Например, если мы работаем с пределом функции двух переменных, то не можем фиксировать
, мы должны устремлять и
, и
к какому-то
.
Можэм фыксировать, можэм нэ фыксировать. Какая нам разница, если результат одинаков?
При этом функция пока не определена при
.
Нет, уже доопределена.
Разумеется, проблемы снимаются, если мы рассматриваем продолжение непрерывной функции из
с выкинутой прямой на
по непрерывности, а потом результат сужаем на эту прямую.
Именно об этом и речь.
Но это требует дифференцируемости исходной функции и непрерывности производной сразу на всём
.
В окрестности точки дифференцирования. Зачем нам за тридевять земель?
Т. е. да, непрерывная дифференцируемость функции двух переменных – это делимость функции
на
в кольце непрерывных функций двух переменных, но сильно ли это проще?
Если не произносить слова "кольцо", то сильно :-) Очень наглядно, по крайней мере.
-- 16.06.2014 02:36:45 --P. S. Самое главное!
Естественно определять
производную, а потом, по факту её существования -
дифференцируемость.
И
неестественно, имхо, наоборот: давать определение
дифференцируемости, и дальше, там где она есть, -
производной.
Логика такая: "вот, есть такая полезная штука... а, подождите, вот не всегда она есть." Идёт от мотивации и пользы. Сначала суть, потом ограничения, и можно давать контрпримеры и "патологии". И наоборот - неправильно: сначала долго ходить вокруг да около, накручивать ограничения, и только потом сказать, для чего это всё.
Понятно, что здание нужно строить по кирпичику снизу вверх. Но полезно перед этим показать план здания: это будет дом, или дворец. Иначе по кирпичику можно слепить чёрт знает что.
-- 16.06.2014 02:37:46 --Это всё к тому же разговору о том, что
понятие - это не
определение. Они как раз соотносятся между собой примерно как план здания, и его "наполнение" конкретными кирпичами.