2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7, 8  След.
 
 Re: Странные мысли о размерностях физических величин
Сообщение11.12.2014, 22:00 


06/12/14

154

(Оффтоп)

Понимаю, профессиональная солидарность, но все же справедливость должна быть выше солидарности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Странные мысли о размерностях физических величин
Сообщение11.12.2014, 22:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
22977
Уфа

(Оффтоп)

Какая солидарность? Морозите глупости вы, и приписываете мне того, чего я не имел в виду, тоже вы. Это всякому, мало-мальски понимающему употребление русского языка, будет ясно. Игнор заработали, действительно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Странные мысли о размерностях физических величин
Сообщение11.12.2014, 23:02 


06/12/14

154

(arseniiv)

Спасибо, надеюсь игнор будет полным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Странные мысли о размерностях физических величин
Сообщение13.12.2014, 03:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
65050
provincialka в сообщении #943846 писал(а):
Попутно недоумение по поводу умножения/деления величин. Любой ли комбинации можно придать смысл? Например, $\text{руб}^2$ - что это такое?

Тут тоже не надо ставить телегу впереди лошади. Не смысл подбирается под комбинацию, а комбинация под смысл. Допустим, какая-нибудь секунда в 17-й степени - тоже не имеет никакого смысла, потому что никому не нужна оказалась до сих пор. Но бывает и так, что у одной и той же комбинации возникает несколько смыслов. Этот случай очень важен, его надо рассмотреть подробнее.

а) Бывает так, что у одной комбинации есть несколько смыслов, которые тем не менее не следует путать. Например, размерности работы и момента силы совпадают ($\text{Н}\cdot\text{м}$). Но это вещи совсем разные, никогда друг в друга не "превращаются", и если случайно одно подставят вместо другого - будет ошибка. Именно от ошибок такого рода призвана защищать система размерностей. Но в данном случае не защищает. (Ещё пример: если угловые градусы или проценты будут использованы вместо радианов или какой-то другой безразмерной величины.) Здесь возникает желание "доработать" систему размерностей, чтобы она от таких ошибок защищала. Иногда это возможно, хотя будет, разумеется, нестандартным.

б) Бывает так, что у одной комбинации есть несколько смыслов, которые не следует путать на элементарном уровне. Но при более глубоком рассмотрении, они оказываются между собой связаны, и в частности, могут входить в одни и те же формулы. Школьные примеры: работа и энергия, напряжение и потенциал. Нешкольный пример: давление ($\text{сила}/\text{площадь}$) и плотность энергии ($\text{энергия}/\text{объём}$). Оказывается, что если взять некий объём вещества, то давление на его поверхности будет взаимосвязано с энергией внутри этого объёма. Не обязательно равны! Даже чаще всего не равны. Но взаимосвязаны, например, линейно пропорциональны с безразмерным коэффициентом. Изучением этой взаимосвязи занимается теоретическая физика. И ещё пример, совсем для удовольствия: гравитационный потенциал ($(\text{ускорение свободного падения})\cdot\text{расстояние}$) имеет ту же размерность, что квадрат скорости. Оказывается, что гравитационный потенциал во столько же раз меньше величины $c^2$ (квадрата скорости света), во сколько раз замедление времени в этом потенциале меньше самого прошедшего времени ($\Delta t/t,$ безразмерная величина).

Такие случаи - сложные для интерпретации. На элементарном уровне - система размерностей должна бы защищать от простейшей путаницы. Но на более глубоком - не должна запрещать находить подобную взаимосвязь. Например, величины электрического и магнитного поля $E,D,B,H$ в системе СИ все имеют различные размерности, а в системе СГС - все одинаковые. Это более глубоко и удобно для теоретиков.

И, пожалуй,
в) Бывает так, что у одной комбинации есть несколько смыслов, которые на самом деле между собой связаны, но современная наука этого ещё пока не обнаружила. Скажем, электрический заряд и цветовой заряд кварков (и тот и другой безразмерны, либо имеют каждый свою отдельную размерность).

