Как упростить преподавание матанализа нематематикам?

[g______d]

Хорошо, я согласен, что владея непрерывностью функций двух переменных и понятием "продолжение по непрерывности", можно ввести производную как продолжение по непрерывности (если оно существует) разностного отношения.

Выше это уже упоминалось, но я так и не понял: чем понимание продолжения по непрерывности принципиально отличается от понятия предела? По-моему, только названием. Т. е. мы взяли производную как предел разностного отношения и заменили слово "предел" словами "продолжение по непрерывности".

Кстати говоря, если потребовать непрерывности разностного отношения только по одной переменной, получится в точности классическая производная.

[Munin]

g______d в сообщении #876543 писал(а):

Выше это уже упоминалось, но я так и не понял: чем понимание продолжения по непрерывности принципиально отличается от понятия предела?

Тем, что понятие "продолжения по непрерывности" можно просто наивно понять, а понятие предела приходится занудно (и заумно) формулировать.

[g______d]

Munin в сообщении #876613 писал(а):

Тем, что понятие "продолжения по непрерывности" можно просто наивно понять, а понятие предела приходится занудно (и заумно) формулировать.

"Функция $f$ имеет предел в точке $a$" и "функцию $f$ можно продолжить в точку $a$ так, чтобы результат был непрерывен в точке $a$" – это просто вообще одно и то же, поэтому и наивно понять, и заумно формулировать их одинаково сложно.

[mishafromusa]

g______d в сообщении #876543 писал(а):

Выше это уже упоминалось, но я так и не понял: чем понимание продолжения по непрерывности принципиально отличается от понятия предела? По-моему, только названием.

Если смотреть чисто формально, то да. Но мы здесь обсуждаем преподавание, а не формалистику. Так вот, если начать с дифференцирования многочленов посредством выделения множителя $x-a$ из приращения функции $f(x)-f(a)$, то идея такого же трюка в более широком контексте непрерывных функций становится естественной. Конечно, если начинать с пределов и непрерывности (чего я предлагаю не делать), то разница небольшая.

-- 17.06.2014, 20:46 --

g______d в сообщении #876543 писал(а):

Кстати говоря, если потребовать непрерывности разностного отношения только по одной переменной, получится в точности классическая производная.

Я про это уже много раз говорил, и это написано у меня в статье. Рад, что Вы наконец это тоже поняли.

-- 17.06.2014, 21:15 --

g______d в сообщении #876649 писал(а):

Munin в сообщении #876613 писал(а):

Тем, что понятие "продолжения по непрерывности" можно просто наивно понять, а понятие предела приходится занудно (и заумно) формулировать.

"Функция $f$ имеет предел в точке $a$" и "функцию $f$ можно продолжить в точку $a$ так, чтобы результат был непрерывен в точке $a$" – это просто вообще одно и то же, поэтому и наивно понять, и заумно формулировать их одинаково сложно.

Опять-таки, формально говоря, да, а с точки зрения понятности изложения --нет. Непрерывность функции в точке достатчно интуитивна, и её формализация проще, так как в определинии можно опустить требование $x \ne a$, и не надо беспокоиться о существовании предела, так как у нас уже есть $f(a)$. После этого понятие предела функции в точке, которое само по себе может показаться надуманным, становится естественным.

Кстати, Вы здесь проявляете непоследовательность; в другой нашей дискуссии Вы говорили, что сразу вводить равномерную дифференцируемость слишком сложно, а проще ввести сначала производную в точке, а потом налагать на неё дополнителные условия. Здесь же Вы отвергаете сведение более сложного и искусственного понятия предела функции в точке к более простому и естественному понятию непрепрывности в точке.

Создаётся впечатление, что Вы просто предпочитаете именно то и именно так, что и как написано в учебнике, по которому Вы учились. Это вполне понятно.

[g______d]

mishafromusa в сообщении #876654 писал(а):

Создаётся впечатление, что Вы просто предпочитаете именно то и именно так, что и как написано в учебнике, по которому Вы учились.

Я не учился по какому-то конкретному учебнику, но ближе всего, по-видимому, Рудин и Натансон (на 1 курсе), + много задач. Мне важна была строгость изложения с минимальным ущербом для понятности, а не какая-то мифическая понятность без строгости и последовательности.

mishafromusa в сообщении #876654 писал(а):

Кстати, Вы здесь проявляете непоследовательность; в другой нашей дискуссии Вы говорили, что сразу вводить равномерную дифференцируемость слищком сложно, а проще ввести сначала производную в точке, а потом налагать на неё дополнителные условия.

И сейчас говорю. По крайней мере, в начальном курсе анализа.

mishafromusa в сообщении #876654 писал(а):

Здесь же Вы отвергаете сведение более сложного и искуственного понятия предела функции в точке к более простому и естественному понятию непрепрывности в точке.

Не очень корректно в данном случае говорить о сведении. Это абсолютно одно и то же, вот просто дословно. Отличается только названием. Поэтому если для одного есть простое объяснение, то есть и для другого точно такое же.

[mishafromusa]

g______d в сообщении #876656 писал(а):

а не какая-то мифическая понятность без строгости и последовательности.

Не надо так огрызаться, мы же обсуждаем матан для нематематиков, а им понятность может быть важнее.

