщение04.03.2015, 15:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
16/12/19
71277
drug39 в сообщении #985352 писал(а):
Но отрезок интегрирования $[-1, 1]$ содержит $x=0$.

:facepalm:
Интегрирование происходит по $y,$ где там можно увидеть $x=0$?

Насчёт определения $\delta$ amon прав, вам остро надо почитать теорию. Хёрмандер или Рихтмайер, например. (Там обобщённые функции называются, в соответствии с англоязычной традицией, распределениями - distributions.)

-- 04.03.2015 15:25:25 --

drug39 в сообщении #985371 писал(а):
Ага, трёхмерный, хорошая мысль. Ну, представьте, дельта-функция в одной точке подпрыгивает с нуля в $+\infty$

Это образно, так про дельта-функцию рассказывают инженерам, которым тонкости знать не надо. На самом деле, дельта-функция - вообще не функция, и поэтому ни черта не "подпрыгивает" - она этого просто не умеет.

drug39 в сообщении #985371 писал(а):
Вот и гляньте, хотя бы, википедию

Хорошо, что на забор не сослались, но это примерно одно и то же. Википедия как источник определений не котируется. Можете открыть Математическую Энциклопедию, если не верите учебникам (парочку я привёл, остальные спр. в разделе форума "Математика" - там вас функаном завалят по уши).

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на иголке.
Сообщение04.03.2015, 15:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
3867
ФТИ им. Иоффе СПб
drug39, ну что Вам сказать. В самом начале у меня было такое обращение:
amon в сообщении #980033 писал(а):
Хотелось бы узнать мнение знающих и опытных, если таковые этой ерундой заинтересуются.
IMHO, Вы под эту категорию, увы, не подходите (естественно, я могу ошибаться, но пока все к тому). Хотелось бы обсуждать задачку, которая, на мой взгляд, интересна тем, что, с одной стороны, нобеля за нее не дадут, поэтому можно обсуждать открыто, а с другой - это некий challange, поскольку эту задачку пытался решить чуть ли не Джеймс Клерк Максвелл, и с тех пор ни чего особо не сдвинулось. Вместо этого, приходится дискутировать с Вами об определении дельта-функции и прочей ерунде, написанной в справочниках (Вы, вместо википупии, Корна, хотя бы, откройте) и обсуждать уравнение, которое, скорее всего, в этой задаче, ветвь боковая и тупиковая. Посему у меня к Вам просьба. Если Вы хотите продолжить свою линию, откройте пожалуйста свою тему. От себя могу обещать в ней участвовать (или не участвовать - как скажите). Тем более, что удачный пример открытия параллельных тем на днях был (про гидродинамику ручьев), и там в параллельной, IMHO, продвинулись дальше, чем в основной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на иголке.
Сообщение05.03.2015, 10:32 
Заслуженный участник


22/11/10
1147
Похоже, что распределение зарядов таки стремится к равномерному (без дельта-функций). Хотя на краю логарифмическая "особенность". Нестрогие рассуждения такие.
Пусть даны отрезок $[0,1]$ и $n+1$ зарядов. Обозначим заряд в точке $x = j/n$ через $q_j$. Я уже показывал, что удобно перейти к разностям $d_j = q_j - q_{j-1}$. Относительно них мы имеем
$$-S_{k+1}q_0 + q_n S_{n-k+1} = \sum \limits_{j =1}^{k} S_j d_{k+1-j} + \sum \limits_{j =1}^{n-k} S_j d_{k+j}\qquad (*)$$
При этом $S_k \sim \frac 1k$. Кроме того, из соображений симметрии $d_k = -d_{n+1-k}$.
Пусть на отрезок кинули $2m$ точек ($n+1 = 2m$). Наша цель - найти/оценить разность $q_0 - q_{m-1}$. Проще говоря, разность величин зарядов в центре и на краю. Для этого надо найти $\sum d_k$. Из интуитивных соображений и численных экспериментов следует, что величины $d_k$ быстро выходят на 0. Будем предполагать, что это имеет место.
Суммируем все уравнения $(*)$ для $k=\overline{1,m-1}$. В результате получим
$$-q_0(\ln m + C_0 + o(1)) = \sum \limits_{k=1}^{m-1} (\ln m + C_k + o(1))d_k$$
Приведем подобные и поделим на $\ln m$. В силу сделанных предположений, можно считать, что
$$q_{m-1} = q_0\frac{A+o(1)}{\ln m}$$
Учитывая быстрый выход $q_k$ на константу, отсюда следует, что на каждом интервале заряд стремится к равномерному распределению. Что, разумеется, неудивительно. На концах - логарифмическая "особенность". Но дельта-функции не образуются.
У меня есть и более точные гипотезы, но, к сожалению, совсем нет времени. Надо бы погонять численные эксперименты и все это проверить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на иголке.
Сообщение05.03.2015, 16:56 
Аватара пользователя


