2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25 ... 67  След.
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение12.06.2014, 10:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5871
mishafromusa в сообщении #874499 писал(а):
Да совсем не сложно, можно итерациями сразу получить степенной ряд, или понять что значит $e^{it}$.


Эта функция над $\mathbb Q$ не будет определена чуть более чем нигде. Потому что одновременно аргумент и значение туда попадают с трудом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение12.06.2014, 10:20 


12/02/14
808
g______d в сообщении #874497 писал(а):
Да у Вас половина, если не все, теоремы перестанут быть верными. Например, теорема о промежуточном значении.
Вот её-то у меня как раз и нет, и она мне не нужна для дифференцирования и интегрирования.

-- 12.06.2014, 03:27 --

g______d в сообщении #874501 писал(а):
mishafromusa в сообщении #874499 писал(а):
Да совсем не сложно, можно итерациями сразу получить степенной ряд, или понять что значит $e^{it}$.


Эта функция над $\mathbb Q$ не будет определена чуть более чем нигде. Потому что одновременно аргумент и значение туда попадают с трудом.
Ну так все уже понимают и так про бесконечные десятичные дроби, и можно это доказать позже, не обязятельно до. И потом это нужно для классического подхода тоже, т.е время на это не теряется. И вообще зачем вначале заострять внимание на "существовании?" Можем с любой точностью посчитать -- и слава богу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение12.06.2014, 10:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5871
mishafromusa в сообщении #874502 писал(а):
И потом это нужно для классического подхода тоже, т.е время на это не теряется.


Да, но в классическом подходе с теми же усилиями мы бесплатно получаем последовательности и пределы. А тогда можно и предел функции определить, по Гейне.

-- Чт, 12 июн 2014 00:41:26 --

mishafromusa в сообщении #874502 писал(а):
И вообще зачем вначале заострять внимание на "существовании?" Можем с любой точностью посчитать -- и слава богу.


Что значит "заострять внимание"? Мы, кажется, последние несколько сообщений о курсе с доказательствами говорили.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение12.06.2014, 10:41 


12/02/14
808
g______d в сообщении #874505 писал(а):
Да, но в классическом подходе с теми же усилиями мы бесплатно получаем последовательности и пределы. А тогда можно и предел функции определить, по Гейне.
Т.е. как "бесплатно?" И потом там нужна серьёзная техника, чтоб доказать теорему о возрастании, а мне не нужно.

-- 12.06.2014, 03:46 --

g______d в сообщении #874505 писал(а):
Что значит "заострять внимание"? Мы, кажется, последние несколько сообщений о курсе с доказательствами говорили.

Доказательство можно отложить на потом, это же не трактат Бурбаки. И вообще дискуссия назувается о матане для нематематиков, а им как раз пдсчитать интересно, а не доказывать существование, если знаем как посчитать, так вот вам и существование.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение12.06.2014, 10:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5871
mishafromusa в сообщении #874508 писал(а):
Т.е. как "бесплатно?"


Так бесплатно. Если мы вводим вещественные числа как классы эквивалентных фундаментальных последовательностей из $\mathbb Q$, у нас есть техника работы с пределами.

Собственно, многие курсы анализа так устроены. Сначала строится теория пределов рациональных последовательностей одновременно с понятием фундаментальных последовательностей, потом приводится пример, что предел фундаментальной последовательности не всегда существует, потом строятся вещественные числа, а свойства пределов последовательностей вещественных чисел к тому моменту уже можно оставлять как упражнения.

-- Чт, 12 июн 2014 00:49:27 --

mishafromusa в сообщении #874508 писал(а):
Доказательство можно отложить на потом, это же не трактат Бурбаки.


Тогда на мои три пункта возражений нет?

-- Чт, 12 июн 2014 00:50:40 --

mishafromusa в сообщении #874508 писал(а):
И потом там нужна серьёзная техника, чтоб доказать теорему о возрастании, а мне не нужно.


Вся эта серьёзная техника всё равно нужна для построения вещественных чисел, как я написал выше.

-- Чт, 12 июн 2014 00:52:38 --

mishafromusa в сообщении #874508 писал(а):
И вообще дискуссия назувается о матане для нематематиков, а им как раз пдсчитать интересно, а не доказывать существование, если знаем как посчитать, так вот вам и существование.


Для не-математиков в моём списке есть пункт 1. Ваш курс тоже проигрывает Calculus'у, основанному на физических примерах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение12.06.2014, 11:01 


12/02/14
808
g______d в сообщении #874497 писал(а):
и до пределов функций и непрерывности один шаг.
А как насчёт теоремы о возрастании? Она сложная.

-- 12.06.2014, 04:05 --

g______d в сообщении #874511 писал(а):
Для не-математиков в моём списке есть пункт 1.
Вот как раз там классическая теория упоминается невнятно, и понять что-то без доказателств трудно. В равномерной теории доказателства легче и короче, и их можно включить, в этом и идея.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение12.06.2014, 11:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5871
mishafromusa в сообщении #874513 писал(а):
А как насчёт теоремы о возрастании? Она сложная.