 Профиль  
                  
 
 Re: Странные мысли о размерностях физических величин
Сообщение13.12.2014, 03:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5038
Munin в сообщении #945282 писал(а):
Но это вещи совсем разные, никогда друг в друга не "превращаются", и если случайно одно подставят вместо другого - будет ошибка.


Не такие уж и разные. Момент силы — это работа на один оборот (с точностью до $2\pi$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Странные мысли о размерностях физических величин
Сообщение13.12.2014, 03:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
65050
warlock66613 в сообщении #944069 писал(а):
Можно сделать радиан размерным, введя новую фундаментальную константу $o_b = 2 \pi\text{ рад}$. Её абсолютное безразмерное значение есть просто $2 \pi$.

Это, конечно, верно. Но в обратную сторону с метром - вы махнули. Если не принимать в расчёт планковские единицы (которые пока не работают ни в одной подтверждённой теории), метр пока размерен. Его размерность - обратная масса (в $c=\hbar=1$) или просто масса (в $c=G=1$).

warlock66613 в сообщении #944069 писал(а):
Кажется разумным начать со следующей интерпретации. Истинные законы природы все безразмерны.

Это тоже смело (как я сказал выше). Предлагаю начать с другого: все законы природы, известные на сегодняшний день, работают на многообразиях, не менее чем гладких. А значит, для них есть касательные векторные пространства, а в векторном пространстве можно взять один вектор за базис одномерного подпространства, и все остальные выразить через него. Вот вам и идеология эталона и сравнения с эталоном. Всё остальное - введение дополнительных структур, снова гладких, и поэтому снова - имеющих некоторый размерный смысл (например, $x=y^3$ переходит в себя при масштабировании $x$ в третьей степени по сравнению с $y$).

warlock66613 в сообщении #944069 писал(а):
Почему смотрится странно и обычно указывает на ошибку появление в формуле (например) тригонометрической функции от размерной величины? Здесь тоже ответ, явно, должен быть связан с теорией размерностей, но его конкретное содержание для меня пока туманно.

Здесь я видел ответ очень простой, но не знаю, насколько он вас удовлетворит.
$\sin x\stackrel{\mathrm{def}}{=}x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\dfrac{x^7}{7!}+\ldots$
где коэффициенты зафиксированы определением и безразмерны. Значит, подстановка размерной величины сразу "ломает" всю формулу.

amon в сообщении #944096 писал(а):
Вы охаянного Munin'ым Сену все-таки почитайте.

Не надо, пожалуйста. Я его не охаивал. Просто не тот уровень. А вы почитайте Манина, для сравнения.

warlock66613 в сообщении #944104 писал(а):
Ну и конечно, будет красиво в конце концов переформулировать всё без использования ненаблюдаемых абсолютных значений констант - но, как известно, калибровки и фоновые метрики далеко не всегда легко исключаются явным образом.

А вот это интересная мысль. http://en.wikipedia.org/wiki/Conformal_anomaly

g______d в сообщении #944105 писал(а):
Ни в один физический закон не входит температура по Цельсию.

"Тройная точка воды имеет $t=0{,}01^\circ\,\mathrm{C}.$" :-)

(Оффтоп)

Prikol в сообщении #944075 писал(а):
Если бы это было так, то имели бы право на существование увеличеные и уменьшеные, скажем раза в три или в пять с полтиной, копии привычных нам частиц, молекул и т.д. И тогда их можно было бы иногда наблюдать в ускорителях после столкновений обычных частиц. Ан нет! :mrgreen:

http://en.wikipedia.org/wiki/Unparticle_physics


warlock66613 в сообщении #944109 писал(а):
Посмотрите у меня - размерная величина всё-таки является действительным числом.

Строго говоря, не известно никаких причин, почему бы "размерные величины, выраженные в естественных единицах как безразмерные", не могли бы быть подставлены в какие-нибудь функции типа тригонометрических. Более того, в какой-нибудь гидродинамике такое сплошь и рядом происходит. Правда, там не красивые функции типа тригонометрических, а что-то типа $ax+bx^2+\ldots,$ где $a,b...$ безразмерные феноменологические константы, а $x$ - какое-нибудь число типа Маха или Рейнольдса.

g______d в сообщении #944169 писал(а):
Как насчет постоянной тонкой структуры?

