А может Вы всё-таки изложите свой вариант?
Ну что вы, я предпочту подождать, пока вы сами откроете учебник. Правда, как показывает опыт, это будет примерно
![$\infty.$ $\infty.$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/d/d/adde2bf952c0d0f71acbb8c262d43b7c82.png)
Это самое правильное решение! А у меня на
![$\infty$ $\infty$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/7/a/f7a0f24dc1f54ce82fecccbbf48fca9382.png)
терпежа не хватает, и вместо того чтобы, не портя нервы и глаза, покинуть эту скорбную тему, надумал опять встрять (раз уж и в самом начале имел такой грех...)
eprosИтак, опять флуд вместо конкретных замечаний
Не флуд. Вопросы
Muninа впрямь "диагностические": из ответов видно, как у народа обстоит дело с курсом квантовой механики... Пока тема не в пургатории, позвольте сформулирую "конкретные замечания".
Во-первых, в квантовой механике оператор энергии системы это
оператор Гамильтона данной системы. Чтобы в квантовой теории описать рассматриваемую систему, люди в первую очередь аккуратненько записывают её гамильтониан. У разных систем гамильтонианы разные. В случае замкнутой системы или системы в постоянном внешнем поле её гамильтониан не зависит от времени
![$t$ $t$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/f/4/4f4f4e395762a3af4575de74c019ebb582.png)
.
Во вторых, волновую функцию системы не выдумывают с потолка, не "обрезают" и "не дополняют" никакими нулями - эти произвольные манипуляции не имеют отношения к квантовой механике. (И в эксперименте волновая функция системы не измеряется, и к единственному экземпляру системы не относится; она нужна в теории - для расчета вероятностей и средних значений физ. величин.)
Волновая функция должна быть найдена как решение волнового уравнения Шрёдингера. И уж если гамильтониан системы выбран эрмитовым и не зависящим от
![$t$ $t$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/f/4/4f4f4e395762a3af4575de74c019ebb582.png)
, то этим гарантируется, что частные решения можно найти как собственные функции гамильтониана; они (по определению энергии) принадлежат собственным значениям энергии - т.е. строго определённым значениям
![$E$ $E$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/4/d/84df98c65d88c6adf15d4645ffa25e4782.png)
в любой момент
![$t$ $t$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/f/4/4f4f4e395762a3af4575de74c019ebb582.png)
. Из частных решений можно составить линейную комбинацию, подобрав её постоянные коэффициенты под заданное начальное условие.
Таким образом, и в частных решениях и в общем решении волнового уравнения Шрёдингера зависимость волновой функции от
![$t$ $t$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/f/4/4f4f4e395762a3af4575de74c019ebb582.png)
полностью детерминирована, поэтому как-то ещё специально убеждаться "в том, что при всех
![$t$ $t$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/f/4/4f4f4e395762a3af4575de74c019ebb582.png)
волновая функция имеет вид «нечто независимое от
![$t$ $t$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/f/4/4f4f4e395762a3af4575de74c019ebb582.png)
», умноженное на мнимую экспоненту от
![$t$ $t$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/f/4/4f4f4e395762a3af4575de74c019ebb582.png)
" вовсе не нужно! Достаточно решить волновое (т.е. временнОе) у.Ш., и внимательно посмотреть на вид получившейся функции: куда и как там входит переменная
![$t$ $t$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/f/4/4f4f4e395762a3af4575de74c019ebb582.png)
.
Теперь, рискуя получить упрёк за разжёвывание, объясняю суть задачки с
![$\Psi(x)=(1/\sqrt{\pi})e^{-x^2}.$ $\Psi(x)=(1/\sqrt{\pi})e^{-x^2}.$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/7/5/3759c4f2fed2481df4cf9e2c2443986e82.png)
(Кстати, нормировочный множитель правильнее было бы выбрать так:
![$\sqrt[4]{2/\pi}$ $\sqrt[4]{2/\pi}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/5/4/c54dc53492e702440e790f7a25ab535f82.png)
; но в данной задачке он роли не играет, и его можно вообще не писать или обозначить какой-либо одной буквой, как константу. А показатель экспоненты нагляднее (привычнее для студентов) было бы записать как
![${-x^2}/2$ ${-x^2}/2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/2/3/0234215fe846ee0c299d085c54d6884482.png)
, но это тоже не принципиально). Всякий прилежный студент, а может быть даже и троечник, узнает здесь волновую функцию гармонического осциллятора в стационарном состоянии на нижнем уровне энергии - вот быстрый ответ на вопрос, чему равна энергия.