08/12/08
302
Munin в сообщении #985537 писал(а):
:facepalm:
Интегрирование происходит по $y,$ где там можно увидеть $x=0$?
Ну, ошибся, можно было догадаться. Отрезок интегрирования содержит $y=0$, а при этом нельзя "зафиксировать" $x=0$.
Munin в сообщении #985537 писал(а):
На самом деле, дельта-функция - вообще не функция...
Я в курсе. Munin, давайте конструктивно. Я согласен на счет определения. Есть тонкости и есть разные определения. Но из каких определений Вам известна функция $f(x)=\int\limits_{-1}^{1}\frac{\delta(y)}{(x-y)|x-y|}dy$ ? По определению дельта-функции, например, из мат. энциклопедии этот интеграл не определён, поскольку требуется непрерывность умножаемой функции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на иголке.
Сообщение06.03.2015, 20:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
16/12/19
71277
drug39 в сообщении #986037 писал(а):
Ну, ошибся, можно было догадаться. Отрезок интегрирования содержит $y=0$, а при этом нельзя "зафиксировать" $x=0$.

Фиксирование $x$ происходит ещё до интегрирования. На плоскости $(x,y)$ вы задаёте подынтегральную функцию, потом прямую $x=\mathrm{const},$ потом получившееся сужение функции, зависящее только от $y,$ интегрируете по интервалу $y\in[-1,1]$ - с этим шагом не будет никаких проблем, кроме случая $x=0.$

Впрочем, это "на пальцах". При аккуратном рассмотрении мы запнёмся ещё в тот момент, когда увидим, что под интегралом - обобщённая функция, а её надо задать на плоскости двух переменных. Говорить о том, где она "хорошая" и "плохая", сужать её на одномерные линии - занятие не для средних умов (как мой), так что оставлю это более крутым профессионалам.

Вместо этого, я рассмотрю интеграл иначе: $\int\delta(y)\,F_x(y)\,dy.$ То есть, отложу обобщённо-функциональные рассуждения на потом. На плоскости $(x,y)$ зададим только обычно-функциональную часть подынтегрального выражения $F_x(y).$ И теперь смотрим, где она задана? Везде кроме прямой $x=y,$ очевидно. Фиксируем $x.$ Теперь вспоминаем, что такое дельта-функция. Это функционал, позволяющий вычислить $\int\delta(y)\,F(y)\,dy$ для $F(y)$ из некоторых классов функций, заданных на $[-1,1].$ Из каких? Вот тут и порылась собака. Geen, ссылаясь на Википедию, говорит о непрерывных функциях ($C^0[-1,1]$). Но можно взять и более широкое пространство, если на нём можно определить действие $\delta(y)$ хотя бы некоторых функциях, как предел значений на "хороших" (вспомним, что функционал не обязан быть определён на всём пространстве). В частности, можно взять функции, непрерывные почти всюду и интегрируемые в смысле главного значения (не знаю, есть ли для них соответствующее обозначение). Наша (ваша) $F_x(y)$ относится к этому классу, и действие $\delta(y)$ на неё может быть определено почти всегда, кроме только случая $x=0.$

Кажется, так. Приношу извенения всем математически более грамотным присутствующим за любую лажу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на иголке.
Сообщение06.03.2015, 20:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


02/08/11
5731
Munin в сообщении #986609 писал(а):
непрерывные почти всюду и интегрируемые в смысле главного значения (не знаю, есть ли для них соответствующее обозначение)
Кажется, именно это и называется "интегрируемость по Коши".

-- 06.03.2015, 21:14 --

А обсуждаемый интеграл вроде можно и как свёртку двух обобщённых функций рассмотреть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на иголке.
Сообщение06.03.2015, 20:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
9412
Hogtown
warlock66613 в сообщении #986616 писал(а):
А обсуждаемый интеграл вроде можно и как свёртку двух обобщённых функций рассмотреть.


Поподробнее: каких? Только если Вы скажете, что $1/|x|x$ это обобщенная функция, Вам придётся определить её действие на основные. Да, конечно, можно её регуляризовать до второй производной $x|x|^{-1}\ln |x|$, но это явно не то, что надо (уже писал об этом)

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на иголке.
Сообщение06.03.2015, 23:27 
Аватара пользователя


