2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26 ... 67  След.
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение12.06.2014, 11:49 


12/02/14
808
g______d в сообщении #874530 писал(а):
Хотя бы потому, что понятнее нормально рассказанного классического анализа ещё поискать курсов.
Линейная алгебра гораздо проще.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение12.06.2014, 11:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5829
mishafromusa в сообщении #874526 писал(а):
Вот к примеру есть книжка "Analysis by Its History." Там в первых двух главах всё делается как в 18 веке и раньше, а потом строгость наводится в главе 3. Чем это плохо?


Тем, что занимает в 2-3 раза больше времени, которое, опять же, можно потратить на решение задач или на доказательство менее тривиальных вещей, типа критерия интегрируемости по Риману.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение12.06.2014, 11:59 


12/02/14
808
g______d в сообщении #874535 писал(а):
mishafromusa в сообщении #874526 писал(а):
Вот к примеру есть книжка "Analysis by Its History." Там в первых двух главах всё делается как в 18 веке и раньше, а потом строгость наводится в главе 3. Чем это плохо?


Тем, что занимает в 2-3 раза больше времени, которое, опять же, можно потратить на решение задач или на доказательство менее тривиальных вещей, типа критерия интегрируемости по Риману.
Так там и полно задач, просто в первых двух главах строгость не нужна. И зачем школьникам и инженерам критерий интегрируемости по Риману? Надо же меру знать! :-)

-- 12.06.2014, 05:30 --

ex-math в сообщении #874472 писал(а):
Все достигается только упражнениями, трудом. Так что проблема здесь не в сложности понятия непрерывности, а в массовом нежелании работать.
Проблемы и в том, и в этом, и ещё в порядке изложения. Почитайте лекцию Рохлина в самом начале этой ветки, т.е. на первой странице.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение12.06.2014, 12:35 
Заслуженный участник


11/05/08
31922
mishafromusa в сообщении #874521 писал(а):
И школьникам можно объяснить про площадь, если им на уроках геометрии не объяснили, ничего сложного.

На геометрии им этого и в принципе не могли объяснять (в смысле формально вводить) -- это, говоря формально, понятие аналитическое. Ладно, допустим, Вы определяете интеграл как площадь; а Вы доказываете, например, что площадь существует ну хотя бы у сегмента параболы?...

mishafromusa в сообщении #874538 писал(а):
И зачем школьникам и инженерам критерий интегрируемости по Риману? Надо же меру знать! :-)

Школьникам не нужно, а вот инженерам иногда необходимо даже понятие об интеграле Лебега. Увы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение12.06.2014, 12:53 


12/02/14
808
ewert в сообщении #874545 писал(а):
На геометрии им этого и в принципе не могли объяснять (в смысле формально вводить) -- это, говоря формально, понятие аналитическое. Ладно, допустим, Вы определяете интеграл как площадь; а Вы доказываете, например, что площадь существует ну хотя бы у сегмента параболы?...
Формально не могли, а неформально -- вполне могли. Про плошадь сегмента параболы я не говорю что она существует, а показываю как её посчитать, как сумму геометрической прогрессии. Про интеграл от липшицевой функции я фактичеки доказываю его существование через приближения кусочно-линейными. Посмотрите слайды http://mathfoolery.com/talk-2004.pdf или http://mathfoolery.com/talk-2010.pdf стр 6-9 и 13. Теорема Ньютона-Лейбница доказана на стр. 14 доклада 2010 года.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение12.06.2014, 13:00 
Заслуженный участник


11/05/08
31922
mishafromusa в сообщении #874549 писал(а):
Про интеграл от липшицевой функции я фактичеки доказываю его существование через приближения кысочно-линейнуми.

(Оффтоп)

Что такое "кисочный линейнум"?...

Может, и доказываете; но что?... -- Вы ведь интеграл ни разу не определяете.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение12.06.2014, 13:04 


12/02/14
808
ewert в сообщении #874552 писал(а):
mishafromusa в сообщении #874549 писал(а):
Про интеграл от липшицевой функции я фактичеки доказываю его существование через приближения кусочно-линейными.

Может, и доказываете; но что?... -- Вы ведь интеграл ни разу не определяете.
Опечатка исправлена, интеграл оределён на стр. 9. Текст конечно, неполный, но грубых математических проколов нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение12.06.2014, 13:16 
Заслуженный участник


11/05/08
31922
mishafromusa в сообщении #874555 писал(а):
интеграл оределён на стр. 9.

На этой страничке нет вообще никаких точных определений, лишь смутные намёки. Например, там впервые (на беглый взгляд, во всяком случае) появляется какая-то загадочная $C$; что, зачем, почему?...

