2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33 ... 67  След.
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение16.06.2014, 01:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Мне кажется, что если это произнести аккуратно, то будет далеко не так впечатляюще. Например, если мы работаем с пределом функции двух переменных, то не можем фиксировать $x_0$, мы должны устремлять и $x_1$, и $x_0$ к какому-то $x$. При этом функция пока не определена при $x_1=x_0$. Тогда вопрос, по каким направлениям мы можем рассматривать пределы? Например, можем ли рассмотреть предел по кривой, касающейся прямой $x_1=x_0$? И т. д.

Разумеется, проблемы снимаются, если мы рассматриваем продолжение непрерывной функции из $\mathbb R^2$ с выкинутой прямой на $\mathbb R^2$ по непрерывности, а потом результат сужаем на эту прямую. Но это требует дифференцируемости исходной функции и непрерывности производной сразу на всём $\mathbb R$.

Т. е. да, непрерывная дифференцируемость функции двух переменных – это делимость функции $f(x_1)-f(x_2)$ на $x_1-x_2$ в кольце непрерывных функций двух переменных, но сильно ли это проще? Если уж мы умеем работать с непрерывными функциями двух переменных, то, может быть, и с классическим определением производной функции одной переменной справимся?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение16.06.2014, 01:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
g______d в сообщении #875857 писал(а):
Например, если мы работаем с пределом функции двух переменных, то не можем фиксировать $x_0$, мы должны устремлять и $x_1$, и $x_0$ к какому-то $x$.

Можэм фыксировать, можэм нэ фыксировать. Какая нам разница, если результат одинаков?

g______d в сообщении #875857 писал(а):
При этом функция пока не определена при $x_1=x_0$.

Нет, уже доопределена.

g______d в сообщении #875857 писал(а):
Разумеется, проблемы снимаются, если мы рассматриваем продолжение непрерывной функции из $\mathbb R^2$ с выкинутой прямой на $\mathbb R^2$ по непрерывности, а потом результат сужаем на эту прямую.

Именно об этом и речь.

g______d в сообщении #875857 писал(а):
Но это требует дифференцируемости исходной функции и непрерывности производной сразу на всём $\mathbb R$.

В окрестности точки дифференцирования. Зачем нам за тридевять земель?

g______d в сообщении #875857 писал(а):
Т. е. да, непрерывная дифференцируемость функции двух переменных – это делимость функции $f(x_1)-f(x_2)$ на $x_1-x_2$ в кольце непрерывных функций двух переменных, но сильно ли это проще?

Если не произносить слова "кольцо", то сильно :-) Очень наглядно, по крайней мере.

-- 16.06.2014 02:36:45 --

P. S. Самое главное!

Естественно определять производную, а потом, по факту её существования - дифференцируемость.

И неестественно, имхо, наоборот: давать определение дифференцируемости, и дальше, там где она есть, - производной.

Логика такая: "вот, есть такая полезная штука... а, подождите, вот не всегда она есть." Идёт от мотивации и пользы. Сначала суть, потом ограничения, и можно давать контрпримеры и "патологии". И наоборот - неправильно: сначала долго ходить вокруг да около, накручивать ограничения, и только потом сказать, для чего это всё.

Понятно, что здание нужно строить по кирпичику снизу вверх. Но полезно перед этим показать план здания: это будет дом, или дворец. Иначе по кирпичику можно слепить чёрт знает что.

-- 16.06.2014 02:37:46 --

Это всё к тому же разговору о том, что понятие - это не определение. Они как раз соотносятся между собой примерно как план здания, и его "наполнение" конкретными кирпичами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение16.06.2014, 01:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Munin в сообщении #875858 писал(а):
Нет, уже доопределена.


Нет, конечно, если непрерывное продолжение на $\mathbb R^2$ нам дано свыше, то всё замечательно. Проблема в том, как узнать, есть ли такое продолжение, если оно не дано? Классический подход сразу даёт ответ: сосчитали один предел в каждой точке, получили производную, потом проверили, непрерывна ли она.

А если продолжение не дано, то у нас есть непрерывная функция на $\mathbb R^2$ без прямой, и попытаться построить продолжение можно 1000 способов, и поди потом проверяй, совпадут ли они все между собой и дадут ли непрерывную функцию.

