О логике в Квантовой Механике НЕ Бома.

[Munin]

Итак, не знаете. Спасибо.

[epros]

Итак, опять флуд вместо конкретных замечаний. Да пожалуйста.
P.S. Ой, каюсь, я ж там «делить» написал? Сейчас исправим.

[Munin]

Есть состояние $\Psi(x)=(1/\sqrt{\pi})e^{-x^2}.$ Посчитайте энергию как-нибудь на досуге.

[epros]

Munin в сообщении #917291 писал(а):

Есть состояние $\Psi(x)=(1/\sqrt{\pi})e^{-x^2}.$ Посчитайте энергию как-нибудь на досуге.

Было бы любопытно посмотреть, как херр экзаминатор посчитает. Мой ответ в зависимости от контекста вопроса:
- либо «недостаточно данных»,
- либо нуль.

[arseniiv]

epros в сообщении #917258 писал(а):

1) Фактически при этом Вы раскладываете по базису кусок, предыстория и послеистория которого дополнена нулями. Не забывайте об этом.
2) Если кусок короткий, то Вам представится возможность убедиться, что спектр значений энергии достаточно широк. А это далеко от «определённого значения».

Зачем мне раскладывать кусок, дополненный нулями? Я разложу необрезанную функцию. А если не знаю её, то (теоретически) попробую пооценивать что-то по известным о ней данным. Но не дополнять нулями искуственно и считать после этого что-то, потому что тогда нет оснований для осмысленности результата.

epros в сообщении #917258 писал(а):

Ээээ ... это Вы к чему?

Как раз к тому, что не надо считать что-то от другой волновой функции, если не получается от интересующей.

epros в сообщении #917258 писал(а):

Хм, а Вам не кажется, что предложив то, что указано в первой цитате этого поста, это Вы как раз расширяете формализм?

Я мог написать не совсем ясно, конечно, но предлагал то, что выше.

[Munin]

epros в сообщении #917297 писал(а):

Было бы любопытно посмотреть, как херр экзаминатор посчитает.

Этот пример как раз дан для того, чтобы вы поняли, что ваш предыдущий ответ - бред.

epros в сообщении #917297 писал(а):

Мой ответ в зависимости от контекста вопроса:
- либо «недостаточно данных»,
- либо нуль.

И как вы эти ответы получаете из вашего определения? Или признаёте, что оно бредовое?

[epros]

arseniiv в сообщении #917305 писал(а):

Зачем мне раскладывать кусок, дополненный нулями? Я разложу необрезанную функцию.

Это каким образом? Пределы интегрирования ограничите? А Вам не кажется, что это то же самое?

Вообще-то, разложение по собственным функциям оператора энергии — это ни что иное, как Фурье-преобразование. А Фурье-образ от куска и Фурье-образ от куска, дополненного нулями, — это, как известно, одно и то же.

Munin в сообщении #917331 писал(а):

Этот пример как раз дан для того, чтобы вы поняли, что ваш предыдущий ответ - бред.

Странно, почему-то не понял. Мне почему-то кажется, что мой ответ соответствует моему определению.

Munin в сообщении #917331 писал(а):

epros в сообщении #917297 писал(а):

Мой ответ в зависимости от контекста вопроса:
- либо «недостаточно данных»,
- либо нуль.

И как вы эти ответы получаете из вашего определения? Или признаёте, что оно бредовое?

Да очень просто. Я вижу тут два возможных контекста, о которых умолчал автор:
- Это волновая функция в некий момент времени. Тогда — первый вариант ответа.
- Это волновая функция, определённая с учётом зависмости от времени. Тогда — второй вариант ответа.

[arseniiv]

epros в сообщении #917371 писал(а):

Это каким образом? Пределы интегрирования ограничите? А Вам не кажется, что это то же самое?

Да нет же, я возьму функцию во всём пространстве, а не в предлагаемой вами области. Если знаю её там. А если не знаю — ну, не судьба, хотя эту судьбу ещё можно попытать. Но не занулять же! Конечно, это банально свернёт спектр с чем-нибудь известным, но что толку от свёрнутого спектра, если его нельзя «развернуть» назад? И такой спектр не будет спектром частицы, потому что у неё-то функция не занулена. Какой смысл в манипуляциях?

[Munin]

epros в сообщении #917371 писал(а):

Странно, почему-то не понял.

Мне это почему-то не странно.

epros в сообщении #917371 писал(а):

Да очень просто. Я вижу тут два возможных контекста, о которых умолчал автор:
- Это волновая функция в некий момент времени. Тогда — первый вариант ответа.
- Это волновая функция, определённая с учётом зависмости от времени. Тогда — второй вариант ответа.

Из аргументов, перечисленных после буковки $\Psi,$ можно понять, "о чём умолчал автор".

