О логике в Квантовой Механике НЕ Бома.

[Cos(x-pi/2)]

Munin

Спасибо . Полагаю однако, в моём пересказывании стандартного материала, разжёванного в учебниках, никакой крутизны нет...

А вам огромный респект за просветительскую деятельность! У вас хорошо получается расшевелить людей, тянущихся к знаниям. Это здорово.


По теме:
Всем, кто раньше не читал, вот старенькая, но очень ясная статья В.А.Фока в УФН: Еще раз о соотношении неопределенности для энергии и времени (Ответ Ааронову и Бому)

[epros]

Cos(x-pi/2), спасибо Вам!! Меня от души порадовало Ваше многобуквенное безграмотное объяснение. А то ведь от Munina кроме флуда ничего не дождёшься, даже и поржать не над чем.

Cos(x-pi/2) в сообщении #917619 писал(а):

Во-первых, в квантовой механике оператор энергии системы это оператор Гамильтона данной системы. Чтобы в квантовой теории описать рассматриваемую систему, люди в первую очередь аккуратненько записывают её гамильтониан.

Я ждал чего-то подобного от Munina, но он ловко уклонился от объяснений, увы. Надо заметить, что перепутать гамильтониан с оператором энергии — это, судя по всему, очень характерно либо для недоучек, либо для переучившихся типа Muninа.

Хочу Вам заметить, что гамильтониан, хоть в квантовой, хоть в классической механике, это такая штука, которая (как и лагранжиан) определяет уравнения динамики. А если нам задана зависимость волновой функции от времени, то разбираться с тем, какие там были уравнения динамики, уже нет никакой необходимости, ибо динамика системы, собственно, уже известна.

Cos(x-pi/2) в сообщении #917619 писал(а):

Волновая функция должна быть найдена как решение волнового уравнения Шрёдингера.

Угу. Ежели оно известно. Или может быть просто задана по условиям задачи.

Cos(x-pi/2) в сообщении #917619 писал(а):

Таким образом, и в частных решениях и в общем решении волнового уравнения Шрёдингера зависимость волновой функции от $t$ полностью детерминирована, поэтому как-то ещё специально убеждаться "в том, что при всех $t$ волновая функция имеет вид «нечто независимое от $t$», умноженное на мнимую экспоненту от $t$" вовсе не нужно! Достаточно решить волновое (т.е. временнОе) у.Ш., и внимательно посмотреть на вид получившейся функции: куда и как там входит переменная $t$.

Видите ли какая штука: Убеждаться в этом совершенно необходимо, потому что только стационарные состояния (это те, которые имеют определённое значение энергии) имеют такой вид. А другие решения уравнения Шредингера, т.е. суперпозиции для разных значений энергии, представьте себе, такого вида не имеют.

Cos(x-pi/2) в сообщении #917619 писал(а):

Всякий прилежный студент, а может быть даже и троечник, узнает здесь волновую функцию гармонического осциллятора в стационарном состоянии на нижнем уровне энергии - вот быстрый ответ на вопрос, чему равна энергия.

Вот только троечник, наверное, не поймёт, что такое значение волновой функции в некий заданный момент может быть НЕ ТОЛЬКО у стационарного состояния осциллятора на нижнем уровне энергии.

Уф, извиняйте, дальше читать уже нет сил.

Cos(x-pi/2) в сообщении #917619 писал(а):

Но, если гамильтониан не задан, то да, педантичный ответ - "недостаточно данных".

Упс, и вдруг неожиданно проскочила здравая мысль.

-- Сб окт 11, 2014 17:19:25 --

arseniiv в сообщении #917624 писал(а):

epros в сообщении #917550 писал(а):

Я не понимаю о чём Вы сейчас говорите. Вот у Вас есть функция $f(t)$, определённая на интервале $(-\Delta t, \Delta t)$. От Вас требуется найти её Фурье-образ. Каковы будут Ваши предложения?

Так у нас же не такая функция.

А какая? Я вижу только, что «у нас» есть ещё зависимость от других координат (пространствннных), а в остальном суть та же.

arseniiv в сообщении #917624 писал(а):

И да, я тоже не понимаю, зачем для применения оператора энергии требуется знать что-то больше временно́й окрестности волновой функции.

А что Вы понимаете под «применением оператора»? Я, например, привык к тому, что операторы применяются к волновым функциям, а не к их значениям в отдельной точке. Поэтому убедиться в том, что волновая функция является собственной функцией оператора можно только имея её всю, а не значение в одной точке.

[arseniiv]

Оууу…

Ну да, я имел в виду сначала применение оператора, а потом взятие значения в данной точке. Значение такого функционала (в данном случае, с дифференциальным оператором) не изменится, подсунем мы ему одну функцию или другую, которая совпадает с первой в окрестности интересующего множества.

