Как упростить преподавание матанализа нематематикам?

[mishafromusa]

g______d в сообщении #874530 писал(а):

Хотя бы потому, что понятнее нормально рассказанного классического анализа ещё поискать курсов.

Линейная алгебра гораздо проще.

[g______d]

mishafromusa в сообщении #874526 писал(а):

Вот к примеру есть книжка "Analysis by Its History." Там в первых двух главах всё делается как в 18 веке и раньше, а потом строгость наводится в главе 3. Чем это плохо?

Тем, что занимает в 2-3 раза больше времени, которое, опять же, можно потратить на решение задач или на доказательство менее тривиальных вещей, типа критерия интегрируемости по Риману.

[mishafromusa]

g______d в сообщении #874535 писал(а):

mishafromusa в сообщении #874526 писал(а):

Вот к примеру есть книжка "Analysis by Its History." Там в первых двух главах всё делается как в 18 веке и раньше, а потом строгость наводится в главе 3. Чем это плохо?

Тем, что занимает в 2-3 раза больше времени, которое, опять же, можно потратить на решение задач или на доказательство менее тривиальных вещей, типа критерия интегрируемости по Риману.

Так там и полно задач, просто в первых двух главах строгость не нужна. И зачем школьникам и инженерам критерий интегрируемости по Риману? Надо же меру знать!

-- 12.06.2014, 05:30 --

ex-math в сообщении #874472 писал(а):

Все достигается только упражнениями, трудом. Так что проблема здесь не в сложности понятия непрерывности, а в массовом нежелании работать.

Проблемы и в том, и в этом, и ещё в порядке изложения. Почитайте лекцию Рохлина в самом начале этой ветки, т.е. на первой странице.

[ewert]

mishafromusa в сообщении #874521 писал(а):

И школьникам можно объяснить про площадь, если им на уроках геометрии не объяснили, ничего сложного.

На геометрии им этого и в принципе не могли объяснять (в смысле формально вводить) -- это, говоря формально, понятие аналитическое. Ладно, допустим, Вы определяете интеграл как площадь; а Вы доказываете, например, что площадь существует ну хотя бы у сегмента параболы?...

mishafromusa в сообщении #874538 писал(а):

И зачем школьникам и инженерам критерий интегрируемости по Риману? Надо же меру знать!

Школьникам не нужно, а вот инженерам иногда необходимо даже понятие об интеграле Лебега. Увы.

[mishafromusa]

ewert в сообщении #874545 писал(а):

На геометрии им этого и в принципе не могли объяснять (в смысле формально вводить) -- это, говоря формально, понятие аналитическое. Ладно, допустим, Вы определяете интеграл как площадь; а Вы доказываете, например, что площадь существует ну хотя бы у сегмента параболы?...

Формально не могли, а неформально -- вполне могли. Про плошадь сегмента параболы я не говорю что она существует, а показываю как её посчитать, как сумму геометрической прогрессии. Про интеграл от липшицевой функции я фактичеки доказываю его существование через приближения кусочно-линейными. Посмотрите слайды http://mathfoolery.com/talk-2004.pdf или http://mathfoolery.com/talk-2010.pdf стр 6-9 и 13. Теорема Ньютона-Лейбница доказана на стр. 14 доклада 2010 года.

[ewert]

mishafromusa в сообщении #874549 писал(а):

Про интеграл от липшицевой функции я фактичеки доказываю его существование через приближения кысочно-линейнуми.

(Оффтоп)

Что такое "кисочный линейнум"?...

Может, и доказываете; но что?... -- Вы ведь интеграл ни разу не определяете.

[mishafromusa]

ewert в сообщении #874552 писал(а):

mishafromusa в сообщении #874549 писал(а):

Про интеграл от липшицевой функции я фактичеки доказываю его существование через приближения кусочно-линейными.

Может, и доказываете; но что?... -- Вы ведь интеграл ни разу не определяете.

Опечатка исправлена, интеграл оределён на стр. 9. Текст конечно, неполный, но грубых математических проколов нет.

[ewert]

mishafromusa в сообщении #874555 писал(а):

интеграл оределён на стр. 9.

На этой страничке нет вообще никаких точных определений, лишь смутные намёки. Например, там впервые (на беглый взгляд, во всяком случае) появляется какая-то загадочная $C$; что, зачем, почему?...

И в любом случае: если там определённый интеграл и определяется, то лишь как приращение первообразной (которую, напомню, Вы не определяете). При чём тут площади-то?

