Странные мысли о размерностях физических величин

[Munin]

amon в сообщении #943414 писал(а):

Сена Л.А. Единицы физических величин и их размерности. Очень поучительно. Особенно, в свое время, про круглый метр понравилось.

Там довольно простенькое изложение "для инженеров". Тут, насколько я понимаю, нужто что-то уровня мехмата или физфака.

Aritaborian в сообщении #943419 писал(а):

Nemiroff, Munin, понимаю, о чём вы. Но какой с этого практический толк?

Смотря где. Например, можно сложить между собой функции пространственной плотности заряда, заданной в объёме, и поверхностной плотности заряда, заданной на поверхности, и всё это вместе - подставить в правую часть уравнения.

Правда, физиков и инженеров всё равно этому не учат :-)

provincialka в сообщении #943422 писал(а):

Об умножении: мультипликативные шкалы тоже существуют. (Деци)белы там разные. Но они, кажется, безразмерные?

Они "безразмерные" в традиционном толковании размерностей. Но не рекомендуется переводить друг в друга децибелы, октавы, биты и звёздные величины! По простой причине: ими измеряются разные вещи. А изначально размерности для того и придуманы были, чтобы исключать подобную путаницу. (Здесь надо аккуратно не путать размерности и единицы измерения величин - хоть они и встречаются вместе, но всё-таки вещи разные.)

Hyper_Tor
Если вы не понимаете, о чём речь, или просто не можете сказать что-то дельное, то воздержитесь от участия в разговоре. Здесь не чат и не "болталка".

[provincialka]

Munin в сообщении #943527 писал(а):

Но не рекомендуется переводить друг в друга децибелы, октавы, биты и звёздные величины! По простой причине: ими измеряются разные вещи.

Собственно, "шкала" (в широком смысле) так и строится. Берется одна численная модель объекта, а остальные получаются из нее допустимыми преобразованиями. Математики, правда, объект "отрезают" и исследуют только группу преобразований. Ну, это профессиональная привычка.

О другом. Я что-то не читала в теории о "комплексных" шкалах. Тех самых, что приводят к $\text{м}^2$ или к каким-нибудь ваттам.

Всегда можно рассмотреть декартово произведение отдельных численных моделей. Например, скорость можно рассматривать как величину, выражаемую через метры и секунды. Каждую из единиц измерения можно преобразовать в шкале отношений: пара $(x\ \text{м}, t\ \text{с})$ переходит, скажем, в $(100x\ \text{см}, \frac{1}{3600}t\ \text{ч})$. Если теперь построить новую величину, равную произведению/частному "старых", то она будет преобразовываться по тому же закону: $x_1=kx, y_1=ly$, тогда $x_1y_1 =kl\ xy$. Тут все понятно.

Для шкал интервалов дело обстоит похуже: если $x_1=kx +b, y_1=ly+c$, то $x_1y_1 =kl\ xy + bly +ckx +bc$. Видимо, в данном случае лучше рассматривать некие шкалы отношений, "присоединенные" к шкалам интервалов. То есть с теми же единицами измерения.

А вот идея Munin складывать разноименные величины мне пока непонятна. Ту даже в случае шкал отношений получится разнобой. Думаю, при этом, в скрытом или явном виде у (одной из) величин должен присутствовать множитель, переводящий один эталон в другой. Вроде скорости света, которая постоянна, хотя численно зависит от единиц измерения.

Вот только я не знаю, каким может быть "переводной множитель" между поверхностным и объемным зарядами. Его размерность - см (или 1/см, если переводить в обратном порядке). То есть должен существовать какой-то характерный, "естественный" размер?

[warlock66613]

provincialka в сообщении #943638 писал(а):

Вот только я не знаю, каким может быть "переводной множитель" между поверхностным и объемным зарядами.

Дельта-функцией он должен быть :)

-- 10.12.2014, 15:46 --

Кстати, дельта-функцией от размерной величины!

[Hyper_Tor]

provincialka в сообщении #943638 писал(а):

А вот идея Munin складывать разноименные величины мне пока непонятна. Ту даже в случае шкал отношений получится разнобой. Думаю, при этом, в скрытом или явном виде у (одной из) величин должен присутствовать множитель, переводящий один эталон в другой. Вроде скорости света, которая постоянна, хотя численно зависит от единиц измерения.
Вот только я не знаю, каким может быть "переводной множитель" между поверхностным и объемным зарядами. Его размерность - см (или 1/см, если переводить в обратном порядке). То есть должен существовать какой-то характерный, "естественный" размер?

