2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36 ... 67  След.
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение17.06.2014, 21:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5909
Хорошо, я согласен, что владея непрерывностью функций двух переменных и понятием "продолжение по непрерывности", можно ввести производную как продолжение по непрерывности (если оно существует) разностного отношения.

Выше это уже упоминалось, но я так и не понял: чем понимание продолжения по непрерывности принципиально отличается от понятия предела? По-моему, только названием. Т. е. мы взяли производную как предел разностного отношения и заменили слово "предел" словами "продолжение по непрерывности".

Кстати говоря, если потребовать непрерывности разностного отношения только по одной переменной, получится в точности классическая производная.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение17.06.2014, 23:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
g______d в сообщении #876543 писал(а):
Выше это уже упоминалось, но я так и не понял: чем понимание продолжения по непрерывности принципиально отличается от понятия предела?

Тем, что понятие "продолжения по непрерывности" можно просто наивно понять, а понятие предела приходится занудно (и заумно) формулировать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение18.06.2014, 02:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5909
Munin в сообщении #876613 писал(а):
Тем, что понятие "продолжения по непрерывности" можно просто наивно понять, а понятие предела приходится занудно (и заумно) формулировать.


"Функция $f$ имеет предел в точке $a$" и "функцию $f$ можно продолжить в точку $a$ так, чтобы результат был непрерывен в точке $a$" – это просто вообще одно и то же, поэтому и наивно понять, и заумно формулировать их одинаково сложно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение18.06.2014, 03:41 


12/02/14
808
g______d в сообщении #876543 писал(а):
Выше это уже упоминалось, но я так и не понял: чем понимание продолжения по непрерывности принципиально отличается от понятия предела? По-моему, только названием.
Если смотреть чисто формально, то да. Но мы здесь обсуждаем преподавание, а не формалистику. Так вот, если начать с дифференцирования многочленов посредством выделения множителя $x-a$ из приращения функции $f(x)-f(a)$, то идея такого же трюка в более широком контексте непрерывных функций становится естественной. Конечно, если начинать с пределов и непрерывности (чего я предлагаю не делать), то разница небольшая.

-- 17.06.2014, 20:46 --

g______d в сообщении #876543 писал(а):
Кстати говоря, если потребовать непрерывности разностного отношения только по одной переменной, получится в точности классическая производная.
Я про это уже много раз говорил, и это написано у меня в статье. Рад, что Вы наконец это тоже поняли.

-- 17.06.2014, 21:15 --
g______d в сообщении #876649 писал(а):
Munin в сообщении #876613 писал(а):
Тем, что понятие "продолжения по непрерывности" можно просто наивно понять, а понятие предела приходится занудно (и заумно) формулировать.
"Функция $f$ имеет предел в точке $a$" и "функцию $f$ можно продолжить в точку $a$ так, чтобы результат был непрерывен в точке $a$" – это просто вообще одно и то же, поэтому и наивно понять, и заумно формулировать их одинаково сложно.
Опять-таки, формально говоря, да, а с точки зрения понятности изложения --нет. Непрерывность функции в точке достатчно интуитивна, и её формализация проще, так как в определинии можно опустить требование $x \ne a$, и не надо беспокоиться о существовании предела, так как у нас уже есть $f(a)$. После этого понятие предела функции в точке, которое само по себе может показаться надуманным, становится естественным.

Кстати, Вы здесь проявляете непоследовательность; в другой нашей дискуссии Вы говорили, что сразу вводить равномерную дифференцируемость слишком сложно, а проще ввести сначала производную в точке, а потом налагать на неё дополнителные условия. Здесь же Вы отвергаете сведение более сложного и искусственного понятия предела функции в точке к более простому и естественному понятию непрепрывности в точке.

Создаётся впечатление, что Вы просто предпочитаете именно то и именно так, что и как написано в учебнике, по которому Вы учились. Это вполне понятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение18.06.2014, 04:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5909
mishafromusa в сообщении #876654 писал(а):
Создаётся впечатление, что Вы просто предпочитаете именно то и именно так, что и как написано в учебнике, по которому Вы учились.


Я не учился по какому-то конкретному учебнику, но ближе всего, по-видимому, Рудин и Натансон (на 1 курсе), + много задач. Мне важна была строгость изложения с минимальным ущербом для понятности, а не какая-то мифическая понятность без строгости и последовательности.

mishafromusa в сообщении #876654 писал(а):
Кстати, Вы здесь проявляете непоследовательность; в другой нашей дискуссии Вы говорили, что сразу вводить равномерную дифференцируемость слищком сложно, а проще ввести сначала производную в точке, а потом налагать на неё дополнителные условия.


И сейчас говорю. По крайней мере, в начальном курсе анализа.

mishafromusa в сообщении #876654 писал(а):
Здесь же Вы отвергаете сведение более сложного и искуственного понятия предела функции в точке к более простому и естественному понятию непрепрывности в точке.


Не очень корректно в данном случае говорить о сведении. Это абсолютно одно и то же, вот просто дословно. Отличается только названием. Поэтому если для одного есть простое объяснение, то есть и для другого точно такое же.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение18.06.2014, 04:37 


12/02/14
808
g______d в сообщении #876656 писал(а):
а не какая-то мифическая понятность без строгости и последовательности.
Не надо так огрызаться, мы же обсуждаем матан для нематематиков, а им понятность может быть важнее.

