Деление пополам – это в чистом виде доказательство от противного (предположим, что в обеих половинках конечное количество членов последовательности. Тогда и вся последовательность конечна. Противоречие).
Я вчера утомился этим разговором, и не нашёл ответa, а теперь я вижу, что никакого доказательства от противного тут не нужно. Достаточно заметить, что если из бесконечной последовательности удалить конечное число элементов, то останется бесконечная последовательность.
К сожалению доказательства от противного часто применяются там, где они совсем ни к месту, и даже усложняют рассуждения. Зачем это делается? Ну просто иногда автору или лектору хочется покрасоваться перед аудиторией, так как доказательство от противного многие рассматривают, как знак математической изощрённости, а иногда просто по недомыслию. Вот например начало лекции Теренса Тао о простых числах:
https://www.youtube.com/watch?v=lqKSXk5Xwg8 Он доказывает бесконечность простых чисел. Сначала допускает, что их конечное число, потом берёт их произведение, прибавляет 1 и говорит, что это число не делится ни на одно из простых, что противоречит основной теореме арифметики. А вот у Евклида не совсем так. Он берёт для примера 3 числа, перемножает их, прибавляет 1 и замечает, что любой простой делитель полученного числа не может быть равен ни одному из трёх взятых простых чисел. Этот приём, замечает Евклид, работает для любого конечного набора простых чисел, стало быть их бесконечно много. А вот редактор тут вмешивается и всё-таки пытается истолковать рассуждение Евклида, как доказательсво от противного т.е. предполагает, что список простых чисел конечен, и говорит, что трюк Евклида предъявляет простое число не из этого списка -- противоречие. Сразу видно, что Евклид -- отличный математик, а редактор -- так себе. Это нелепо, т.к. происходит вот что: предполагается, что теорема неверна, потом она доказывается, и объявляется противоречие. Я видел это много раз, и каждый раз удивлялся.
Ещё один пример того же самого: доказательство несчётности множества вещественных чисел. Сначала предполагают, что оно счётно, и располагают его в последовательность, потом диагональным процессом Кантора строят число, не содержащееся в этой последовательности, и объявляют противоречие. Сразу видно, что доказательство от противного тут совершенно не по делу. Можно просто взять любой счётный список вещественных чисел и диагональным процессом построить число вне этого списка, и это доказывает теорему. Вообщем, смешно и противно.