А Munin не предлагал складывать объемный и поверхностный заряды, он предлагал складывать их функции.

[Red_Herring]

provincialka в сообщении #943638 писал(а):

А вот идея Munin складывать разноименные величины мне пока непонятна.

А разве он их складывает в обычном смысле? Он берет прямую сумму, т.е. не "килограмм + метр", a "килограмм $\oplus$ метр".

warlock66613 в сообщении #943647 писал(а):

Кстати, дельта-функцией от размерной величины!

Что, кстати, математически себя декларирует через $\delta_n (\lambda x)= \lambda^{-n}\delta_n(x)$ для $\lambda>0$.

Munin в сообщении #943527 писал(а):

Hyper_Tor
Если вы не понимаете, о чём речь, или просто не можете сказать что-то дельное, то воздержитесь от участия в разговоре. Здесь не чат и не "болталка".

Ну он же (к сожалению) не монах в Латрунском аббатстве

http://en.wikipedia.org/wiki/Trappists#Monastic_life писал(а):

"Strict Observance" refers to the Trappists' goal of following closely St. Benedict's Rule and taking the three vows described in his Rule (c. 58): stability, fidelity to monastic life, and obedience. Benedict's insistence on lack of speech has some impact on their way of life, though (contrary to popular belief) they do not take a vow of silence.[4] Trappist monks generally speak only when necessary; thus idle talk is strongly discouraged. According to St. Benedict, speech disturbs a disciple's quietude and receptivity, and may tempt one to exercise one's own will instead of the will of God. Speech that leads to unkind amusement or laughter is seen as evil and is banned.[5] A Trappist sign language, distinct from other forms of monastic sign language, has developed to render speaking unnecessary. Meals are usually taken in contemplative silence as members of the order are supposed to listen to a reading.[6]

[arseniiv]

Тут посылали за размерностями к Зоричу, а он посылает в книгу Манин Ю. И. Математика и физика. Как я сейчас вижу, во вторую главу. И как вижу немного погодя, начало обещающее.

-- Ср дек 10, 2014 20:31:53 --

Нет, всё-таки кое-где было в два раза больше.

[Munin]

provincialka в сообщении #943638 писал(а):

А вот идея Munin складывать разноименные величины мне пока непонятна. Ту даже в случае шкал отношений получится разнобой. Думаю, при этом, в скрытом или явном виде у (одной из) величин должен присутствовать множитель, переводящий один эталон в другой.

Тут в скрытом виде у обеих величин присутствует функция перевода $(\text{чайники})\to(\text{чайники},0)$ или $(\text{арбузы})\to(0,\text{арбузы}).$ А потом уже двумерные величины складываются.

Red_Herring
"К сожалению" +1.

Кстати, это всё-таки полумеры. Мы добавили к умножению сложение, а надо-то освободиться от любой привязки к конкретным операциям, освоить их все! :-)

arseniiv
Спасибо за ссылку, сейчас посмотрю.

[provincialka]

Munin, спасибо за разъяснения. Вы спасли меня от небольшого культурного шока.

Попутно недоумение по поводу умножения/деления величин. Любой ли комбинации можно придать смысл? Например, $\text{руб}^2$ - что это такое? Впрочем, квадратные величины появляются при вычислении дисперсии. Так что это просто средний квадрат доходов.

Можно устроить конкурс на самое странное (но осмысляемое!) сочетание размерностей величин.

[Prikol]

warlock66613 в сообщении #943387 писал(а):

В последней формуле постоянная Больцмана $k$ должна быть выражена в $\frac {\text{J}} {{}^{\circ}\text{ C}}$. В предпоследней - в $\frac {\text{J}} {\text{ K}}$.

Неправильно! Так может быть выражена не постоянная Больцмана (как вы сказали), а лишь размерность постоянной Больцмана. Если же вы хотите действительно выразить постоянную Больцмана, то у вас получатся две разные формулы для К и С.

warlock66613 в сообщении #943387 писал(а):

... поэтому мы чисто алгебраически немедленно получаем $1^{\circ}\text{ C} = 1 \text{ K}$, что никак не согласуется с $T_0=273^{\circ}\text{ C} = 0 \text{ K}$.

Выражение $1^{\circ}\text{ C} = 1 \text{ K}$ имеет смысл только для изменения температуры, но не для температуры.