Размерная же: $\alpha=e^2$ :-) (Физики прикол поймут... математики могут повестись...)

 Профиль  
                  
 
 Re: Странные мысли о размерностях физических величин
Сообщение13.12.2014, 03:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5038
Munin в сообщении #945288 писал(а):
Размерная же: $\alpha=e^2$ :-) (Физики прикол поймут... математики могут повестись...)


В планковской системе, что ли? Так в ней и заряд безразмерный )

-- Пт, 12 дек 2014 17:47:22 --

Munin в сообщении #945288 писал(а):
"Тройная точка воды имеет $t=0{,}01^\circ\,\mathrm{C}.$" :-)


Это не закон, а определение $^\circ\,\mathrm{C}.$ В закон должны входить величины, определенные ранее (Кэп).

 Профиль  
                  
 
 Re: Странные мысли о размерностях физических величин
Сообщение13.12.2014, 03:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
3267
ФТИ им. Иоффе СПб
Munin в сообщении #945288 писал(а):
Не надо, пожалуйста. Я его не охаивал.

Извините, это у меня юмор такой...

 Профиль  
                  
 
 Re: Странные мысли о размерностях физических величин
Сообщение13.12.2014, 07:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
65050
g______d в сообщении #945289 писал(а):
В планковской системе, что ли?

Нет, в обычной декартовой... тьфу, в обычной $c=\hbar=1.$

g______d в сообщении #945289 писал(а):
Так в ней и заряд безразмерный )

Good point, но подколка всё ещё не в этом. И заряд можно считать всё-таки размерным: он сохраняется.

g______d в сообщении #945289 писал(а):
Это не закон, а определение $^\circ\,\mathrm{C}.$

Нет, определение у него через кипение и замерзание воды при давлении 1 атмосфера :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Странные мысли о размерностях физических величин
Сообщение13.12.2014, 21:10 
Заслуженный участник


29/09/14
869
Munin в сообщении #945282 писал(а):
Бывает так, что у одной комбинации есть несколько смыслов, которые тем не менее не следует путать.

Ещё неплохой пример: размерность электрического сопротивления совпадает с размерностью обратной скорости в механике ($30\, \text{Ом\,=1/c}$ , приблизительно есс-но).

 Профиль  
                  
 
 Re: Странные мысли о размерностях физических величин
Сообщение13.12.2014, 23:18 
Аватара пользователя


25/06/14
686
Miami FL
warlock66613 в сообщении #944102 писал(а):
Моё утверждение о безразмерности носит совершенно другой характер. Прежде всего следует заметить, что оно принципиально неопровержимо.

Тогда по Попперу ваше утверждение есть догма, а не научное утверждение.

-- 14.12.2014, 00:24 --

warlock66613 в сообщении #944104 писал(а):
Prikol в сообщении #944075 писал(а):
Если бы это было так, то имели бы право на существование увеличеные и уменьшеные, скажем раза в три или в пять с полтиной, копии привычных нам частиц, молекул и т.д.
Ничего подобного. Представьте, что один из фундаментальных законов зучит так: "все молекулы имеют размер 2" - и всё, нет никаких уменьшенных копий.

В литературе неоднократно рассматривался такой вопрос. Что будет если вся Вселенная и все в ней, включая атомы и нас самих, разом уменьшится в несколько раз. Заметим ли мы такое уменьшение? Второй вопрос (из литературы) - Могут ли несколько копий мироздания с разными масштабами сосуществовать?

-- 14.12.2014, 00:35 --

g______d писал(а):
Ни в один физический закон не входит температура по Цельсию. Везде говорится о разности температур.

В теории фазового перехода плавление/замерзание воды именно температура по Цельсию входит в разложение по малому параметру - отклонение от критической точки.

g______d писал(а):
По той же причине, по которой не бывает синуса вектора.

А вот синус матрицы бывает. Правда, если матрица не квадратная, то уже не все так просто.

-- 14.12.2014, 00:38 --

warlock66613 в сообщении #944106 писал(а):
Синус действительного числа же определён замечательно.