-- 17.06.2014, 21:45 --

g______d в сообщении #876656 писал(а):

Это абсолютно одно и то же, вот просто дословно.

Неправда, здесь более сложное определение расчленяется на два более простых.

[g______d]

mishafromusa в сообщении #876657 писал(а):

Не надо так огрызаться, мы же обсуждаем матан для нематематиков, а им понятность может быть важнее.

Ну я отвечал по поводу своего обучения, и действительно тогда ровно так думал. Потом, при изучении более сложных разделов, уже восстановление технических деталей превращается в уверенность возможности такого восстановления, и понятность идей становится ключевой, но понимание того, что дьявол в деталях, должно быть, и в восстановлении деталей в любом случае практика нужна.

-- Вт, 17 июн 2014 18:51:59 --

mishafromusa в сообщении #876657 писал(а):

Неправда, здесь более сложное определение расчленяется на два более простых.

По-моему, "сложное" (предел) расчленяется на "абсолютно тривиальное" (подстановка $L=f(a)$) и "такое же сложное" (непрерывность). Вот уж подставить значение предела в качестве $f(a)$ и задать вопрос о непрерывности функции не считаю сколько-нибудь содержательным по сложности шагом ни для кого. Или Вы другое разбиение имели в виду?

[mishafromusa]

mishafromusa в сообщении #876657 писал(а):

Я не учился по какому-то конкретному учебнику, но ближе всего, по-видимому, Рудин и Натансон

Натансона я не читал, это вроде учебник по вещественной переменной, что же касается Рудина, то что очень сухой и сжатый учебник именно для математиков, изложение в нём плохо подходит для нематиматиков.

[g______d]

mishafromusa в сообщении #876660 писал(а):

Натансона я не читал, это вроде учебник по вещественной переменной, что же касается Рудина, то что очень сухой и сжатый учебник именно для математиков, изложение в нём плохо подходит для нематиматиков.

Рудин вообще не очень хорош для первого чтения. Но у меня лекции были. Про нематематиков я не спорю, Вы спросили, по чему я учился, я ответил.

[mishafromusa]

g______d в сообщении #876658 писал(а):

Или Вы другое разбиение имели в виду?

Нет, именно это, и в определении непрерывности нет требования $x \ne a$, так что оно немного проще.

-- 17.06.2014, 22:13 --

g______d в сообщении #876662 писал(а):

Вы спросили, по чему я учился, я ответил.

Я вообще-то и не спрашивал, просто у меня такое впечатление, что Вы считаете, что всё и так хорошо, и менять ничего не надо, и поэтому всеми путями пытаетесь дискредитировать мои предложения.

[g______d]

mishafromusa в сообщении #876663 писал(а):

Вы считаете, что всё и так хорошо, и менять ничего не надо,

Ну в данный момент основная проблема не в отсутствии нормальной программы, а в реализации существующих программ.

mishafromusa в сообщении #876663 писал(а):

поэтому всеми путями пытаетесь дискредитировать мои предложения.

Не всеми путями, и не специально. Мне просто честно кажется, что при попытке её ввести будет только хуже. Аргументы я уже приводил. А классический анализ не так уж сложен.

mishafromusa в сообщении #876663 писал(а):

Нет, именно это, и в определении непрерывности нет требования $x \ne a$, так что оно немного проще.

Неужели разница настолько важна, что её можно назвать новой революционной идеей и построить новый курс?

[mishafromusa]

g______d в сообщении #876664 писал(а):

Неужели разница настолько важна, что её можно назвать новой революционной идеей и построить новый курс?

Ну вот, опять насмешки вместо обсуждения, берёте изолированный кусок, вырванный из контекста, и вгрызаетесь в него как волк. Я просто объяснил Muninу, как определить непрерывность, не определяя сначала предел, но это почему-то Вас задело.

[g______d]

mishafromusa в сообщении #876666 писал(а):

Ну вот, опять насмешки вместо обсуждения, берёте изолированную фразу и вгрызаетесь в неё как волк.

Мне показалось, что это не отдельная фраза, а концепция, на которой основан весь курс и подход "Calculus without limits": заменить пределы непрерывностью.

[mishafromusa]

g______d в сообщении #876669 писал(а):

Мне показалось, что это не отдельная фраза, а концепция, на которой основан весь курс и подход "Calculus without limits": заменить пределы непрерывностью.

Вам так показалось потому, что Вы и не пытались по-настоящему разобраться, а только искали, к чему бы ещё прицепиться, вот так же как сейчас. Я просто предлагаю развить концепции дифференцирования и интегрирования на более простом материале, а уж потом заниматься непрерывностью и пределами. Ничего особенно революционного в этом нет.

[g______d]

mishafromusa в сообщении #876670 писал(а):

Вам так показалось потому, что Вы и не пытались ни в чём разобраться, а только искали, к чему бы ещё прицепиться, вот так же как сейчас.

Я всего лишь продолжал обсуждение про делимость. Вы сказали, что (непрерывно) дифференцируемую функцию можно определить через делимость в кольце непрерывных функций. Я в конечном согласился. А теперь не понимаю, чем это вообще отличается от определения через предел: возможность продолжения по непрерывности – это и есть существование предела.

-- Вт, 17 июн 2014 20:14:17 --

Постоянно отвечаю на недописанное сообщение.