Обе ошибки совершенно элементарны и относятся к категории неоправданного расширения смысла первоначально правильного утверждения.

[warlock66613]

Prikol в сообщении #943993 писал(а):

Выражение $1^{\circ}\text{ C} = 1 \text{ K}$ имеет смысл только для изменения температуры, но не для температуры.

Да что вы говорите. Как же я сам не догадался? (sarcasm)

-- 10.12.2014, 23:24 --

kp9r4d, спасибо за наводку на Зорича. Хорошая книжка.

[Prikol]

warlock66613 в сообщении #943995 писал(а):

Prikol в сообщении #943993 писал(а):

Выражение $1^{\circ}\text{ C} = 1 \text{ K}$ имеет смысл только для изменения температуры, но не для температуры.

Да что вы говорите. Как же я сам не догадался? (sarcasm)

В данном случае надо не догадываться, а просто помнить элементарные школьные определения.

warlock66613 в сообщении #943387 писал(а):

... поэтому мы чисто алгебраически немедленно получаем $1^{\circ}\text{ C} = 1 \text{ K}$, что никак не согласуется с $T_0=273^{\circ}\text{ C} = 0 \text{ K}$.

Надеюсь, вы уже догадались, что ваше утверждение о том, что никак не согласуется - неверно. На самом деле все прекрасно согласуется!

-- 10.12.2014, 23:59 --

provincialka в сообщении #943846 писал(а):

Например, $\text{руб}^2$ - что это такое?

В промежуточных выкладках или как часть математических выражений могут возникать всякие степени единиц измерения, даже дробные. Но в окончательных выражениях для того, что можно измерить непосредственно, после приведения систем единиц, остаются первые степени, либо безразмерные величины.

Даже секунда в квадрате неизмерима. Нет ни эталона, ни секундомера для секунд в квадрате. Потому что время одномерно.

Пожалуй единственное исключение - измерение площадей и объемов. Это исключение возможно потому, что пространство неодномерно.

[Hyper_Tor]

Секунда в квадрате характеризует величину, обратную ускорению. То, что время одномерной, никем строго не доказано.

-- 11.12.2014, 00:09 --

Ничто не мешает сделать прибор, измеряющий секунды в квадрате.

[arseniiv]

Prikol в сообщении #943993 писал(а):

Обе ошибки совершенно элементарны и относятся к категории неоправданного расширения смысла первоначально правильного утверждения.

Да, вы пришли тут самый умный и проблему просто-напросто порешили!

Prikol в сообщении #944008 писал(а):

Но в окончательных выражениях для того, что можно измерить непосредственно, после приведения систем единиц, остаются первые степени, либо безразмерные величины.

СГС со своими полуцелыми степенями нервно хихикает в сторонке.

Prikol в сообщении #944008 писал(а):

Даже секунда в квадрате неизмерима. Нет ни эталона, ни секундомера для секунд в квадрате. Потому что время одномерно.

Пожалуй единственное исключение - измерение площадей и объемов. Это исключение возможно потому, что пространство неодномерно.

Прежде чем винить других в смешивании вещей, перестаньте сначала заниматься этим сами. Я легко могу построить секундомер для секунд в квадрате — просто заменю у обычного шкалу.

P. S. И используйте уже, наконец, курсив. Как нормальные люди.

Hyper_Tor в сообщении #944021 писал(а):

То, что время одномерной, никем строго не доказано.

Давайте вы будете путать реальность, физические модели и математику в другом месте?

arseniiv в сообщении #943712 писал(а):

Нет, всё-таки кое-где было в два раза больше.

Там всё так же крутится вокруг $D$ и $D^*$ (в обозначениях Манина), но структура их может быть богаче. Так-то мы измеряем только величины со спектром значений — подпространством вещественной аффинной прямой, но для теории удобно ввести величины и с другими спектрами значений.

[provincialka]

Ого! Сразу два ценных собеседника. В игнор, что ли, вставить? А то у меня там практически пусто.

[Hyper_Tor]

arseniiv писал(а):

Давайте вы будете путать реальность, физические модели и математику в другом месте?

Уважаемый Prikol обосновал невозможность измерения секунд в квадрате тем, что время одномерно, я лишь указал на то, что это никем не доказано, одномерное время- это действительно лишь модель и абстракция.

arseniiv писал(а):

Я легко могу построить секундомер для секунд в квадрате — просто заменю у обычного шкалу.

Не могли бы Вы пояснить, что и как Вы будете измерять таким секундомером?