Для среднего значения энергии нужно проинтегрировать по пространству, так что интересующее множество будет $\{(x,y,z,t) : t = t_0\}$. И не важно, насколько далеко от $t_0$ мы уже не знаем значений волновой функции, хватит любой окрестности.

epros в сообщении #917633 писал(а):

Поэтому убедиться в том, что волновая функция является собственной функцией оператора можно только имея её всю, а не значение в одной точке.

Одной точки мало, конечно, но окрестности упомянутого множества достаточно, потому что остальное определяется через УШ в предположении, что гамильтониан известен. Если вы говорите именно о ситуации, когда мы не знаем гамильтониан, то да, эта ситуация прискорбна, но она прискорбна и сама по себе.

-- Сб окт 11, 2014 21:10:24 --

epros в сообщении #917633 писал(а):

А какая? Я вижу только, что «у нас» есть ещё зависимость от других координат (пространствннных), а в остальном суть та же.

Определённая во всём пространстве-времени. Не обрезанная.

[Cos(x-pi/2)]

epros в сообщении #917633 писал(а):

Надо заметить, что перепутать гамильтониан с оператором энергии — это, судя по всему, очень характерно либо для недоучек, либо для переучившихся типа Muninа.

epros
Не вижу я никакого смысла спорить. Да, оператор Гамильтона определяет динамику волновой функции - посредством волнового у.Ш. Но он же входит и в стационарное у.Ш., из которого определяются уровни энергии системы - они определяются именно как собственные числа оператора Гамильтона. Именно поэтому гамильтониан является оператором энергии.

Тот факт, что оператор Гамильтона является оператором энергии, изложен в учебниках и задачниках по КМ (задачники ещё и учат им пользоваться - вот это реально полезное дело для понимания, а не споры на форумах). К примеру, вот скриншот из книжки Ландау, из упоминавшегося в данной теме "краткого курса":



Любой человек, изучавший КМ, разбирал задачу о расчете уровней энергии атома водорода, и знает, что эти уровни энергии (и волновые функции стационарных состояний) находятся из уравнения с гамильтонианом - с частными производными по координатам. А вовсе не из чьей-либо производной по времени! Собственно, это уже классика квантовой теории: именно как собственные числа гамильтониана нашёл уровни атома водорода Шрёдингер, заложив впервые основу серьёзной КМ.

Также вот про гамильтониан в википедии

Короче говоря, для меня никакой неясности здесь нет; и я не поленился, напечатал "много букв", чтобы на страницах этой ветки кроме всяческих эмоций была бы и конкретная информация. А уж кто как будет или не будет вникать, или лениться, или ржать - мне безразлично. Если у вас возникнут конкретные вопросы по существу и ко мне, то - пожалуйста, обращайтесь, постараюсь найти время ответить, а перекидываться бездоказательными репликами я пас.

[epros]

arseniiv в сообщении #917656 писал(а):

Для среднего значения энергии нужно проинтегрировать по пространству, так что интересующее множество будет $\{(x,y,z,t) : t = t_0\}$. И не важно, насколько далеко от $t_0$ мы уже не знаем значений волновой функции, хватит любой окрестности.

Как это неважно? Допустим, на интервале $(-\frac{\Delta t}{2}, \frac{\Delta t}{2})$, волновая функция имеет вид $\psi(x) \, e^{-\frac{iEt}{\hslash}}$, левее этого интервала $\psi(x) \, e^{\frac{iE \Delta t}{2 \hslash}}$, а правее интервала $\psi(x) \, e^{-\frac{iE \Delta t}{2 \hslash}}$. Вы «знаете» волновую функцию только на указанном интервале. Что Вы можете сказать об энергии?

arseniiv в сообщении #917656 писал(а):

Одной точки мало, конечно, но окрестности упомянутого множества достаточно, потому что остальное определяется через УШ в предположении, что гамильтониан известен. Если вы говорите именно о ситуации, когда мы не знаем гамильтониан, то да, эта ситуация прискорбна, но она прискорбна и сама по себе.

Видите ли, совершенно неважно, восстанавливаете ли Вы волновую функцию по уравнению Шредингера (потому что знаете гамильтониан) или Вы просто её знаете по условию задачи. Знание волновой функции за всю историю, разумеется, позволит найти энергетический спектр.

А интересен (и здесь обсуждался) как раз такой случай, когда предыстория и послеистория неизвестна. Имеет ли смысл говорить об энергиях именно «в заданный промежуток времени»?