Далее. В КМ любой оператор можно посчитать для волновой функции в некий момент времени. А ваш - почему-то нельзя, "недостаточно данных". Может, вы всё-таки неправильно определение пересказали?

[epros]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #917466 писал(а):

epros в сообщении #917371 писал(а):

Странно, почему-то не понял.

Мне это почему-то не странно.

А мне почему-то не странно, что Вы комментируете то, что нормальный человек комментировать не станет

Munin в сообщении #917466 писал(а):

В КМ любой оператор можно посчитать для волновой функции в некий момент времени.

Назовём этот вариант Munin-механикой.

Munin в сообщении #917466 писал(а):

Может, вы всё-таки неправильно определение пересказали?

А может Вы всё-таки изложите свой вариант?

-- Сб окт 11, 2014 10:50:12 --

arseniiv в сообщении #917461 писал(а):

Да нет же, я возьму функцию во всём пространстве, а не в предлагаемой вами области. Если знаю её там.

Речь была о том, что волновая функция известна на ограниченном промежутке времени. Никаких пространственных ограничений нет. Задача заключается в том, чтобы найти энергетический спектр.

arseniiv в сообщении #917461 писал(а):

А если не знаю — ну, не судьба, хотя эту судьбу ещё можно попытать. Но не занулять же! Конечно, это банально свернёт спектр с чем-нибудь известным, но что толку от свёрнутого спектра, если его нельзя «развернуть» назад? И такой спектр не будет спектром частицы, потому что у неё-то функция не занулена. Какой смысл в манипуляциях?

Я не понимаю о чём Вы сейчас говорите. Вот у Вас есть функция $f(t)$, определённая на интервале $(-\Delta t, \Delta t)$. От Вас требуется найти её Фурье-образ. Каковы будут Ваши предложения?

[eestidima]

arseniiv в сообщении #917167 писал(а):

А как же нормировка и всякие сохранения вероятности?

Разве в общем случае собственные функции оператора энергии стационарны?
Скорее всего нет, ведь так? Так что в общем случае мы имеем собственное состояние (после акта измерения) $\psi(t,x,y,z)$ и значение энергии данного обьекта $E$ (собственное значение оператора энергии). Выражение $\rho(t) = \int_V \psi\,\psi^*\,dxdydz$ есть вероятность поимки частицы в конкретном обьёме $V$ в конкретный момент времени $t$. А значит и $t$ строго фиксировано и $E$ хорошо известно. Где же неопределённость Гейзенберга?

[Munin]

epros в сообщении #917550 писал(а):

А может Вы всё-таки изложите свой вариант?

Ну что вы, я предпочту подождать, пока вы сами откроете учебник. Правда, как показывает опыт, это будет примерно $\infty.$

[Cos(x-pi/2)]

Munin в сообщении #917578 писал(а):

epros в сообщении #917550 писал(а):

А может Вы всё-таки изложите свой вариант?

Ну что вы, я предпочту подождать, пока вы сами откроете учебник. Правда, как показывает опыт, это будет примерно $\infty.$

Это самое правильное решение! А у меня на $\infty$ терпежа не хватает, и вместо того чтобы, не портя нервы и глаза, покинуть эту скорбную тему, надумал опять встрять (раз уж и в самом начале имел такой грех...)

epros

epros в сообщении #917287 писал(а):

Итак, опять флуд вместо конкретных замечаний

Не флуд. Вопросы Muninа впрямь "диагностические": из ответов видно, как у народа обстоит дело с курсом квантовой механики... Пока тема не в пургатории, позвольте сформулирую "конкретные замечания".

Во-первых, в квантовой механике оператор энергии системы это оператор Гамильтона данной системы. Чтобы в квантовой теории описать рассматриваемую систему, люди в первую очередь аккуратненько записывают её гамильтониан. У разных систем гамильтонианы разные. В случае замкнутой системы или системы в постоянном внешнем поле её гамильтониан не зависит от времени $t$.

Во вторых, волновую функцию системы не выдумывают с потолка, не "обрезают" и "не дополняют" никакими нулями - эти произвольные манипуляции не имеют отношения к квантовой механике. (И в эксперименте волновая функция системы не измеряется, и к единственному экземпляру системы не относится; она нужна в теории - для расчета вероятностей и средних значений физ. величин.)

Волновая функция должна быть найдена как решение волнового уравнения Шрёдингера. И уж если гамильтониан системы выбран эрмитовым и не зависящим от $t$, то этим гарантируется, что частные решения можно найти как собственные функции гамильтониана; они (по определению энергии) принадлежат собственным значениям энергии - т.е. строго определённым значениям $E$ в любой момент $t$. Из частных решений можно составить линейную комбинацию, подобрав её постоянные коэффициенты под заданное начальное условие.