-- 17.06.2014, 21:45 --

g______d в сообщении #876656 писал(а):
Это абсолютно одно и то же, вот просто дословно.
Неправда, здесь более сложное определение расчленяется на два более простых.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение18.06.2014, 04:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5909
mishafromusa в сообщении #876657 писал(а):
Не надо так огрызаться, мы же обсуждаем матан для нематематиков, а им понятность может быть важнее.


Ну я отвечал по поводу своего обучения, и действительно тогда ровно так думал. Потом, при изучении более сложных разделов, уже восстановление технических деталей превращается в уверенность возможности такого восстановления, и понятность идей становится ключевой, но понимание того, что дьявол в деталях, должно быть, и в восстановлении деталей в любом случае практика нужна.

-- Вт, 17 июн 2014 18:51:59 --

mishafromusa в сообщении #876657 писал(а):
Неправда, здесь более сложное определение расчленяется на два более простых.


По-моему, "сложное" (предел) расчленяется на "абсолютно тривиальное" (подстановка $L=f(a)$) и "такое же сложное" (непрерывность). Вот уж подставить значение предела в качестве $f(a)$ и задать вопрос о непрерывности функции не считаю сколько-нибудь содержательным по сложности шагом ни для кого. Или Вы другое разбиение имели в виду?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение18.06.2014, 04:54 


12/02/14
808
mishafromusa в сообщении #876657 писал(а):
Я не учился по какому-то конкретному учебнику, но ближе всего, по-видимому, Рудин и Натансон
Натансона я не читал, это вроде учебник по вещественной переменной, что же касается Рудина, то что очень сухой и сжатый учебник именно для математиков, изложение в нём плохо подходит для нематиматиков.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение18.06.2014, 04:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5909
mishafromusa в сообщении #876660 писал(а):
Натансона я не читал, это вроде учебник по вещественной переменной, что же касается Рудина, то что очень сухой и сжатый учебник именно для математиков, изложение в нём плохо подходит для нематиматиков.


Рудин вообще не очень хорош для первого чтения. Но у меня лекции были. Про нематематиков я не спорю, Вы спросили, по чему я учился, я ответил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение18.06.2014, 05:01 


12/02/14
808
g______d в сообщении #876658 писал(а):
Или Вы другое разбиение имели в виду?
Нет, именно это, и в определении непрерывности нет требования $x \ne a$, так что оно немного проще.

-- 17.06.2014, 22:13 --

g______d в сообщении #876662 писал(а):
Вы спросили, по чему я учился, я ответил.
Я вообще-то и не спрашивал, просто у меня такое впечатление, что Вы считаете, что всё и так хорошо, и менять ничего не надо, и поэтому всеми путями пытаетесь дискредитировать мои предложения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение18.06.2014, 05:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5909
mishafromusa в сообщении #876663 писал(а):
Вы считаете, что всё и так хорошо, и менять ничего не надо,


Ну в данный момент основная проблема не в отсутствии нормальной программы, а в реализации существующих программ.

mishafromusa в сообщении #876663 писал(а):
поэтому всеми путями пытаетесь дискредитировать мои предложения.


Не всеми путями, и не специально. Мне просто честно кажется, что при попытке её ввести будет только хуже. Аргументы я уже приводил. А классический анализ не так уж сложен.

mishafromusa в сообщении #876663 писал(а):
Нет, именно это, и в определении непрерывности нет требования $x \ne a$, так что оно немного проще.


Неужели разница настолько важна, что её можно назвать новой революционной идеей и построить новый курс?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение18.06.2014, 05:52 


12/02/14
808
g______d в сообщении #876664 писал(а):
Неужели разница настолько важна, что её можно назвать новой революционной идеей и построить новый курс?

Ну вот, опять насмешки вместо обсуждения, берёте изолированный кусок, вырванный из контекста, и вгрызаетесь в него как волк. Я просто объяснил Muninу, как определить непрерывность, не определяя сначала предел, но это почему-то Вас задело.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение18.06.2014, 05:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5909
mishafromusa в сообщении #876666 писал(а):
Ну вот, опять насмешки вместо обсуждения, берёте изолированную фразу и вгрызаетесь в неё как волк.


Мне показалось, что это не отдельная фраза, а концепция, на которой основан весь курс и подход "Calculus without limits": заменить пределы непрерывностью.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение18.06.2014, 06:07 


12/02/14
808
g______d в сообщении #876669 писал(а):
Мне показалось, что это не отдельная фраза, а концепция, на которой основан весь курс и подход "Calculus without limits": заменить пределы непрерывностью.
Вам так показалось потому, что Вы и не пытались по-настоящему разобраться, а только искали, к чему бы ещё прицепиться, вот так же как сейчас. Я просто предлагаю развить концепции дифференцирования и интегрирования на более простом материале, а уж потом заниматься непрерывностью и пределами. Ничего особенно революционного в этом нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение18.06.2014, 06:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5909
mishafromusa в сообщении #876670 писал(а):
Вам так показалось потому, что Вы и не пытались ни в чём разобраться, а только искали, к чему бы ещё прицепиться, вот так же как сейчас.


Я всего лишь продолжал обсуждение про делимость. Вы сказали, что (непрерывно) дифференцируемую функцию можно определить через делимость в кольце непрерывных функций. Я в конечном согласился. А теперь не понимаю, чем это вообще отличается от определения через предел: возможность продолжения по непрерывности – это и есть существование предела.

-- Вт, 17 июн 2014 20:14:17 --

Постоянно отвечаю на недописанное сообщение.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 991 ]  На страницу Пред.  1 ... 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36 ... 67  След.

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group