-- Сб окт 11, 2014 20:55:52 --

Cos(x-pi/2) в сообщении #917668 писал(а):

Именно поэтому гамильтониан является оператором энергии.

Видите ли, есть тонкости идеологических различий между «гамильтониан является оператором энергии» и «гамильтониан равен оператору энергии в смысле применения его к физически реализуемым волновым функциям». Второе, разумеется, верно именно в силу верности в нашей физической реальности уравнения Шредингера.

А рукипедию Вам бы лучше не использовать в качестве критерия, ибо её свободно редактируют разного рода фрики и недоучки.

[arseniiv]

epros в сообщении #917679 писал(а):

Имеет ли смысл говорить об энергиях именно «в заданный промежуток времени»?

А по какой причине не имело бы?

[Touol]

Cos(x-pi/2) в сообщении #917668 писал(а):

Не вижу я никакого смысла спорить. Да, оператор Гамильтона определяет динамику волновой функции - посредством волнового у.Ш. Но он же входит и в стационарное у.Ш., из которого определяются уровни энергии системы - они определяются именно как собственные числа оператора Гамильтона. Именно поэтому гамильтониан является оператором энергии.

Нестационарное у.Ш. в стационарном случае распадается на 2 ур-ния:
$H\psi(x)=E_{n}\psi(x)$
$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}T(t)=E_{n}T(t)$

(Оффтоп)

(знак не помню, если что )

Оператором энергии можно считать и $H$ и $i\hbar\frac{\partial}{\partial t}$. Но квантование энергии получается из ур-ния с гамильтонианом. Здесь, как мне кажется, ситуация такая же как с корнем из минус 1. Брать $i\hbar\frac{\partial}{\partial t}$ в качестве определения оператора энергии неудобно. Из этого ничего интересного не получается. Нет квантования энергии.
Но можно пофантазируем? Предположим, что некая стационарная система существовала в начале времен, появилась при БВ, и существует до конца времен (или до бесконечности). На ВФ $T(t)$ накладываются некие граничные условия. При некоторых (мне неизвестно каких) граничных условиях, можно получить квантование энергии системы за счет ограничений на ВФ при БВ и на бесконечности. Первая ассоциация квантование поколений кварков и лептонов. Но тему развивать не стал. Нет данных .

Cos(x-pi/2) в сообщении #917668 писал(а):

а перекидываться бездоказательными репликами я пас.

Я бы тоже пас , но вдруг, что-то интересное прозвучит..

[Nemiroff]

epros в сообщении #917679 писал(а):

Видите ли, есть тонкости идеологических различий между «гамильтониан является оператором энергии» и «гамильтониан равен оператору энергии в смысле применения его к физически реализуемым волновым функциям».

Какие?

[epros]

Nemiroff в сообщении #917706 писал(а):

epros в сообщении #917679 писал(а):

Видите ли, есть тонкости идеологических различий между «гамильтониан является оператором энергии» и «гамильтониан равен оператору энергии в смысле применения его к физически реализуемым волновым функциям».

Какие?

Хм. Как бы выразиться понагляднее. Наверное, примерно такие же, как различие между «длина диагонали единичного квадрата является корнем из двух» и «длина диагонали единичного квадрата равна корню из двух в силу той геометрии, с которой мы имеем дело». Ибо определения первого и второго — всё же разные, а их равенство имеет место быть только в силу специфических «дополнительных условий» (т.е. для геометрии на сфере, например, равенство может не иметь места).

[Nemiroff]

epros в сообщении #917721 писал(а):

Наверное, примерно такие же, как различие между «длина диагонали единичного квадрата является корнем из двух» и «длина диагонали единичного квадрата равна корню из двух в силу той геометрии, с которой мы имеем дело».

Это я понял.

epros в сообщении #917721 писал(а):

равенство имеет место быть только в силу специфических «дополнительных условий»

А для гамильтониана какое будет условие? Ну то бишь, применяя гамильтониан к физически нереализуемым волновым функциям, можно получить плохой ответ?

[Munin]

Cos(x-pi/2) в сообщении #917631 писал(а):

Полагаю однако, в моём пересказывании стандартного материала, разжёванного в учебниках, никакой крутизны нет...

Ну, терпение и самоотверженность.

Одно замечание в сторону: чтобы набирать частные производные, используется значок \partial. Увы, он длинный при наборе, ничего не поделаешь (в своих документах, в отличие от форума, можно сделать команду покороче). Но всё-таки, набрать его можно, и здесь считается хорошим тоном аккуратно расставлять частные и полные производные, где какие должны быть.

И ещё. Сейчас, после хамского ответа epros-а это потеряло смысл, но с утра, до того, как я отлучался, у меня была в голове мысль попросить вас изложить столь же чётко ситуацию с представлением Гейзенберга.