И в любом случае: если там определённый интеграл и определяется, то лишь как приращение первообразной (которую, напомню, Вы не определяете). При чём тут площади-то?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение12.06.2014, 13:24 


12/02/14
808
ewert в сообщении #874545 писал(а):
инженерам иногда необходимо даже понятие об интеграле Лебега. Увы.
Ну так они потом могут разобраться, те, которым и правда нужно.

-- 12.06.2014, 06:29 --

ewert в сообщении #874559 писал(а):
При чём тут площади-то?
А при том, что по теореме Ньютона-Лейбница площадь даёт неопределённый интеграл. Примеры даны уже на стр. 6 и 7.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение12.06.2014, 13:31 
Заслуженный участник


11/05/08
31922
mishafromusa в сообщении #874562 писал(а):
Ну так они потом могут разобраться, те, которым и правда нужно.

Им будет очень трудно разобраться, если они с самого начала не приучатся к некоторым стандартам строгости и общности (которых вовсе не обязательно точно придерживаться, но которые должны присутствовать хотя бы на горизонте). Они просто не будут понимать, зачем это вдруг ещё и какой-то Лебег понадобился.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение12.06.2014, 13:41 


12/02/14
808
ewert в сообщении #874564 писал(а):
Им будет очень трудно разобраться, если они с самого начала не приучатся к некоторым стандартам строгости и общности
С какого самого начала? Пока они не умеют ни дифференцировать, ни интегрировать?

-- 12.06.2014, 06:48 --

ewert в сообщении #874559 писал(а):
появляется какая-то загадочная $C$; что, зачем, почему?...
Потому что производная от неё равна нулю, это же странички для доклада, а не учебник. И потом я же показываю как решить задачку на стр. 4, т,е, становится понятно откуда константа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение12.06.2014, 14:01 
Заслуженный участник


11/05/08
31922
mishafromusa в сообщении #874562 писал(а):
по теореме Ньютона-Лейбница площадь даёт неопределённый интеграл.

Понимаете, Ваш текст очень трудно читать -- он очень плохо структурирован. И путаница в обозначениях (то наличие дифференциалов под интегралами, то их отсутствие, причём даже в соседствующих формулах; какой-то загадочный интеграл с только верхним пределом, который нигде не вводится; и т.д) -- эта путаница пониманию никак не способствует. Так вот, и теорема Ньютона-Лейбница нигде не сформулирована. На стр.14 приведено сначала некое доказательство невесть чего, и лишь в самом конце что-то вроде утверждения (сформулированного довольно невнятно, естественно). Зачем Вы это доказываете -- совершенно непонятно: при Вашем подходе формула Ньютона-Лейбница верна просто по Вашему определению определённого интеграла. Связи же его с площадью мне обнаружить так и не удалось, если не считать каких-то смутных намёков.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение12.06.2014, 14:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
09/06/20
72408
mishafromusa в сообщении #874414 писал(а):
Munin, я вижу, что Вы наконец начинаете проникаться мудрыми идеями эпсилонизма-дельтоизма

Не паясничайте. Я всегда признавал эти идеи, и согласен с тем, что они мощные. Вопрос для меня был и остаётся только в том, что они, слишком трудные, и возможно, излишние. Если так - стоит их на что-то попробовать заменить. Если окажется, что не так - то делать нечего.

На сейчас я представляю себе понятия производной и интеграла не обязательно привязанными к пределу и эпсилон-дельта: производная - это касательная, а интеграл - это площадь. Но как построить курс на таких понятиях, я толком не представляю, а никто помогать мне не взялся.

И наконец, моя фраза означала всего лишь ровно то, что означала: что я понял позицию собеседника, и поблагодарил за это.

И действительно, аргумент, высказанный g______d, мне ясно виден, и я не могу его не признать.

g______d в сообщении #874424 писал(а):
Хотя в какой-то момент нашей дискуссии (пару дней назад) я провел поиск подобной темы на mathoverflow, это да.

О. Поделитесь ссылкой.

g______d в сообщении #874424 писал(а):
Ну а что, Вы им, что ли, про $\varepsilon$ и $\delta$ рассказывать будете? Небось ведь после своего введения пойдете по тривиуму Арнольда или подобному задачнику и будете задачи оттуда решать с помощью чашечки и шарика. Я лично действительно боюсь, что Вы вместо нормального изложения теории пойдете по местам, которые с целью развлечения можно изложить на пальцах. А царского пути в математику нет.

Насколько я понимаю, цель подобного "введения в понятие производной" - состоит ровно в том, чтобы быстро позволить изложить "алгебраическую теорию дифференцирования", и натаскать на технику её применения, чтобы ученики могли практически применять производную, где бы она там им ни понадобилась. Например, в физике, и например, в анализе нескольких переменных.

