2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35 ... 67  След.
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение16.06.2014, 22:19 
Заслуженный участник


02/08/11
6874
mishafromusa в сообщении #876203 писал(а):
в получившемся определении требование $x \ne a$ можно отбросить.
Это как так? Если его отбросить, ерунда получится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение16.06.2014, 22:25 


12/02/14
808
warlock66613 в сообщении #876212 писал(а):
mishafromusa в сообщении #876203 писал(а):
в получившемся определении требование $x \ne a$ можно отбросить.
Это как так? Если его отбросить, ерунда получится.
Сначала посмотрите что получится, а потом говорите, что это ерунда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение16.06.2014, 22:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
mishafromusa в сообщении #876203 писал(а):
Распишите утверждение "предел функции в точке равен её значению в этой точке" в терминах эпсилонов и дельт. Теперь заметьте, что в получившемся определении требованое $x \ne a$ можно отбросить. Вот это и есть определение непрерывности в точке.

У вас всё равно с эпсилонами и дельтами получилось.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение16.06.2014, 22:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
mishafromusa в сообщении #876203 писал(а):
Ну так эту делимость и можно принять за определение дифференцируемости, так что вовсе не за уши.


Ну тогда мы возвращаемся к моему замечанию выше. Вы хотите дифференцируемость функции одной переменной определить с помощью делимости в кольце непрерывных функций от двух переменных. Я не считаю, что честный подход к этому будет проще.

Даже для многочленов факт "$p(x)-p(y)$ делится на $x-y$ в кольце $\mathbb R[x,y]$" требует некоторых усилий, потому что это либо теорема Безу с параметром, либо теорема Гильберта о нулях, которая, вообще говоря, неверна над $\mathbb R$.

А делимость в кольце непрерывных функций, да и само кольцо, устроены существенно сложнее. Например, если Вы попробуете доказать что-то типа "$|x|$ не является дифференцируемым" с помощью делимости, потребуется вся техника теории непрерывных функций, ограниченность на компакте и т. п.

Кроме того, довольно опасен обман в стиле "непрерывные функции ведут себя так же, как многочлены"; студенты могут этому случайно поверить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение16.06.2014, 22:33 
Заслуженный участник


02/08/11
6874
mishafromusa в сообщении #876215 писал(а):
Сначала посмотрите что получится, а потом говорите, что это ерунда.
$(\forall \varepsilon > 0)(\exists x \ne x_0)(\left| f(x) - f(x_0) \right| < \varepsilon)$.
Если выкинуть отсюда $x \ne x_0$, получится верное, но абсолютно бессодержательное утверждение:
$(\forall \varepsilon > 0)(\exists x)(\left| f(x) - f(x_0) \right| < \varepsilon)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение16.06.2014, 22:57 


12/02/14
808
warlock66613 в сообщении #876222 писал(а):
mishafromusa в сообщении #876215 писал(а):
Сначала посмотрите что получится, а потом говорите, что это ерунда.
$(\forall \varepsilon > 0)(\exists x \ne x_0)(\left| f(x) - f(x_0) \right| < \varepsilon)$.
Если выкинуть отсюда $x \ne x_0$, получится верное, но абсолютно бессодержательное утверждение:
$(\forall \varepsilon > 0)(\exists x)(\left| f(x) - f(x_0) \right| < \varepsilon)$.
Неверно, куда дельта потерялась? Посмотрите определение в учебнике, если не помните.

-- 16.06.2014, 15:58 --

Munin в сообщении #876217 писал(а):
У вас всё равно с эпсилонами и дельтами получилось.
Я не обещал без эпсилонов и дельт.

-- 16.06.2014, 15:59 --

g______d в сообщении #876218 писал(а):
Кроме того, довольно опасен обман в стиле "непрерывные функции ведут себя так же, как многочлены"; студенты могут этому случайно поверить.
Не непрепывные, а дифференцируемые, и это в определённом смысле так.

-- 16.06.2014, 16:05 --

g______d в сообщении #876218 писал(а):
Даже для многочленов факт "$p(x)-p(y)$ делится на $x-y$ в кольце $\mathbb R[x,y]$" требует некоторых усилий, потому что это либо теорема Безу с параметром, либо теорема Гильберта о нулях, которая, вообще говоря, неверна над $\mathbb R$.
Это элементарная алгебра на уровне деления многочлена с остатром, никакая высокая наука здесь не нужна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение16.06.2014, 23:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
mishafromusa в сообщении #876231 писал(а):
Не непрепывные, а дифференцируемые, и это в определённом смысле так.


