Как упростить преподавание матанализа нематематикам?

[mishafromusa]

g______d в сообщении #875857 писал(а):

Т. е. да, непрерывная дифференцируемость функции двух переменных – это делимость функции $f(x_1)-f(x_2)$ на $x_1-x_2$ в кольце непрерывных функций двух переменных, но сильно ли это проще?

Да, если мы хотим обощить это на случай, когда у нас есть кольцо, но нет подходящей топологии. К тому же все встречались с разложениеам на множители и делением, поэтому этот подход проще концептуально.

[g______d]

mishafromusa в сообщении #875910 писал(а):

Да, если мы хотим обощить это на случай, когда у нас есть кольцо, но нет подходящей топологии.

Мне кажется, Вы не прорабатывали детали такого подхода. Например, нам изначально дано кольцо непрерывных функций от одной, а не от двух переменных. Переход из одного в другое – это топологическое тензорное произведение, для построения которого уже нужна топология. А потом мы возвращаемся в исходное кольцо. "Проще концептуально" мне кажется в данном случае обманом.

[mishafromusa]

g______d в сообщении #875909 писал(а):

Но все эти конструкции подразумевают, что оператор определён на всём кольце и действует из кольца в себя. Если он действует в другое кольцо или не везде определён, алгебраический подход, думаю, будет работать очень плохо.

Да почему же? Это же просто разложение на множители, и в случае обычного дифференцирования, равномерного или в точке, и диффереенцирования с данным модулем дифференцируемости, да и в сучае многих переменных, замечательно работает.

-- 15.06.2014, 23:49 --

g______d в сообщении #875912 писал(а):

"Проще концептуально" мне кажется в данном случае обманом.

Но для многочленов-то это точно не обман, и все встречались в школе с разложением на множители.

[g______d]

mishafromusa в сообщении #875915 писал(а):

Но для многочленов-то это точно не обман, и все встречались в школе с разложением на множители.

Для многочленов, $C^{\infty}$, $C^{\omega}$ – не обман. Но между этими кольцами и кольцами, подобными $C^k$ и липшицевым функциям, есть довольно большая разница.

[mishafromusa]

g______d в сообщении #875917 писал(а):

Для многочленов, $C^{\infty}$, $C^{\omega}$ – не обман. Но между этими кольцами и кольцами, подобными $C^k$ и липшицевым функциям, есть довольно большая разница.

Конечно есть разница, но идеология всё равно работает, я же как раз про это статью и написал.

[g______d]

mishafromusa в сообщении #875919 писал(а):

но идеология всё равно работает

Либо не работает, либо это не та идеология. Уж точно это не на уровне "дано только кольцо, и мы всё умеем делать в терминах кольца". Вы как минимум переходите от кольца функций одной переменной к двум переменным и никак не комментируете алгебраический смысл этого перехода.

[mishafromusa]

g______d в сообщении #875920 писал(а):

Уж точно это не на уровне "дано только кольцо, и мы всё умеем делать в терминах кольца".

Да я и имел в виду соввсем не это, а то, что дифференцирование можно рассматривать как продолжение разностного отношения на диагональ, т.е. разложение на множители разности функции, что и написано у Вейля.

[V_I_Sushkov]

robot80 в сообщении #870142 писал(а):

<...>
Тоже никогда не мог понять, зачем мы рассказываем студентам про эти пределы (на это тратится уйма времени).

Для полинома Тейлора - вот что самое главное.
Попробуйте давать студентам производные по Пеано -
другая атмосфера возникает на занятиях, заинтересованность появляется.

[Munin]

g______d в сообщении #875896 писал(а):

Нет, потому что $(x^2\sin(1/x))'=2x\sin(1/x)-\cos(1/x)$

Ну я ещё и производную неправильно посчитал... всё, ушёл печалиться.

mishafromusa в сообщении #875907 писал(а):

Это совсем простая задачка... Рекомендую её решить

Рекомендую не темнить, сам я решить уже ничего не могу.

