Ну так эту делимость и можно принять за определение дифференцируемости, так что вовсе не за уши.
Ну тогда мы возвращаемся к моему замечанию выше. Вы хотите дифференцируемость функции одной переменной определить с помощью делимости в кольце непрерывных функций от двух переменных. Я не считаю, что честный подход к этому будет проще.
Даже для многочленов факт "

делится на

в кольце
![$\mathbb R[x,y]$ $\mathbb R[x,y]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/e/5/4e5617d302df8b22ddb2d29adcc9337f82.png)
" требует некоторых усилий, потому что это либо теорема Безу с параметром, либо теорема Гильберта о нулях, которая, вообще говоря, неверна над

.
А делимость в кольце непрерывных функций, да и само кольцо, устроены существенно сложнее. Например, если Вы попробуете доказать что-то типа "

не является дифференцируемым" с помощью делимости, потребуется вся техника теории непрерывных функций, ограниченность на компакте и т. п.
Кроме того, довольно опасен обман в стиле "непрерывные функции ведут себя так же, как многочлены"; студенты могут этому случайно поверить.