Можно обосновать этот ответ подробнее. Допустим, мы не помним, в каких задачках какие получались ответы. Однако предположим, что заданная
![$\Psi(x)$ $\Psi(x)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/f/9/5f9c2bf93c4dcb20ef19e6246dc7a52182.png)
есть собственная функция для какого-то гамильтониана, не зависящего от
![$t$ $t$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/f/4/4f4f4e395762a3af4575de74c019ebb582.png)
(ведь
Munin "суров, но не злонамерен"
![Smile :-)](./images/smilies/icon_smile.gif)
.) Замечаем, что она зависит от одной координаты, и эта координата безразмерна (размерная
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
не могла бы оказаться аргументом не степенной функции), т.е. некий масштаб длины уже принят за единицу. Значит, задача 1-мерная, причём постоянную Планка и массу частицы в у.Ш. тоже можем положить равными единице, так что стационарное у.Ш. должно иметь вид:
Потенциал
![$U(x)$ $U(x)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/2/b/92b53e02fbd1dc7d1a15ce781a31fe5582.png)
мы пока не знаем. Но спокойно берём вторую производную от
![$\Psi_0(x)=e^{-x^2}$ $\Psi_0(x)=e^{-x^2}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/a/b/aab740afc8a1029b91b5da3b3bad2c1a82.png)
и смотрим, что вышло. Видим, что имеет место равенство:
![$-{\frac12}\frac{d^2\Psi_0}{dx^2}+2x^2\Psi_0\,=\,\Psi_0$ $-{\frac12}\frac{d^2\Psi_0}{dx^2}+2x^2\Psi_0\,=\,\Psi_0$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/0/3/703debece9ba970bf6cc071e1dc02aac82.png)
Значит, потенциал
![$U(x)$ $U(x)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/2/b/92b53e02fbd1dc7d1a15ce781a31fe5582.png)
пропорционален
![$x^2$ $x^2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/7/6177db6fc70d94fdb9dbe1907695fce682.png)
и, стало быть, рассматривается осциллятор. Правда, коэффициент при
![$x^2$ $x^2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/7/6177db6fc70d94fdb9dbe1907695fce682.png)
отличается от стандартного "1/2" в учебниках, но это лечится заменой переменной
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
: заменяем исходную
![$2{x^2}$ $2{x^2}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/b/c/bbc66934c7c6132202b68ab62ef3b12982.png)
на новую
![${x^2}$ ${x^2}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/7/3/6732515713fbf0f6707867bf444b168f82.png)
и в итоге имеем:
![$-{\frac12}\frac{d^2\Psi_0}{dx^2}+{\frac12}x^2\Psi_0\,=\,{\frac12}\Psi_0$ $-{\frac12}\frac{d^2\Psi_0}{dx^2}+{\frac12}x^2\Psi_0\,=\,{\frac12}\Psi_0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/7/3/c73d99f9eef78939c21a988eacfe4c7382.png)
Очевидно, что такое же равенство прямо следует при
![$n=0$ $n=0$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/3/7/73736f8725b398dd13e17ef7c1d0a94a82.png)
из у.Ш. для осциллятора (которое каждый студент, изучивший КМ, знает как свои пять пальцев):
![$-{\frac12}\frac{d^2\Psi_n}{dx^2}+{\frac12}x^2\Psi_n\,=\,E_n\,\Psi_n$ $-{\frac12}\frac{d^2\Psi_n}{dx^2}+{\frac12}x^2\Psi_n\,=\,E_n\,\Psi_n$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/3/1/031b9cdee1e10b6a590ff457ffe7f5e782.png)
где, как известно,
![$E_n=n+1/2$ $E_n=n+1/2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/c/9/0c964f7b05b0cdde9b6c38db67746dee82.png)
. Значит, заданная нам функция
![$\Psi_0(x)$ $\Psi_0(x)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/8/f/28ffecb9d0e657af5c9c16e45140809382.png)
принадлежит уровню энергии
![$E_0=1/2$ $E_0=1/2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/8/7/58747580ee643f423d3356b4d2b9562382.png)
.
Хорошо. А можно ли признать этот ответ исчерпывающим? Увы, нет... Ведь мы
предположили, что заданная в.ф. -
собственная для частицы в некотором потенциале
![$U(x)$ $U(x)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/2/b/92b53e02fbd1dc7d1a15ce781a31fe5582.png)
. На самом же деле гамильтониан должен быть задан заранее. И если потенциал в нём не имеет вида
![$x^2$ $x^2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/7/6177db6fc70d94fdb9dbe1907695fce682.png)
, то заданная функция
![$\Psi_0(x)=e^{-x^2}$ $\Psi_0(x)=e^{-x^2}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/a/b/aab740afc8a1029b91b5da3b3bad2c1a82.png)
не будет собственной и должна будет рассматриваться как начальное условие при
![$t=0$ $t=0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/c/8/1c899e1c767eb4eac89facb5d1f2cb0d82.png)
для волнового у.Ш.
Для заданного гамильтниана мы нашли бы собственные функции
![$\Psi_n(x)$ $\Psi_n(x)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/7/e/c7e53cd682989b072a51dbdcfcad703682.png)
, спектр
![$E_n$ $E_n$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/0/1/c01241b79d48a987aa4a4fbc5b05808a82.png)
, нашли бы коэффициенты
![$A_n$ $A_n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/1/e/51ea793aad42e760f5acf5135930081a82.png)
разложения заданной
![$\Psi_0(x)=e^{-x^2}$ $\Psi_0(x)=e^{-x^2}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/a/b/aab740afc8a1029b91b5da3b3bad2c1a82.png)
по
![$\Psi_n(x)$ $\Psi_n(x)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/7/e/c7e53cd682989b072a51dbdcfcad703682.png)
и построили бы нестационарное решение
![$\Psi(x,t)$ $\Psi(x,t)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/7/f/17fef61e769874dc5430b5eefe47024c82.png)
как сумму частных решений
![$A_n\Psi_n(x)e^{-iE_nt}$ $A_n\Psi_n(x)e^{-iE_nt}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/6/5/0653765205c32b77cd59e8daf2f7249b82.png)
. Но, если гамильтониан не задан, то да, педантичный ответ - "недостаточно данных".