[mishafromusa]

ewert в сообщении #874545 писал(а):

инженерам иногда необходимо даже понятие об интеграле Лебега. Увы.

Ну так они потом могут разобраться, те, которым и правда нужно.

-- 12.06.2014, 06:29 --

ewert в сообщении #874559 писал(а):

При чём тут площади-то?

А при том, что по теореме Ньютона-Лейбница площадь даёт неопределённый интеграл. Примеры даны уже на стр. 6 и 7.

[ewert]

mishafromusa в сообщении #874562 писал(а):

Ну так они потом могут разобраться, те, которым и правда нужно.

Им будет очень трудно разобраться, если они с самого начала не приучатся к некоторым стандартам строгости и общности (которых вовсе не обязательно точно придерживаться, но которые должны присутствовать хотя бы на горизонте). Они просто не будут понимать, зачем это вдруг ещё и какой-то Лебег понадобился.

[mishafromusa]

ewert в сообщении #874564 писал(а):

Им будет очень трудно разобраться, если они с самого начала не приучатся к некоторым стандартам строгости и общности

С какого самого начала? Пока они не умеют ни дифференцировать, ни интегрировать?

-- 12.06.2014, 06:48 --

ewert в сообщении #874559 писал(а):

появляется какая-то загадочная $C$; что, зачем, почему?...

Потому что производная от неё равна нулю, это же странички для доклада, а не учебник. И потом я же показываю как решить задачку на стр. 4, т,е, становится понятно откуда константа.

[ewert]

mishafromusa в сообщении #874562 писал(а):

по теореме Ньютона-Лейбница площадь даёт неопределённый интеграл.

Понимаете, Ваш текст очень трудно читать -- он очень плохо структурирован. И путаница в обозначениях (то наличие дифференциалов под интегралами, то их отсутствие, причём даже в соседствующих формулах; какой-то загадочный интеграл с только верхним пределом, который нигде не вводится; и т.д) -- эта путаница пониманию никак не способствует. Так вот, и теорема Ньютона-Лейбница нигде не сформулирована. На стр.14 приведено сначала некое доказательство невесть чего, и лишь в самом конце что-то вроде утверждения (сформулированного довольно невнятно, естественно). Зачем Вы это доказываете -- совершенно непонятно: при Вашем подходе формула Ньютона-Лейбница верна просто по Вашему определению определённого интеграла. Связи же его с площадью мне обнаружить так и не удалось, если не считать каких-то смутных намёков.

[Munin]

mishafromusa в сообщении #874414 писал(а):

Munin, я вижу, что Вы наконец начинаете проникаться мудрыми идеями эпсилонизма-дельтоизма

Не паясничайте. Я всегда признавал эти идеи, и согласен с тем, что они мощные. Вопрос для меня был и остаётся только в том, что они, слишком трудные, и возможно, излишние. Если так - стоит их на что-то попробовать заменить. Если окажется, что не так - то делать нечего.

На сейчас я представляю себе понятия производной и интеграла не обязательно привязанными к пределу и эпсилон-дельта: производная - это касательная, а интеграл - это площадь. Но как построить курс на таких понятиях, я толком не представляю, а никто помогать мне не взялся.

И наконец, моя фраза означала всего лишь ровно то, что означала: что я понял позицию собеседника, и поблагодарил за это.

И действительно, аргумент, высказанный g______d, мне ясно виден, и я не могу его не признать.

g______d в сообщении #874424 писал(а):

Хотя в какой-то момент нашей дискуссии (пару дней назад) я провел поиск подобной темы на mathoverflow, это да.

О. Поделитесь ссылкой.

g______d в сообщении #874424 писал(а):

Ну а что, Вы им, что ли, про $\varepsilon$ и $\delta$ рассказывать будете? Небось ведь после своего введения пойдете по тривиуму Арнольда или подобному задачнику и будете задачи оттуда решать с помощью чашечки и шарика. Я лично действительно боюсь, что Вы вместо нормального изложения теории пойдете по местам, которые с целью развлечения можно изложить на пальцах. А царского пути в математику нет.

Насколько я понимаю, цель подобного "введения в понятие производной" - состоит ровно в том, чтобы быстро позволить изложить "алгебраическую теорию дифференцирования", и натаскать на технику её применения, чтобы ученики могли практически применять производную, где бы она там им ни понадобилась. Например, в физике, и например, в анализе нескольких переменных.

Это всё не "с целью развлечения", и вообще не "путь в математику". Это преодоление небольшого порога, и отдых на нём. Наверняка, дальнейшее продвижение стоит начать с того, чтобы рассказать всё-таки про пределы и эпсилон-дельта, что будет воспринято как формализация и уточнение уже известных понятий.