-- Вс, 15 июн 2014 15:42:24 --

Munin в сообщении #875858 писал(а):
Естественно определять производную, а потом, по факту её существования - дифференцируемость.


Так в классическом анализе и происходит, или я чего-то не понимаю? Производная определяется как предел, а факт существование этого предела – дифференцируемость.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение16.06.2014, 01:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
g______d в сообщении #875862 писал(а):
Проблема в том, как узнать, есть ли такое продолжение, если оно не дано?

Проблема в том, а есть ли такая проблема? Скажем, с тем же примером $(x^2\sin x^{-1})'_{x=0}$ я могу взять производную алгебраически (то есть высказать гипотезу о том, чему она равна), а потом исследовать окрестность точки $x_0=x_1=0,$ и убедиться, что гипотеза верна. Не так ли устроено, например, нахождение максимумов и минимумов?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение16.06.2014, 01:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Munin в сообщении #875858 писал(а):
И неестественно, имхо, наоборот: давать определение дифференцируемости, и дальше, там где она есть, - производной.


Ну я, вообще-то, где-то здесь выше говорил, что не считаю правильным искусственно сужать класс функций до введения понятий, для существования которых эти сужения нужны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение16.06.2014, 01:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
g______d в сообщении #875862 писал(а):
Так в классическом анализе и происходит, или я чего-то не понимаю?

Мне на минуту показалось, что вы говорите о том, чтобы давать их в другом порядке.

g______d в сообщении #875857 писал(а):
Если уж мы умеем работать с непрерывными функциями двух переменных, то, может быть, и с классическим определением производной функции одной переменной справимся?

Фишка здесь в том, что понятия непрерывности и предела разводятся в стороны (классическая связь между ними не излагается), и центральным (и первичным) становится понятие непрерывности, более интуитивно очевидное. Поэтому мы легко можем работать с непрерывными функциями двух переменных, но не думать о пределах вообще, и не пытаться с ними "справляться".

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение16.06.2014, 01:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Munin в сообщении #875868 писал(а):
Поэтому мы легко можем работать с непрерывными функциями двух переменных, но не думать о пределах вообще, и не пытаться с ними "справляться".


С трудом, на самом деле; существенная разница с одномерным случаем в том, что направлений вместо двух становится бесконечно много, и a priori не понятно, как связаны непрерывность по каждому направлению и непрерывность по двум переменным в совокупности. Особенно когда речь идёт о "следе" на прямой. В теории гармонических и субгармонических функций потом возникнут нетангенциальные пределы, где этот момент очень по существу.

Если человек хорошо понимает непрерывность функции двух переменных, то никаких проблем с понятием предела у него не возникнет.

Munin в сообщении #875864 писал(а):
Проблема в том, а есть ли такая проблема? Скажем, с тем же примером $(x^2\sin x^{-1})'_{x=0}$ я могу взять производную алгебраически (то есть высказать гипотезу о том, чему она равна), а потом исследовать окрестность точки $x_0=x_1=0,$ и убедиться, что гипотеза верна.


В чём здесь гипотеза? Если в возможности деления в кольце непрерывных функций, то она как раз неверна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение16.06.2014, 02:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Я думал, что прикинул, как и что, но нашёл у себя ошибку. И даже пример воспроизвёл неправильно: там $(x^2\sin x^{-2})'_{x=0}$ всё-таки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение16.06.2014, 02:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Munin в сообщении #875878 писал(а):
И даже пример воспроизвёл неправильно: там $(x^2\sin x^{-2})'_{x=0}$ всё-таки.


Всё равно не понял; в частности, чем этот пример отличается от предыдущего.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение16.06.2014, 03:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Секущая ведёт себя хуже, не мала в любой окрестности $(0,0).$

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение16.06.2014, 03:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Munin в сообщении #875890 писал(а):
Секущая ведёт себя хуже, не мала в любой окрестности $(0,0).$


В обоих примерах. И я по-прежнему не понимаю, почему эти примеры не являются иллюстрациями того, что классическая производная работает, а деление непрерывных функций – нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение16.06.2014, 03:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
g______d в сообщении #875892 писал(а):
В обоих примерах.