08/12/08
302
Можно рассуждать так.
$\left\lvert f(x)\right\rangle=\hat N(x,y)\left\lvert g(y)\right\rangle$, где $\hat N(x,y)$ - такой оператор, что $f(x)=\int\limits_{-1}^{1}\frac{g(y)}{(x-y)|x-y|}dy$.
Оператор дейсвует на отрезке $y\in[-1,1]$ на всю функцию $g(y)$ целиком. Результат дейсвия оператора - функция $f(x)$ на всём отрезке $x\in[-1,1]$. Поэтому с учётом того, что сказал Munin, следует, что вся функция $\left\lvert f(x)\right\rangle$ не определена, если $\left\lvert g(y)\right\rangle=\left\lvert\delta(y)\right\rangle.$
Поэтому я и сказал, что для того, чтобы функция $f(x)$ была определена, нужны специальные оговорки. А результат $\int\limits_{-1}^{1}\frac{\delta(y)}{(x-y)|x-y|}dy=\frac 1 {x|x|}$ напрямую следует из физических соображений, т.е. из закона Кулона. К тому же, у меня в равенстве $$\rho(y)=C_0+C_1\delta_{-}(y+1)+C_2\delta_{+}(y-1)$$ функции $\delta_{-}$ и $\delta_{+}$ понимаются как обычные функции, которые лишь стремятся к дельта-функциям.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на иголке.
Сообщение07.03.2015, 00:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
16/12/19
71277
drug39 в сообщении #986735 писал(а):
Поэтому с учётом того, что сказал Munin, следует, что вся функция $\left\lvert f(x)\right\rangle$ не определена, если $\left\lvert g(y)\right\rangle=\left\lvert\delta(y)\right\rangle.$

По банальной причине, с которой вы, вроде, уже согласились: дельта - это не функция вообще. От слова "никак".

И оператор стоит перед ней в немом изумлении, и пытается поднять челюсть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на иголке.
Сообщение08.03.2015, 14:23 


31/07/14
520
Я понял, но не врубился.

(Распределение заряда на эллипсоиде...)

Пользуясь затишьем, предложу для коллекции ещё один (тупиковый) подход. Навеян фактом равномерного распределения заряда на эллипсоиде. Какое этому можно найти физическое объяснение? Видимо дело в том, что кольца отталкиваются слабее, чем точки, и тем слабее, чем больше их радиус. Это интуитивно ясно, но для подтверждения можно отсюда Off-axis electric field of a ring of charge http://student.ndhu.edu.tw/~d9914102/Te ... 0Paper.pdf вылущить асимптотическую формулу для осевой проекции ${E}$ в точках, близких к кольцу (расстояние от точки до кольца $h$ намного меньше его радиуса $a$, (точка "над кольцом" на расстоянии радиуса от оси)): $E_z \sim \frac{Q}{h\cdot a} $ T.e. равномерность распределения заряда на эллипсоиде "оплачивается" неравномерностью закона взаимодействия (колец) по его длине. Если же форма эллипсоида будет при стягивании сломана и преобразована в 1D, то эта неравномерность должна, для сохранения равновесия зарядов, перейти как бы на распределение заряда.
Если так, то дальше по плану: 1. Найти интегрированием по длине эллипсоида условие равновесия в $x$. Тем самым определится функция $\mathcal{E} (x-y)$ (это $\int\limits_{-1}^{1}\frac{\rho_0}{\mathcal{E} (x-y)}dy=0$). 2. И если $\mathcal{E} (x-y)$ разлагаема на множители: $\mathcal{E} (x-y)={(x-y)\cdot|x-y|}\cdot{\rho(y)^{-1}}$, то и имели бы $\rho(y)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на иголке.
Сообщение08.03.2015, 16:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
3867
ФТИ им. Иоффе СПб
chislo_avogadro в сообщении #987396 писал(а):
1. Найти интегрированием по длине эллипсоида условие равновесия в $x$.

Это место поясните пожалуйста, а то праздник на дворе, соображается тяжело ...

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на иголке.
Сообщение08.03.2015, 20:23 


31/07/14
520
Я понял, но не врубился.
Я предполагал так - вычисляется сила (интегрирование по кольцам), действующая на пробный заряд в $x$ слева, и она же справа. Они должны быть равны. Как я понимаю, у вас тут ведь для иглы то же самое написано -
amon в сообщении #980164 писал(а):
$$VP\int\limits_{-1}^{1}\frac{\rho(y)}{(x-y)|x-y|}dy=0$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на иголке.
Сообщение08.03.2015, 22:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
3867
ФТИ им. Иоффе СПб
chislo_avogadro в сообщении #987509 писал(а):
Я предполагал так - вычисляется сила (интегрирование по кольцам)

Понял. Над этим можно подумать. Сразу я изъяна не вижу, как, впрочем, и ответа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение заряда на иголке.
Сообщение10.03.2015, 20:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


02/08/11
5731
Red_Herring в сообщении #986638 писал(а):
Поподробнее: каких?
Ничего не могу добавить к сказанному вами далее.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 308 ]  На страницу Пред.  1 ... 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 ... 21  След.

Модераторы: Jnrty, whiterussian, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group