Как упростить преподавание матанализа нематематикам?

[mishafromusa]

g______d в сообщении #874462 писал(а):

И уровень понимания совершенно разный.

В смысле формального сведения к свойствам вешественных чисел -- да, а в смысле умения решать конкретные задачи -- нет.

-- 12.06.2014, 02:01 --

g______d в сообщении #874468 писал(а):

Главное, чтобы то, что доказывается, случайно неверным не оказалось. У той же формулы Ньютона-Лейбница у обеих точных формулировок есть нюансы: в одной нужна непрерывность подынтегральной функции, во второй (которую в соседней теме называли именем Барроу) нужно существование производной во всех точках и её интегрируемость по Риману; несуществование уже в одной точке всё портит сразу же.

А в случае липшицевых функций (или функций с другим модулем непрепывности) этих нюансов нет, и к ним можно вернуться позже. Я просто говорю, что можно построить вполне работающую версию анализа, основанного на равномерных оценках, а с классическими определениями разобраться потом. Зубелевич это признал, после того, как я ему предъявил доказательство сходимости итераций Пикара для ОДУ в рамках липшицевой теории.

[ex-math]

Munin в сообщении #874404 писал(а):

Это не идейность.

Смотря на каком уровне. Если вместо механического заучивания эпсилон-дельта студенты-нематематики научатся мыслить в терминах окрестностей (то есть как раз иметь в голове такие картинки) -- это уже очень хорошо.

-- 12.06.2014, 10:14 --

g______d в сообщении #874424 писал(а):

Когда в сложном техническом доказательстве автор хотя бы старается использовать стандартные обозначения, это как минимум удобнее для читателя.

Я уже отмечал родственный аргумент в пользу классического изложения -- на языке пределов, непрерывности и дифференцируемости написана вся литература, с которой придется студентам работать. Излагать анализ иначе -- значит закрыть им доступ к этой литературе или, как минимум, установить серьезный порог.

-- 12.06.2014, 10:21 --

Высокомерие по отношению к студентам? Понимаете, когда я учился анализу, я читал учебники. Просто так, на лекциях, понимание предмета само в голову не запрыгивало. Современные студенты (по крайней мере те, с кем я имею дело) в массе своей не хотят работать с учебником, ленятся разбираться, хотят, чтобы было достаточно прослушанной лекции. А ее не может быть достаточно в принципе, какой бы замечательный ни был лектор и какие бы альтернативные варианты изложения ни предложить. Все достигается только упражнениями, трудом. Так что проблема здесь не в сложности понятия непрерывности, а в массовом нежелании работать.

[mishafromusa]

ex-math в сообщении #874472 писал(а):

Излагать анализ иначе -- значит закрыть им доступ к этой литературе или, как минимум, установить серьезный порог.

Сколько Вы думаете нужно времени, чтоб изложить анализ для равномерных оценок? Гораздо меньще, чем на классический. А после этого и классический анализ можно выучить быстрее, так как все трюки уже понятны, так что никаких проблем нет.

[g______d]

mishafromusa в сообщении #874469 писал(а):

Я просто говорю, что можно пострить вполне работающую версию анализа, основанного на равномерных оценках, а с классическими определениями разобраться потом. Зубелевич это признал, после того, как я ему предъявил доказательство сходимости итераций Пикара для ОДУ в рамках липшицевой теории.

У меня пока создалось впечатление, что

1. Ваша работающая версия без доказательств сложнее, чем классическая версия без доказательств.

2. Ваша работающая версия с доказательствами сложнее, чем классическая версия с доказательствами (потому что ту же теорему Пикара Вы будете доказывать стандартными средствами типа теоремы о неподвижной точке, только не в пространстве $C$, а в гёльдеровых пространствах).

3. Область применимости Вашей версии уже, чем область применимости классического анализа.

[nnosipov]

ex-math в сообщении #874472 писал(а):

Так что проблема здесь не в сложности понятия непрерывности, а в массовом нежелании работать.

Именно так. Мне иногда даже хочется употребить слово "саботаж". В последние годы особенно.

[ex-math]

По отведенным на анализ часам можно успеть только один вариант изложения. Значит, изучать классический анализ студенты будут полностью сами. Самостоятельно устанавливать связи между липшицевым подходом и классикой будет труднее, чем доучиваться, имея уже хоть какое-то понятие о пределе и непрерывности.

[mishafromusa]

g______d в сообщении #874477 писал(а):

2. Ваша работающая версия с доказательствами сложнее, чем классическая версия с доказательствами

Ну где же сложнее, на слайдах почти всё, что нужно есть, а теорема Пикара вообще доказывается голыми руками, безо всяких неподвижных точек.

