2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 8  След.
 
 Странные мысли о размерностях физических величин
Сообщение10.12.2014, 02:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


02/08/11
5217
Периодически приходят в голову странные мысли о размерностях.

Известно, что при переходе от одной системы единиц к другой в формулах могут появляться дополнительные коэффициенты. Ну, скажем
в СГС
$\varphi=-q/r$
а в СИ приходится добавлять размерный коэффициент, которого не было в СГС в явном виде, так как в СГС он безразмерный и равен единице:
$\varphi=-kq/r$.

Такая же по сути ситуация с кельвинами и градусами Цельсия. При использовании в качестве единицы температуры кельвина формула выглядит просто:
$E=kT/2$
А при использовании градусов Цельсия приходится добавлять размерную величину - только не коэффициент, а слагаемое:
$E=k(T+T_0)/2$
Здесь $T_0 = 273^{\circ}\text{ C}$. При этом при использовании кельвинов $T_0 = 0\text{ K}$, поэтому в явном виде эта константа отсутствует.

Всё вроде хорошо и логично. Однако далее начинаются проблемы. В последней формуле постоянная Больцмана $k$ должна быть выражена в $\frac {\text{J}} {{}^{\circ}\text{ C}}$. В предпоследней - в $\frac {\text{J}} {\text{ K}}$. Однако числовое их значение одно и то же, поэтому мы чисто алгебраически немедленно получаем $1^{\circ}\text{ C} = 1 \text{ K}$, что никак не согласуется с $T_0=273^{\circ}\text{ C} = 0 \text{ K}$.

Я чувствую, что это можно как-то всё решить и получить действительно стройную теорию размерностей, однако все попадавшиеся мне на эту тему книги обходят такие странные вопросы - про градусы, децибеллы, радианы - стороной. Может кто-нибудь из участников форума имеет что сказать про это?

 Профиль  
                  
 
 Re: Странные мысли о размерностях физическиз величин
Сообщение10.12.2014, 02:04 
Аватара пользователя


11/06/12
8396
calm.angel.driven
Но ведь и в самом деле $1^{\circ}\text{C} = 1 \text{K}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Странные мысли о размерностях физических величин
Сообщение10.12.2014, 02:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11724
Казань
Насчет градусов не вижу ничего странного. Да, эталоны в обеих системах равны, а точки отсчета разные. При этом в шкале Кельвина используется "естественный" нуль, поэтому получается шкала отношений. А в остальных нули произвольны, так что при их помощи температура измеряется в шкале интервалов.
По идее, шкала отношений "сильнее", но на практике, в быту она неудобна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Странные мысли о размерностях физических величин
Сообщение10.12.2014, 02:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


02/08/11
5217
Я к тому, что с размерностями обращаются обычно как с некоторой алгебраической системой. Берём $1\text{ m}=100\text{ cm}$, возводим в квадрат и получаем $1\text{ m}^2=10000\text{ cm}^2$ - верное соотношение. Но как так получилось? Ведь нет на самом деле обоснования почему так можно делать. Более того, легко придти к противоречию, как я показал выше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Странные мысли о размерностях физических величин
Сообщение10.12.2014, 02:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
23981
Уфа
Нельзя-нельзя, если добавить ещё немного информации о типах (см. в оффтопе).

warlock66613 в сообщении #943387 писал(а):
Может кто-нибудь из участников форума имеет что сказать про это?
Точно скажу, что было не менее двух интересных постов в не менее двух темах, но ещё точнее уже пока не помню.

(Оффтоп)

Здесь и сейчас могу добавить, что есть «векторные» величины, а есть «аффинные». С температурой vs. разностью температур получается всё, как будто, понятно. А как будто и нет — температура, абсолютная, в Кельвинах, нами на то и выбрана, что у неё ясно какой ноль. А это не то же самое что выделенный ноль у разностей температур! Как мы узнали, где у прямой без выделенных точек — ноль? Что-то тут не так, но я потому и пойду спать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Странные мысли о размерностях физических величин
Сообщение10.12.2014, 02:18 


06/12/14

154
Вот нашел статью на сайте омского университета, человек занимался вопросами размерности физических величин, но по современным меркам его работы считаются лженаукой, может Вы что- либо поймете:http://www.univer.omsk.su/omsk/Sci/Bartini/s2.htm

 Профиль  
                  
 
 Re: Странные мысли о размерностях физических величин
Сообщение10.12.2014, 02:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


02/08/11
5217
Почему вообще мы представляем величины как произведение числового значения на единицу измерения? Почему бы не прибавлять? Или умножать на тангенс единицы измерения? Чем так умножение выделено, с чего?