Она не сложная, она концептуальная. Да, для неё нужна цепочка из пяти теорем, но каждая из этих теорем важна сама по себе и в нормальном изложении доказывается очень быстро, буквально в пару строчек.

-- Чт, 12 июн 2014 01:09:49 --

mishafromusa в сообщении #874513 писал(а):
Вот как раз там классическая теория упоминается невнятно, и понять что-то без доказателств трудно.


В классической теории тоже можно "доказательства" включить, и даже сделать их более понятными.

mishafromusa в сообщении #874513 писал(а):
В равномерной теории доказателства легче и короче, и их можно включить


Вы двумя постами выше сказали, что все доказательства всё равно включать не будете. Следовательно, это "легче и короче" достигается за счёт того, что Вы выкидываете неудобные факты, которые Вам кажуются "любому дураку понятными". К сожалению, понятие дурака у каждого своё.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение12.06.2014, 11:10 
Заслуженный участник


11/05/08
31922
mishafromusa в сообщении #874464 писал(а):
у площади есть свойства, очевидные каждому дураку, и их можно использовать для доказательства всех теорем, например теоремы Ньютона-Лейбница.

Это только если знать, что такое площадь. Вот Вы знаете?...

(школьники, между прочим не знают, строго говоря; так что Вы пытаетесь объяснить непонятное неизвестным)

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение12.06.2014, 11:16 


12/02/14
808
g______d в сообщении #874514 писал(а):
Вы двумя постами выше сказали, что все доказательства всё равно включать не будете.
Полноту вещественных чисел можно и не включать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение12.06.2014, 11:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5871
mishafromusa в сообщении #874516 писал(а):
Полноту вещественных чисел можно и не включать.


Тогда они откуда-то её должны знать? Из какого курса?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение12.06.2014, 11:22 
Заслуженный участник


11/05/08
31922
mishafromusa в сообщении #874516 писал(а):
Полноту вещественных чисел можно и не включать.

Тогда они и не нужны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение12.06.2014, 11:23 


12/02/14
808
ewert в сообщении #874515 писал(а):
mishafromusa в сообщении #874464 писал(а):
у площади есть свойства, очевидные каждому дураку, и их можно использовать для доказательства всех теорем, например теоремы Ньютона-Лейбница.

Это только если знать, что такое площадь. Вот Вы знаете?...

(школьники, между прочим не знают, строго говоря; так что Вы пытаетесь объяснить непонятное неизвестным)

Так у меня же в слайдах даже есть доказательство положительности и аддитивности интеграла, так что всё в порядке. И школьникам можно объяснить про площадь, если им на уроках геометрии не объяснили, ничего сложного. Строго говоря, они не знают, а нестрого -- знают.

-- 12.06.2014, 04:29 --

g______d в сообщении #874518 писал(а):
mishafromusa в сообщении #874516 писал(а):
Полноту вещественных чисел можно и не включать.


Тогда они откуда-то её должны знать? Из какого курса?
Да можно неформально объяснить, что если можно посчитать с любой точностью, то слава богу, и все поймут, а последовательности Коши оставить на потом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение12.06.2014, 11:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5871
mishafromusa в сообщении #874521 писал(а):
Да можно неформально объяснить, что если можно посчитать с любой точностью, то слава богу, и все поймут, а последовательности Коши оставить на потом.


Ну т. е. курс не со всеми доказательствами, а только с избранными. С избранными можно и обычный анализ понятно прочитать и без лишней мороки. С одним серьёзным отличием: слушателям классического анализа будет где посмотреть (при необходимости) полное и последовательное изложение и даже извлечь оттуда отдельную теорему (т. к. обозначения и понятия те же). А у Вас полного и последовательного изложения нет и не предвидится; потому что как только Вы попробуете начать это делать, внезапно окажется, что курсы классического анализа не так уж и плохи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение12.06.2014, 11:37 


12/02/14
808
g______d в сообщении #874523 писал(а):
Ну т. е. курс не со всеми доказательствами, а только с избранными.
Можно и со всеми, но нужно разумно решать, что сначала, а что потом. С доказательства полноты начинать точно не стоит. Вот к примеру есть книжка "Analysis by Its History." Там в первых двух главах всё делается как в 18 веке и раньше, а потом строгость наводится в главе 3. Чем это плохо?

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение12.06.2014, 11:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5871
mishafromusa в сообщении #874526 писал(а):
Можно и со всеми, но нужно разумно решать, что сначала, а что потом.


Вот в жизни не поверю, что "со всеми" будет проще и понятнее, чем классический анализ. Хотя бы потому, что понятнее нормально рассказанного классического анализа ещё поискать курсов.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 991 ]  На страницу Пред.  1 ... 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25 ... 67  След.

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group