-- 16.06.2014 15:18:19 --

mishafromusa в сообщении #875915 писал(а):

Да почему же? Это же просто разложение на множители

Если функция не задана полиномом, то "разложение на множители" есть взятие ряда Тейлора, то есть применение операции дифференцирования.

[V_I_Sushkov]

mishafromusa в сообщении #875907 писал(а):

V_I_Sushkov в сообщении #875702 писал(а):

Вот эта ссылка. http://www.spbstu.ru/publications/m_v/N ... /plan.html

Интересная программа, а что из этого получилось? Какие были результаты? И что с этой программой стало?

Я ответил Вам здесь:
post876026.html#p876026

[mishafromusa]

V_I_Sushkov в сообщении #876030 писал(а):

mishafromusa в сообщении #875907 писал(а):

V_I_Sushkov в сообщении #875702 писал(а):

Вот эта ссылка. http://www.spbstu.ru/publications/m_v/N ... /plan.html

Интересная программа, а что из этого получилось? Какие были результаты? И что с этой программой стало?

Я ответил Вам здесь:
post876026.html#p876026

Да, жалко, что прикрыли, и так быстро , меня лично это удручает, как ещё одна победа бюрократов-стандартизаторов над математиками. Я предполагаю, что и многие ваши коллеги -- преподаватели увидели в вашем эксперименте угрозу своему уютному существованию. Грустно.

-- 16.06.2014, 12:00 --

[V_I_Sushkov]

mishafromusa в сообщении #876145 писал(а):

<...>
Да, жалко, что прикрыли, и так быстро , меня лично это удручает, как ещё одна победа бюрократов-стандартизаторов над математиками. Я предполагаю, что и многие ваши коллеги -- преподаватели увидели в вашем эксперименте угрозу своему уютному существованию. Грустно.
-- 16.06.2014, 12:00 --

Ответил здесь
post876156.html#p876156

[mishafromusa]

g______d в сообщении #875862 писал(а):

Т. е. да, непрерывная дифференцируемость функции двух переменных – это делимость функции $f(x_1)-f(x_2)$ на $x_1-x_2$ в кольце непрерывных функций двух переменных, но сильно ли это проще?

Munin: Если не произносить слова "кольцо", то сильно Очень наглядно, по крайней мере.

Да, это просто прямолинейное обобщение того факта, что многочлен, имеющий корень $a$, делится на $x-a.$

-- 16.06.2014, 14:38 --

[g______d]

mishafromusa в сообщении #876198 писал(а):

Да, это просто прямолинейное обобщение того факта, что многочлен, имеющий корень $a$, делится на $x-a.$

Мне кажется притянутым за уши. Многочлены, бесконечно гладкие и аналитические функции замечательны именно тем, что "всегда делится". А непрерывные – не всегда.

[mishafromusa]

Munin в сообщении #876022 писал(а):

сам я решить уже ничего не могу.

Правда? Странно. Ну хорошо. Распишите утверждение "предел функции в точке равен её значению в этой точке" в терминах эпсилонов и дельт. Теперь заметьте, что в получившемся определении требованое $x \ne a$ можно отбросить. Вот это и есть определение непрерывности в точке. После этого можно сказать, что предел функции в точке равен некоторому числу, если эта функция становится непрерывной в этой точке, если мы заменим её значение в этой точке на это число.

-- 16.06.2014, 14:56 --

g______d в сообщении #876202 писал(а):

mishafromusa в сообщении #876198 писал(а):

Да, это просто прямолинейное обобщение того факта, что многочлен, имеющий корень $a$, делится на $x-a.$

Мне кажется притянутым за уши. Многочлены, бесконечно гладкие и аналитические функции замечательны именно тем, что "всегда делится". А непрерывные – не всегда.

Ну так эту делимость и можно принять за определение дифференцируемости, так что вовсе не за уши.

-- 16.06.2014, 15:06 --