Сравните, в школе одни и те же понятия дают по несколько раз, углубляя, устрожая и формализуя изложение. Математика младших и средних классов готовит к математике старших классов. Физика в 7-9 классах предварительно знакомит с темами, подробно рассмотренными в физике 10-11 классов.

g______d в сообщении #874424 писал(а):

Ну в Ваших словах я тоже постоянно читаю между строк, что студенты тупые и не могут понять определения предела.

Вот от "чтения между строк" лечиться надо :-) Есть же другая интерпретация, более простая: не студенты тупые, а понятие сложное, и требует много времени и сил, а если попытаться дать его кратко - многие "отстанут".

[ewert]

mishafromusa в сообщении #874567 писал(а):

Потому что производная от неё равна нулю, это же странички для доклада, а не учебник.

Во-первых, даже странички должны содержать осмысленную информацию -- строчка про то, что производная от константы равна нулю, должна присутствовать явно. Во-вторых, даже и этой строчки было бы недостаточно -- необходимо и обратное утверждение, а оно уже нетривиально.

mishafromusa в сообщении #874567 писал(а):

И потом я же показываю как решить задачку на стр. 4, т,е, становится понятно откуда константа.

Тогда Вы непоследовательны. Почему бы Вам не отложить это дело на несколько лет? Напишите строчку $F'=f\ \Leftrightarrow\ \int f(x)\,dx=F(x)+C$ сегодня, а откуда в ней взялась константа -- объясните где-нибудь курсе на четвёртом. Все же поймут.

[mishafromusa]

ewert в сообщении #874571 писал(а):

mishafromusa в сообщении #874562 писал(а):

по теореме Ньютона-Лейбница площадь даёт неопределённый интеграл.

Понимаете, Ваш текст очень трудно читать -- он очень плохо структурирован. И путаница в обозначениях (то наличие дифференциалов под интегралами, то их отсутствие, причём даже в соседствующих формулах; какой-то загадочный интеграл с только верхним пределом, который нигде не вводится; и т.д) -- эта путаница пониманию никак не способствует. Так вот, и теорема Ньютона-Лейбница нигде не сформулирована. На стр.14 приведено сначала некое доказательство невесть чего, и лишь в самом конце что-то вроде утверждения (сформулированного довольно невнятно, естественно). Зачем Вы это доказываете -- совершенно непонятно: при Вашем подходе формула Ньютона-Лейбница верна просто по Вашему определению определённого интеграла. Связи же его с площадью мне обнаружить так и не удалось, если не считать каких-то смутных намёков.

Я же уже сказал, что это не отдельный текст для чтения, а слайды для доклада. Теорема Ньютона-Лейбница объясняется на стр. 6 и 7 на примерах и испоьзуется на стр. 10 для определениия логарифма и экспоненты. После этого понятно, что нужно делать. Нужно придать смысл площади пографика, а потом проверить, что его производная по верхнему пределу равна подинтегральной функции. Нижний предел не пишется, т.к. он не важен.

-- 12.06.2014, 07:44 --

ewert в сообщении #874574 писал(а):

строчка про то, что производная от константы равна нулю, должна присутствовать явно. Во-вторых, даже и этой строчки было бы недостаточно -- необходимо и обратное утверждение, а оно уже нетривиально.

Хорошо, она присутствует неявно, т.к. константа -- это $Cx^0$, а обратное утверждение следует из теоремы о неубывании функции с неотрицательной производной, которая доказана.

-- 12.06.2014, 07:55 --

ewert в сообщении #874574 писал(а):

Тогда Вы непоследовательны. Почему бы Вам не отложить это дело на несколько лет? Напишите строчку $F'=f\ \Leftrightarrow\ \int f(x)\,dx=F(x)+C$ сегодня, а откуда в ней взялась константа -- объясните где-нибудь курсе на четвёртом. Все же поймут.

Да всё это до стр. 15 можно объяснить школьникам часа за 4, и я это делал, а в обычном подходе это всё размазано чуть не на семестр.

-- 12.06.2014, 08:00 --

Munin в сообщении #874572 писал(а):

О. Поделитесь ссылкой.

Munin: Посмотрите слайды http://mathfoolery.com/talk-2004.pdf или http://mathfoolery.com/talk-2010.pdf Теорема Ньютона-Лейбница доказана на стр. 14 доклада 2010 года. Mathoverflow: http://mathoverflow.net/questions/40082 ... 2965#52965