Это всё не "с целью развлечения", и вообще не "путь в математику". Это преодоление небольшого порога, и отдых на нём. Наверняка, дальнейшее продвижение стоит начать с того, чтобы рассказать всё-таки про пределы и эпсилон-дельта, что будет воспринято как формализация и уточнение уже известных понятий.

Сравните, в школе одни и те же понятия дают по несколько раз, углубляя, устрожая и формализуя изложение. Математика младших и средних классов готовит к математике старших классов. Физика в 7-9 классах предварительно знакомит с темами, подробно рассмотренными в физике 10-11 классов.

g______d в сообщении #874424 писал(а):
Ну в Ваших словах я тоже постоянно читаю между строк, что студенты тупые и не могут понять определения предела.

Вот от "чтения между строк" лечиться надо :-) Есть же другая интерпретация, более простая: не студенты тупые, а понятие сложное, и требует много времени и сил, а если попытаться дать его кратко - многие "отстанут".

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение12.06.2014, 14:08 
Заслуженный участник


11/05/08
31922
mishafromusa в сообщении #874567 писал(а):
Потому что производная от неё равна нулю, это же странички для доклада, а не учебник.

Во-первых, даже странички должны содержать осмысленную информацию -- строчка про то, что производная от константы равна нулю, должна присутствовать явно. Во-вторых, даже и этой строчки было бы недостаточно -- необходимо и обратное утверждение, а оно уже нетривиально.

mishafromusa в сообщении #874567 писал(а):
И потом я же показываю как решить задачку на стр. 4, т,е, становится понятно откуда константа.

Тогда Вы непоследовательны. Почему бы Вам не отложить это дело на несколько лет? Напишите строчку $F'=f\ \Leftrightarrow\ \int f(x)\,dx=F(x)+C$ сегодня, а откуда в ней взялась константа -- объясните где-нибудь курсе на четвёртом. Все же поймут.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение12.06.2014, 14:29 


12/02/14
808
ewert в сообщении #874571 писал(а):
mishafromusa в сообщении #874562 писал(а):
по теореме Ньютона-Лейбница площадь даёт неопределённый интеграл.

Понимаете, Ваш текст очень трудно читать -- он очень плохо структурирован. И путаница в обозначениях (то наличие дифференциалов под интегралами, то их отсутствие, причём даже в соседствующих формулах; какой-то загадочный интеграл с только верхним пределом, который нигде не вводится; и т.д) -- эта путаница пониманию никак не способствует. Так вот, и теорема Ньютона-Лейбница нигде не сформулирована. На стр.14 приведено сначала некое доказательство невесть чего, и лишь в самом конце что-то вроде утверждения (сформулированного довольно невнятно, естественно). Зачем Вы это доказываете -- совершенно непонятно: при Вашем подходе формула Ньютона-Лейбница верна просто по Вашему определению определённого интеграла. Связи же его с площадью мне обнаружить так и не удалось, если не считать каких-то смутных намёков.
Я же уже сказал, что это не отдельный текст для чтения, а слайды для доклада. Теорема Ньютона-Лейбница объясняется на стр. 6 и 7 на примерах и испоьзуется на стр. 10 для определениия логарифма и экспоненты. После этого понятно, что нужно делать. Нужно придать смысл площади пографика, а потом проверить, что его производная по верхнему пределу равна подинтегральной функции. Нижний предел не пишется, т.к. он не важен.

-- 12.06.2014, 07:44 --

ewert в сообщении #874574 писал(а):
строчка про то, что производная от константы равна нулю, должна присутствовать явно. Во-вторых, даже и этой строчки было бы недостаточно -- необходимо и обратное утверждение, а оно уже нетривиально.
Хорошо, она присутствует неявно, т.к. константа -- это $Cx^0$, а обратное утверждение следует из теоремы о неубывании функции с неотрицательной производной, которая доказана.

-- 12.06.2014, 07:55 --

ewert в сообщении #874574 писал(а):
Тогда Вы непоследовательны. Почему бы Вам не отложить это дело на несколько лет? Напишите строчку $F'=f\ \Leftrightarrow\ \int f(x)\,dx=F(x)+C$ сегодня, а откуда в ней взялась константа -- объясните где-нибудь курсе на четвёртом. Все же поймут.
Да всё это до стр. 15 можно объяснить школьникам часа за 4, и я это делал, а в обычном подходе это всё размазано чуть не на семестр.

-- 12.06.2014, 08:00 --

Munin в сообщении #874572 писал(а):
О. Поделитесь ссылкой.
Munin: Посмотрите слайды http://mathfoolery.com/talk-2004.pdf или http://mathfoolery.com/talk-2010.pdf Теорема Ньютона-Лейбница доказана на стр. 14 доклада 2010 года. Mathoverflow: http://mathoverflow.net/questions/40082 ... 2965#52965

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 991 ]  На страницу Пред.  1 ... 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26 ... 67  След.

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group