Бесконечно дифференцируемые.

mishafromusa в сообщении #876231 писал(а):
Это элементарная алгебра на уровне деления многочлена с остатром


Ваши ученики умеют делить многочлены от двух переменных с остатком?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение16.06.2014, 23:14 


12/02/14
808
g______d в сообщении #876218 писал(а):
если Вы попробуете доказать что-то типа "$|x|$ не является дифференцируемым" с помощью делимости, потребуется вся техника теории непрерывных функций, ограниченность на компакте и т. п.

Чепуха, доказательство совершенно элементарно и не использует ничего кроме определения непрерывности, уж точно не ограниченность и не компактность. Оставляется читателям в качестве упражнения. :-)

-- 16.06.2014, 16:16 --

g______d в сообщении #876234 писал(а):
Бесконечно дифференцируемые.
Приращение дифференцируемой функции делится на приращение аргумента, как непрерывная функция, хорошо?

-- 16.06.2014, 16:18 --

g______d в сообщении #876234 писал(а):
Ваши ученики умеют делить многочлены от двух переменных с остатком?
Одну из переменных можно взять, как параметр, а уж делить многочлены от одной переменной умеют все, а кто не умеет, тому полезно и научиться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение16.06.2014, 23:20 
Заслуженный участник


02/08/11
6874
mishafromusa в сообщении #876231 писал(а):
Неверно, куда дельта потерялась? Посмотрите определение в учебнике, если не помните.
Ок, убедили.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение16.06.2014, 23:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
mishafromusa в сообщении #876236 писал(а):
Одну из переменных можно взять, как параметр, а уж делить многочлены от одной переменной умеют все, а кто не умеет, тому полезно и научиться.


Я и говорю, теорема Безу с параметром. А потом надо доказывать, что результат будет многочленом от двух переменных.

mishafromusa в сообщении #876236 писал(а):
Чепуха, доказательство совершенно элементарно и не использует ничего кроме определения непрерывности, уж точно не ограниченность и не компактность. Оставляется читателям в качестве упражнения. :-)


Доказывайте.

mishafromusa в сообщении #876236 писал(а):
Приращение дифференцируемой функции делится на приращение аргумента, как непрерывная функция, хорошо?


Именно что как непрерывная, а не как дифференцируемая. А многочлен делится как многочлен. И бесконечно гладкая делится как бесконечно гладкая.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение17.06.2014, 00:41 


12/02/14
808
g______d в сообщении #876241 писал(а):
Доказывайте.
Доказывайте сами, и не цепляйтесь к каждому слову, это становится просто неприлично.

-- 16.06.2014, 17:43 --

g______d в сообщении #876241 писал(а):
Именно что как непрерывная
А мне как-раз это и нужно, именно эта аналогия с многочленами, а совсем не то, что Вы предлагаете.

-- 16.06.2014, 17:50 --

mishafromusa в сообщении #876249 писал(а):
А потом надо доказывать, что результат будет многочленом от двух переменных.
Да это же в данном случае очевидно!

-- 16.06.2014, 18:18 --

g______d в сообщении #876218 писал(а):
если Вы попробуете доказать что-то типа "$|x|$ не является дифференцируемым" с помощью делимости, потребуется вся техника теории непрерывных функций, ограниченность на компакте и т. п.

Хорошо, $|x|/x$ имеет разрыв первого рода в нуле, поэтому не является произведением $x$ на непрерывную функцию, ЧТД. Где здесь ограниченность на компакте? Какая здесь техника? Что вы мне и другим читателям голову морочите?!

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение17.06.2014, 02:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
mishafromusa в сообщении #876249 писал(а):
Хорошо, $|x|/x$ имеет разрыв первого рода в нуле, поэтому не является произведением $x$ на непрерывную функцию, ЧТД.


Да, здесь я не прав. Нужен пример посложнее. А с многочленом так же очевидно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение17.06.2014, 03:26 


12/02/14
808
g______d в сообщении #876260 писал(а):
mishafromusa в сообщении #876249 писал(а):
Хорошо, $|x|/x$ имеет разрыв первого рода в нуле, поэтому не является произведением $x$ на непрерывную функцию, ЧТД.


Да, здесь я не прав. Нужен пример посложнее. А с многочленом так же очевидно?
Ну конечно! И вообще цель не в том, чтоб копаться в патологиях, а в том, чтоб посмотреть на дифференцирование и интегрирование с нескольких разных сторон, и создать основу для простых применений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение17.06.2014, 04:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Да, с многочленом можно просто использовать формулу $x^k-y^k$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение17.06.2014, 04:35 


12/02/14
808
g______d в сообщении #876268 писал(а):
Да, с многочленом можно просто использовать формулу $x^k-y^k$.
А, Вы про это... Так ведь так же и сделано, на первой странице слайдов...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 991 ]  На страницу Пред.  1 ... 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35 ... 67  След.

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group