Сдаюсь... Кроме направления, параллельного паре стенок биллиарда, и достаточно смещённого от этой прямой неподвижного шарика - при этом столкновения никогда не произойдёт, ничего пока придумать не могу...
Подсказку в студию! :-)
Вы хорошо начали с

-кратными отражениями. Будем использовать метод отражений, то есть, представим себе, что частица не отражается от стенки, а "проходит через зеркало в зазеркалье", которое есть точная копия исходного пространства, развёрнутая по отношению к зеркалу. Тогда вместо движения в прямоугольнике

частица после

-кратных отражений движется по плоскости, размеченной на прямоугольники

(Проиндексируем эти прямоугольники по горизонталям и вертикалям, так что исходный прямоугольник назовём
![$[0;0],$ $[0;0],$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/9/1/a91891193a96a8b23ce94cb38257d19282.png)
ближайшие отражения через стенку длиной

назовём
![$[\pm 1;0],$ $[\pm 1;0],$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/3/2/a323fe70a34c87ce475e244852b1a7f682.png)
а ближайшие отражения через стенку длиной

назовём
![$[0;\pm 1].$ $[0;\pm 1].$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/4/e/e4e0b39e59c93aa5e33df24f85f0374782.png)
)
В нашем исходном прямоугольнике

были расставлены какие-то препятствия (неподвижный шар). Заметим, что в прямоугольниках
![$[2m;2n]$ $[2m;2n]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/c/d/9cde676ebe1d6a4ea0848159c4086e4182.png)
эти препятствия расставлены точно так же, в прямоугольниках
![$[2m+1;2n]$ $[2m+1;2n]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/f/c/efc8e22bfed0a7c6fec594e5906a750c82.png)
отражены по горизонтали, в
![$[2m;2n+1]$ $[2m;2n+1]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/f/3/2f3e1f3779e289add36f1fd51e39ef3682.png)
- по вертикали, и в
![$[2m+1;2n+1]$ $[2m+1;2n+1]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/f/b/3fb01af9168a2a6cd3ffaa2cb3dea99182.png)
- развёрнуты. Таким образом, плоскость замощена одинаковыми прямоугольниками

Мы можем вырезать один такой прямоугольник, склеить его противоположные стороны, и получить тор. (Заменили в итоге отражающие граничные условия на периодические.)
Движение шара по бильярду становится намоткой на этом торе. Как мы знаем, все намотки, кроме рациональных (с рациональным отношением проекций скорости) заполняют тор плотно, и никакое неподвижное препятствие с конечным ненулевым диаметром не останется незадетым при такой намотке. Осталось вспомнить вероятность того, что намотка будет рациональной: это
![$\operatorname{mes}(\mathbb{Q}\cap[0,1])/\operatorname{mes}(\mathbb{R}\cap[0,1])$ $\operatorname{mes}(\mathbb{Q}\cap[0,1])/\operatorname{mes}(\mathbb{R}\cap[0,1])$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/2/de2a1fac55365ff2c721d8209412bd7e82.png)
(в обозначениях
Shtorm), и это

Часть II дорисовать самостоятельно :-)