Синус комплексного числа тоже определен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Странные мысли о размерностях физических величин
Сообщение14.12.2014, 00:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5038
Prikol в сообщении #945828 писал(а):
В теории фазового перехода плавление/замерзание воды именно температура по Цельсию входит в разложение по малому параметру - отклонение от критической точки.


Серьёзно? Я думал, туда входит разность $T-T_0$, где $T_0$ -- температура замерзания. Эта разность численно равна температуре по Цельсию при нормальных условиях, но вряд ли теорию фазовых переходов рассматривают только при атмосферном давлении.

 Профиль  
                  
 
 Re: Странные мысли о размерностях физических величин
Сообщение14.12.2014, 00:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
3267
ФТИ им. Иоффе СПб
Munin в сообщении #945288 писал(а):
А вы почитайте Манина, для сравнения.
Почитал Манина и Тао (по диагонали, может чего важное пропустил/непонял). Готов получить порцию тапок, но Сена мне больше нравится (может потому, что его не перечитывал). IMHO, если счистить математическую щелуху (в ней, возможно, содержится что-то важное и интерестное, но я этого не увидел), то почти ничего, кроме утверждения, что величины любой размерности можно перемножать, а одинаковой - складывать там не содержится. Идея, что то, что Сена называет определяющим уравнением, столь же важно для понятия размерности, как и сама единица, IMHO, напрочь отсутствует у Тао, и не перекрывает Сену у Манина.

Для иллюстрации, покажу (с помощью Сены), что по Тао число $\pi$ размерно. (Это и к маленькой дикуссии с g______d по поводу размерности $\frac{F}{ma}$). Итак определение из Тао:

Dimensionless objects {x}, which do not depend on the dimensional parameters {M,L,T}

Число $\pi$ я имею право определить как отношение площади круга к квадрату его радиуса. Тогда определяющее уравнение $\pi=\frac{S_c}{r^2}$. С подсказки Сены будем измерять площадь не в квадратных, а в круглых метрах, т.е единица площади это площадь круга единичного радиуса. В этой системе единиц $\pi=1$, значит, по Тао, $\pi$ - величина размерная (я ведь еще эллиптические метры не пробовал). Ловлю тапки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Странные мысли о размерностях физических величин
Сообщение14.12.2014, 01:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5038
amon в сообщении #945882 писал(а):
Число $\pi$ я имею право определить как отношение площади круга к квадрату его радиуса.


Только пока это не противоречит определению с отношением длин.

 Профиль  
                  
 
 Re: Странные мысли о размерностях физических величин
Сообщение14.12.2014, 01:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
65050
amon в сообщении #945882 писал(а):
Почитал Манина и Тао (по диагонали, может чего важное пропустил/непонял)... IMHO, если счистить математическую щелуху (в ней, возможно, содержится что-то важное и интерестное, но я этого не увидел), то почти ничего, кроме утверждения, что величины любой размерности можно перемножать, а одинаковой - складывать там не содержится.

Ну, это утверждение нам и нравится в его математической шелухе :-) По сути, можно так и всю теорфизику в математическую шелуху записать, эка невидаль, взяли банальные законы Ньютона и поизвращались над ними.

amon в сообщении #945882 писал(а):
Идея, что то, что Сена называет определяющим уравнением, столь же важно для понятия размерности, как и сама единица, IMHO, напрочь отсутствует у Тао, и не перекрывает Сену у Манина.

Ну а вот эта идея мне показалась напрочь банальной. Да, можно, скажем, дефинировать Джоуль (назовём его Джоуль-штрих) не по уравнению $A=Fs,$ а по уравнению $E=mv^2,$ и тогда волшебно получится, что он вдвое меньше обычного Джоуля, при тех же базовых единицах $LMT$ МКС. Ну, это не чудо всё-таки.

amon в сообщении #945882 писал(а):
Для иллюстрации, покажу (с помощью Сены), что по Тао число $\pi$ размерно.

Да ладно, это каждый школьник знает: углы меряются в пях :-)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 115 ]  На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7, 8  След.

Модераторы: Парджеттер, Pphantom, Aer, photon, profrotter, Eule_A, Jnrty, whiterussian, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group