[g______d]

mishafromusa в сообщении #874484 писал(а):

почти всё, что нужно есть

Вещественные числа? Мы же договорились, что с доказательствами. Рациональные будем считать, что даны нам свыше.

mishafromusa в сообщении #874484 писал(а):

а теорема Пикара вообще доказывается голыми руками, безо всяких неподвижных точек.

Её в слайдах нет, кажется. Может быть, сформулируете?

[mishafromusa]

ex-math в сообщении #874482 писал(а):

По отведенным на анализ часам можно успеть только один вариант изложения. Значит, изучать классический анализ студенты будут полностью сами. Самостоятельно устанавливать связи между липшицевым подходом и классикой будет труднее, чем доучиваться, имея уже хоть какое-то понятие о пределе и непрерывности.

Совсем нет, липшицева теория гораздо легче, а классика пойдёт быстрее, так что времени на всё хватит,

-- 12.06.2014, 02:44 --

g______d в сообщении #874485 писал(а):

Вещественные числа?

Так они почти не нужны, ведь все оценки равномерные.

-- 12.06.2014, 02:48 --

g______d в сообщении #874485 писал(а):

Её в слайдах нет, кажется. Может быть, сформулируете?

Она не имелась в виду, это про решение задачи Коши для ОДУ методом итераций соответствующего уравнения Вольтерры.

[g______d]

mishafromusa в сообщении #874487 писал(а):

Так они почти не нужны, ведь все оценки равномерные.

Для доказательств не нужны? Что значит "почти"?

[mishafromusa]

mishafromusa в сообщении #874062 писал(а):

Ну вот. Возьмём уравнение $x'=f(x,t)$ с начальным условием $x(0)=0$ и запишем его как $x(t)= \int_0^t f(x(u),u)du$. Итерации тогда будут такие: $x_{n+1}(t)= \int_0^t f(x_n(u),u)du$, и возьмём $x_0=0$. На каждом шаге $x_n$ будет липшицевой, т.к. $f$ ограничена, и даже липшиц-дифференцируемой, т.к. $f$ и $x_{n-1}$ липшицевы. Константы Липшица портиться не будут, и сходимость обеспечена при достаточно маленьком $t$.

[g______d]

mishafromusa в сообщении #874487 писал(а):

Она не имелась в виду, это про решение задачи Коши для ОДУ методом итераций соответствующего уравнения Вольтерры.

Когда сформулируете точную теорему (можете использовать свои обозначения из слайдов), мы посмотрим, сколько классического анализа используется в доказательстве.

А насчет вещественных чисел – как-то сложно без них решать уравнение $y''=-y$, решение получается не очень функцией.

-- Ср, 11 июн 2014 23:53:33 --

mishafromusa в сообщении #874490 писал(а):

и сходимость обеспечена

Т. е. пределы всё-таки используются?

[mishafromusa]

g______d в сообщении #874489 писал(а):

mishafromusa в сообщении #874487
писал(а):
Так они почти не нужны, ведь все оценки равномерные.

Для доказательств не нужны? Что значит "почти"?

Ну единственное место -- это аппроксимация площади подграфика, используется и то, что число, большее любого отрицателного -- положительно или нуль. Т.е. ничего серьёзного не нужно. И потом, она в большем объёмв для классихеской теории, и если её изложить по-рабоче-крестьянски, как бесконечные десятичные дроби, то тоже много времени не надо, совсем просто, даже с доказательством полноты.

-- 12.06.2014, 03:08 --

g______d в сообщении #874491 писал(а):

Т. е. пределы всё-таки используются?

Так это сходимость последовательностей, а не пределы функции в точке, и вообще эта теорема не предполагалась, это Зубелевич спросил.

[g______d]

mishafromusa в сообщении #874492 писал(а):

Ну единственное место -- это аппроксимация площади подграфика, используется и то, что число, большее любого отрицателного -- положительно или нуль.

Да у Вас половина, если не все, теоремы перестанут быть верными. Например, теорема о промежуточном значении.

mishafromusa в сообщении #874492 писал(а):

если её изложить по-рабоче-крестьянски, как бесконечные десятичные дроби, то тоже много времени не надо.

Попробуйте изложить в своём курсе со всеми нужными свойствами (начиная по-честному с рациональных), и довольно быстро поймёте, что через фундаментальные последовательности проще. Начните с арифметических операций, я уже предлагал. А если есть фундаментальные последовательности рациональных чисел, то фактически есть пределы последовательностей, и до пределов функций и непрерывности один шаг.

[mishafromusa]

g______d в сообщении #874491 писал(а):

А насчет вещественных чисел – как-то сложно без них решать уравнение $y''=-y$, решение получается не очень функцией.

Да совсем не сложно, можно итерациями сразу получить степенной ряд, или понять что значит $e^{it}$.