Touol в сообщении #917694 писал(а):

Брать $i\hbar\frac{\partial}{\partial t}$ в качестве определения оператора энергии неудобно.

Прежде всего потому, что есть определение оператора квантовомеханической наблюдаемой, и это вот выражение этому определению не удовлетворяет. Ну это так, мелочь.

epros в сообщении #917679 писал(а):

Видите ли, есть тонкости идеологических различий между «гамильтониан является оператором энергии» и «гамильтониан равен оператору энергии в смысле применения его к физически реализуемым волновым функциям».

Угу. Тонкости, которых вы не понимаете, поскольку наплевательски относитесь к азбуке, в частности, к определениям.

[Cos(x-pi/2)]

Munin в сообщении #917778 писал(а):

Ну, терпение и самоотверженность.

С потугами на это, конечно, надо завязывать. Но иногда (весной и осенью ), бывает, срываюсь...

Munin в сообщении #917778 писал(а):

Одно замечание в сторону: чтобы набирать частные производные, используется значок \partial

Спасибо за напоминание. Заодно тоже замечу (конечно же, не в ваш адрес), что в уравнении Шредингера для стационарных состояний при одномерном движении одной частицы, т.е. когда искомые в.ф. $\psi(x)$ зависят только от одной переменной, не нужно писать частных производных: в таких задачах у.Ш. является обыкновенным ДУ 2-го порядка (да я так его и набирал: с обычной второй производной). Отличать обыкновенное ДУ от ДУ в частных производных - это тоже хороший тон.

Munin в сообщении #917778 писал(а):

у меня была в голове мысль попросить вас изложить столь же чётко ситуацию с представлением Гейзенберга.

А зачем... что-то и не соображу. Да вроде, я и не знаю никакой особой "фишки" гейзенберговского представления, которая как-то могла бы повлиять на ход здешнего обсуждения. Имхо, это больше "мат.аппаратный" сюжет. Вот, если бы мы тут сподобились детально, со всеми выкладками разбирать конкретные задачки по КМ, добрались бы до вторичного квантования и до теории возмущений, то, может, смысл бы и был - и то для начинающих студентов... Не, не, всё, завязываю .

[Munin]

А. Точно. Прямые по смыслу подходят. Пардон. И с нормировкой тоже пардон. Чё-то я очень расхлябан.

У гейзенберговского представления и нет никакой "фишки", но это стоило подчеркнуть.

Предлагаю дождаться вместо epros настоящих мотивированных студентов, и тогда уже тратить усилия :-)

[epros]

arseniiv в сообщении #917692 писал(а):

epros в сообщении #917679 писал(а):

Имеет ли смысл говорить об энергиях именно «в заданный промежуток времени»?

А по какой причине не имело бы?

Это был к Вам вопрос. Я так понимаю, что это был ответ «да»? Тогда не могли бы Вы уточнить, что именно Вы можете сказать об энергиях в промежутке времени $(-\frac{\Delta t}{2}, \frac{\Delta t}{2})$ для примера, который был приведён выше?

Nemiroff в сообщении #917761 писал(а):

epros в сообщении #917721 писал(а):

равенство имеет место быть только в силу специфических «дополнительных условий»

А для гамильтониана какое будет условие? Ну то бишь, применяя гамильтониан к физически нереализуемым волновым функциям, можно получить плохой ответ?

Ну, можно сказать так, что если предполагаемый нами гамильтониан плохо соответствует тому, что имеет место в реальности, то собственные функции оператора энергии могут не соответствовать собственным функциям того гамильтониана, который мы вообразили.

[arseniiv]

epros в сообщении #917982 писал(а):

Это был к Вам вопрос. Я так понимаю, что это был ответ «да»?

Не совсем. Это был вопрос, какие вы предлагаете причины для ответа «нет».

Точнее, я неправильно прочитал в вашем вопросе «заданный момент времени» вместо «заданный промежуток времени»; ничего особенного именно в промежутке не вижу.

epros в сообщении #917982 писал(а):

Тогда не могли бы Вы уточнить, что именно Вы можете сказать об энергиях в промежутке времени $(-\frac{\Delta t}{2}, \frac{\Delta t}{2})$ для примера, который был приведён выше?

А что уточнять? Всё (среднее значение, собственность функции и что угодно другое интересующее связанное с энергией) прямо считается. Или не считается — но по причинам, внешним к математике и формализму КМ.

-- Вс окт 12, 2014 19:43:12 --

Да, мне лень считать, и я жалею, что ввязался в эту беседу, и предпочту продолжить читать HoTT — пока это кажется более интересным занятием.