Вроде, там, где $x^{-1},$ она стремится к горизонтали. Или я совсем уже ничего не понимаю.

g______d в сообщении #875892 писал(а):
И я по-прежнему не понимаю, почему эти примеры не являются иллюстрациями того, что классическая производная работает, а деление непрерывных функций – нет.

Вот второй - является.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение16.06.2014, 03:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Munin в сообщении #875895 писал(а):
Вроде, там, где $x^{-1},$ она стремится к горизонтали. Или я совсем уже ничего не понимаю.


Нет, потому что $(x^2\sin(1/x))'=2x\sin(1/x)-\cos(1/x)$ при $x\neq 0$, и второе слагаемое будет обеспечивать осцилляции угла наклона секущей в любой окрестности нуля. Разница только в том, что во втором примере диапазон углов наклона будет расти при приближении к нулю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение16.06.2014, 05:16 


12/02/14
808
Munin в сообщении #875847 писал(а):
К сожалению только, я не представляю себе, как дать определение непрерывности без предела
Это совсем простая задачка для тех, кто только начинает знакомиться с эпсилонизмом-дельтоизмом. Рекомендую её решить и убедиться, что полученное определение проще, чем определение предела функции в точке. По слухам, Чех, который придуумал свои когомологии, сначала определял непрерывность, когда он преподавал в Чикагском университет, а пределы определял через непрепывность.

-- 15.06.2014, 22:41 --

Munin в сообщении #875847 писал(а):
Если мы имеем непрерывность, то можем просто продолжить $\Delta f/\Delta x$ в точку $\Delta x=0$ по непрерывности. (Надо понимать, что $\Delta f/\Delta x\equiv\bigl(f(x_1)-f(x_0)\bigr)/(x_1-x_0)$ - функция двух переменных, разумеется.)
Именно так и дифференцируют многочлены, и эта идеология описана на четвёртой страничке книжки Германа Вейля "Классические Группы, их Инварианты и Представления."

-- 15.06.2014, 22:53 --

g______d в сообщении #875862 писал(а):
А если продолжение не дано, то у нас есть непрерывная функция на $\mathbb R^2$ без прямой, и попытаться построить продолжение можно 1000 способов, и поди потом проверяй, совпадут ли они все между собой и дадут ли непрерывную функцию.
Но если дадут, то такое продолжение единственно, и продолжать надо по непрерывности. Этот погход к непрерывной дифференцируемости используется в недавней книжке по Анализу http://www.wiley.com/WileyCDA/WileyTitl ... 92306.html Её автор, правда, по образованию алгебраист.

-- 15.06.2014, 22:56 --

V_I_Sushkov в сообщении #875702 писал(а):
Вот эта ссылка. http://www.spbstu.ru/publications/m_v/N ... /plan.html
Интересная программа, а что из этого получилось? Какие были результаты? И что с этой программой стало?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение16.06.2014, 06:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
mishafromusa в сообщении #875907 писал(а):
Именно так и дифференцируют многочлены, и эта идеология описана на четвёртой страничке книжки Германа Вейля "Классические Группы, их Инварианты и Представления."


Этот подход может быть идеологически правильным, если все функции (бесконечно) дифференцируемы. Например, $C^{\infty}$, многочлены, аналитические функции. Т. е. когда дифференцирование действует из кольца в то же кольцо и определено везде. По-моему, у Гротендика что-то было на эту тему, про бесконечно малую (в схемном смысле) окрестность диагонали. Кажется, ключевым словом было "$D$-модули", могу поискать. Это чисто алгебраический подход к дифференциальному исчислению, и у него есть свои достоинства.

Оттуда же – определение дифференцирования и дифференциальных операторов в произвольном кольце.

Но все эти конструкции подразумевают, что оператор определён на всём кольце и действует из кольца в себя. Если он действует в другое кольцо или не везде определён, алгебраический подход, думаю, будет работать очень плохо. Не знаю.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 991 ]  На страницу Пред.  1 ... 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33 ... 67  След.

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group