 Профиль  
                  
 
 Re: Странные мысли о размерностях физических величин
Сообщение10.12.2014, 02:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
warlock66613
В книге Зорича «Математический анализ задач естествознания» первая глава посвящена построению «теории размерностей», не знаю, насколько то в тему, сам не читал, но может вам полезно будет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Странные мысли о размерностях физических величин
Сообщение10.12.2014, 02:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
66706
provincialka
Вот у вас есть литература по этим самым шкалам?

 Профиль  
                  
 
 Re: Странные мысли о размерностях физических величин
Сообщение10.12.2014, 02:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11724
Казань
warlock66613 в сообщении #943397 писал(а):
Берём $1\text{ m}=100\text{ cm}$, возводим в квадрат и получаем $1\text{ m}^2=10000\text{ cm}^2$ - верное соотношение.
Именно потому, что длина измеряется в шкале отношений, а не интервалов.
Есть такая "Теория измерений", там это все обосновывается аккуратно. Вводятся понятия:
    - численная модель (отображение объектов в множество чисел)
    - шкала как набор численных моделей. Переход от одной численной модели к другой происходит с помощью допустимого преобразования.
    - тип шкалы, определяемый набором (группой) допустимых преобразований.
    - допустимое высказывание и, на основе его, допустимая операция: высказывание, инвариантное относительно группы преобразований.
В частности, в шкале отношений допустимы преобразования $y=kx$, а в шкале интервалов - $y = kx+b$
В шкале отношений допустима сумма (1 кг + 2 кг = 3 кг), а в шкале интервалов - нет (1 мая + 2 мая не равно 3 мая). Но и там, и там допустимо среднее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Странные мысли о размерностях физических величин
Сообщение10.12.2014, 02:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
66706
warlock66613 в сообщении #943403 писал(а):
Почему вообще мы представляем величины как произведение числового значения на единицу измерения? Почему бы не прибавлять?

Да хосподи, хотите прибавлять - прибавляйте! :-)
$12\text{ кг}=12\cdot\text{кг}\,\,\Longleftrightarrow\,\,\ln(12\text{ кг})=\ln 12+\ln\text{кг}.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Странные мысли о размерностях физических величин
Сообщение10.12.2014, 02:26 
Аватара пользователя


11/06/12
8396
calm.angel.driven
warlock66613 в сообщении #943403 писал(а):
Почему вообще мы представляем величины как произведение числового значения на единицу измерения? Почему бы не прибавлять?
Потому что перемножать разнородные штуки можно, а складывать — нельзя. Умножая число на метры, мы получаем метры, а что мы получим, складывая безразмерную штуку с метрами? Умножая метры на ньютоны, получим ньютон-метры, они же джоули, а что получим, складывая их?

 Профиль  
                  
 
 Re: Странные мысли о размерностях физических величин
Сообщение10.12.2014, 02:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11724
Казань
Munin в сообщении #943406 писал(а):
Вот у вас есть литература по этим самым шкалам?

У меня есть старая книжка 1992 года, изданная в МГУ для психологов. Наверное, существуют и более новые.

 Профиль  
                  
 
 Re: Странные мысли о размерностях физических величин
Сообщение10.12.2014, 02:27 


06/12/14

154
Может потому, что структура Вселенной эквивалентна некой алгебраической структуре?

 Профиль  
                  
 
 Re: Странные мысли о размерностях физических величин
Сообщение10.12.2014, 02:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
66706
warlock66613 в сообщении #943403 писал(а):
Чем так умножение выделено, с чего?

Я подозреваю, что телега впереди лошади. Мы имеем некое векторное пространство (касательное в общем случае к чему-то ещё более гнутому), и вводим на этом векторном пространстве аддитивные обозначения. Могли бы ввести мультипликативные - рассматривая векторы просто как группу. Ну, потом, конечно, все эти векторные пространства сшиваются между собой в какую-то алгебру...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 115 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 8  След.

Модераторы: Парджеттер, Pphantom, Aer, photon, profrotter, Eule_A, Jnrty, whiterussian, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group