Таким образом, и в частных решениях и в общем решении волнового уравнения Шрёдингера зависимость волновой функции от $t$ полностью детерминирована, поэтому как-то ещё специально убеждаться "в том, что при всех $t$ волновая функция имеет вид «нечто независимое от $t$», умноженное на мнимую экспоненту от $t$" вовсе не нужно! Достаточно решить волновое (т.е. временнОе) у.Ш., и внимательно посмотреть на вид получившейся функции: куда и как там входит переменная $t$.

Теперь, рискуя получить упрёк за разжёвывание, объясняю суть задачки с $\Psi(x)=(1/\sqrt{\pi})e^{-x^2}.$ (Кстати, нормировочный множитель правильнее было бы выбрать так: $\sqrt[4]{2/\pi}$; но в данной задачке он роли не играет, и его можно вообще не писать или обозначить какой-либо одной буквой, как константу. А показатель экспоненты нагляднее (привычнее для студентов) было бы записать как ${-x^2}/2$, но это тоже не принципиально). Всякий прилежный студент, а может быть даже и троечник, узнает здесь волновую функцию гармонического осциллятора в стационарном состоянии на нижнем уровне энергии - вот быстрый ответ на вопрос, чему равна энергия.

Можно обосновать этот ответ подробнее. Допустим, мы не помним, в каких задачках какие получались ответы. Однако предположим, что заданная $\Psi(x)$ есть собственная функция для какого-то гамильтониана, не зависящего от $t$ (ведь Munin "суров, но не злонамерен" .) Замечаем, что она зависит от одной координаты, и эта координата безразмерна (размерная $x$ не могла бы оказаться аргументом не степенной функции), т.е. некий масштаб длины уже принят за единицу. Значит, задача 1-мерная, причём постоянную Планка и массу частицы в у.Ш. тоже можем положить равными единице, так что стационарное у.Ш. должно иметь вид:

$-{\frac12}\frac{d^2\Psi}{dx^2}+U(x)\Psi\,=\,E\,\Psi.$

Потенциал $U(x)$ мы пока не знаем. Но спокойно берём вторую производную от $\Psi_0(x)=e^{-x^2}$ и смотрим, что вышло. Видим, что имеет место равенство:

$-{\frac12}\frac{d^2\Psi_0}{dx^2}+2x^2\Psi_0\,=\,\Psi_0$

Значит, потенциал $U(x)$ пропорционален $x^2$ и, стало быть, рассматривается осциллятор. Правда, коэффициент при $x^2$ отличается от стандартного "1/2" в учебниках, но это лечится заменой переменной $x$ : заменяем исходную $2{x^2}$ на новую ${x^2}$ и в итоге имеем:

$-{\frac12}\frac{d^2\Psi_0}{dx^2}+{\frac12}x^2\Psi_0\,=\,{\frac12}\Psi_0$

Очевидно, что такое же равенство прямо следует при $n=0$ из у.Ш. для осциллятора (которое каждый студент, изучивший КМ, знает как свои пять пальцев):

$-{\frac12}\frac{d^2\Psi_n}{dx^2}+{\frac12}x^2\Psi_n\,=\,E_n\,\Psi_n$

где, как известно, $E_n=n+1/2$. Значит, заданная нам функция $\Psi_0(x)$ принадлежит уровню энергии $E_0=1/2$.

Хорошо. А можно ли признать этот ответ исчерпывающим? Увы, нет... Ведь мы предположили, что заданная в.ф. - собственная для частицы в некотором потенциале $U(x)$. На самом же деле гамильтониан должен быть задан заранее. И если потенциал в нём не имеет вида $x^2$, то заданная функция $\Psi_0(x)=e^{-x^2}$ не будет собственной и должна будет рассматриваться как начальное условие при $t=0$ для волнового у.Ш.

Для заданного гамильтниана мы нашли бы собственные функции $\Psi_n(x)$, спектр $E_n$, нашли бы коэффициенты $A_n$ разложения заданной $\Psi_0(x)=e^{-x^2}$ по $\Psi_n(x)$ и построили бы нестационарное решение $\Psi(x,t)$ как сумму частных решений $A_n\Psi_n(x)e^{-iE_nt}$. Но, если гамильтониан не задан, то да, педантичный ответ - "недостаточно данных".

[Munin]

Cos(x-pi/2)
Ну вы круты. Респект.

[arseniiv]

epros в сообщении #917550 писал(а):

Я не понимаю о чём Вы сейчас говорите. Вот у Вас есть функция $f(t)$, определённая на интервале $(-\Delta t, \Delta t)$. От Вас требуется найти её Фурье-образ. Каковы будут Ваши предложения?

Так у нас же не такая функция. Эта функция — сужение неизвестной, и всё. И да, я тоже не понимаю, зачем для применения оператора энергии требуется знать что-то больше временно́й окрестности волновой функции.